2025年春九年級數學中考復習《圖形的變化》常考熱點填空題專題提升訓練（附答案）

1.將正方體的一種展開圖如圖方式放置在直角三角形紙片上，若小正方形的邊長為1,則

BC=.

2.如圖，己知菱形ABCD的邊長為2舊，^ABC=60°,點G、E、尸分別是AB,AD±.

的點，若GE+GF=3,貝IME+4F的值是.

3.如圖，AABC為等邊三角形，AD1BC于=6,點E為AC邊的中點，點P為2D上

一個動點，當PE+PC的值最小時，線段4P的長為.

4.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形20CB為菱形，tanzXOC=且點A落在反比例函

數丫=:上，點8落在反比例函數）7=^（上力0）上，則卜=.

5.如圖，△ABC是等邊三角形，點。為BC邊上一點，BD=^DC=1,以點。為頂點作正方

形DEFG,且DE=BC,連接4E,2G.若將正方形DEFG繞點。旋轉一周，當4E取最小值時，

4G的長為.

6.如圖，已知AB是。。的直徑，弦EF14B于點C,過點F作。。的切線交4B的延長線于

點D,G為BE的中點，連接FG.若AD=30。，FG=2夕，則。。的半徑是,空____.

7.圖1為某型號湯碗，截面如圖2所示，碗體部分為半圓，直徑力B為10cm,碗底CD與4B平

行，倒湯時碗底CD與桌面MN的夾角為30。，BE=cm.

圖1圖2圖3

8.如圖，扇形AOB中，^AOB=120°,半徑。4=OB=2g，點E,尸分別在。4、0B上,

OE=0F=2,點C在上，連接CE、CF,當CE+CF取得最小值時，CE=.

9.如圖，在△2BC中，48=8,AC=13,BC=15,。。是ATIBC的內切圓，切點分別為

D、E、F,則。。的半徑為.,；連接CD、ED,貝!Jtan/CDE的值為.

10.如圖，在Rt△力BC中，AACB=90°,AC=6,BC=8,點。在邊AC上，且CD=2.過

點。作DEII4B,與邊BC相交于點E,連接BD.

(2)若尸為BO的中點，則線段EF的長為

11.如圖，"趙爽弦圖"是由四個全等的直角三角形和一個小正方形EFG”組成的一個大正方

形4BCD.連接ZE,DE,^S^ADE=2S^ABF,貝！ItanNBAF=.

DC

AB

12.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A在第二象限，點B的坐標為(—2,0),點C的

坐標為(一1,0).以點C為位似中心.在尤軸的下方作A/IBC的位似圖形△A夕C.若點4的對

應點4的坐標為(2,-3),點B的對應點次的坐標為(1,0),則點4的坐標為

13.如圖，圓內接四邊形4BCD的對角線互相垂直，且8。平分乙4B。，延長84CD交于點F,

14.如圖，AABC-AADE,Z.BAC=^DAE=90°,AB=3,AC=4點。在線段BC上運動,

當點D從點B運動到點C時，

（1）當BD=1時，貝|CE=；

（2）設P為線段DE的中點，在點。的運動過程中，CP的最小值是.

15.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2x與反比例函數y=￡（k為常數，kK0）相交

于4B兩點過點A作的垂線交尤軸正半軸于點C,連結BC并延長交反比例函數圖象于點

16.如圖，在矩形A8CD中，力。為對角線，點P在4D上，連接BF交2C于點E,且乙48F=

(2)若EG=&A4BG為等腰直角三角形，AG=BG,貝!JGH=.

17.如圖，已知點4(2,0),8(0,4),C(2,4),若在所給的網格中存在一點O,使得CD與A8垂直

且相等.

(1)直接寫出點D的坐標；

(2)將線段4B繞某一點旋轉一定角度，使其與線段CD重合，則這個旋轉中心的坐標

為.

18.在平面直角坐標系中，。為原點，△。力B是等腰直角三角形，NOB力=90。，點A(4,0),

點8在第一象限，點。在邊(點。不與點O,8重合)，過點。作QP104交04于點

P,將線段QP繞點。逆時針旋轉90。得到線段QM,點P的對應點為連接PM.設APQM

(1)如圖①，若重合部分為△PQM,試用含r的式子表示S,S=；

(2)如圖②，若重合部分為四邊形PQEF,與邊AB交于點E,F,試用含/的式子表示S,

S=,止匕時S的最大值是

19.如圖，在回ABC。中，對角線AC,BD交于點。，點E在BC上，點F在CD上，連接ZE,AF,

EF,￡T交4C于點G.下歹！］結論：①若二=絲，貝IjEFIIBO；②若4E_LBC,2F1CD,AE=AF,

CFAB

貝！JEFIIBD；③若EFIIBD,CE=CF貝！kEAC=zFXC；④若AB=AD,AE=AF,貝ijEFIIBD.其

20.如圖，在正方形ABC。中，點E、尸分別是邊BC、CD上的兩個點，連接分別與對角

線BD交于點、G、H,連接GF,若AGLGF,DH=aBG,下列說法正確的序號是.

①AG=FG

@BG2+DH2=GH2

③乙BGE=60"

④若CE=3,BE+DF值為3舊

參考答案

1.解：如圖:

由題意可知，PC=HF=2,EH=1,EP=3,乙EFH=KEBP,

^Z-HEF=乙PEB,

EHFEPB,

解二更，ipl=A

EPPB3PB

解得：PB=6,

國BC=P8+PC=6+2=8,

故答案為：8.

2.解：連接AC,過A作AM于在BC上截取BK=BE,連接GK,

CD

回四邊形/BCD是菱形，

乙

^ABC=CBD,BC=BAfBC\\AD,

回BG=BG

^BGK三△BGE(SAS),

團GK=GE,/.BEG=乙BKG,

團GF+GE=3,

團GF+GK=3,

^ABC=60°,

IHAZBC是等邊三角形，

0XM=-AB=3,

2

團GF+GK=AM,

G、K共線，5.FK1BC,

回NBEG=乙BKG=90°,

SADWBC,

MK14D,

0ZGFD=90°,

回四邊形A8CD是菱形，

回/GBE=lGDF=~^ABC=30°,AB=2。=2同

SBE=y[3GE,DF=V3GF,

回BE+DF=陋(GE+GF)=3百，

0X￡+AF=BA+AD-(BE+DF)=2V3+2V3-3V3=V3

故答案為：A/3.

3.解：如連接BE,與2。交于點P,此時PE+PC最小，

回△ABC是等邊三角形，AD1BC,

回PC=PB,

團PE+PC=PB+PE=BE,

即BE就是PE+PC的最小值，

IHAZBC是等邊三角形，

???乙ABC=^BAC=60°,

???乙BAD=30°,

團AB=2BDfAD=7AB2-BD?=y[3BD=6,

BD=2V3,

???BA=BCfAE=EC,

???BE1AC,

???乙BEC=90°,

???乙EBC=30°,

2

2222

團BP=2DPfPD=BP-BD=(2DP)一(2V3),

???PD=2,

AP==p。=6—2=4,

故答案為：4.

4.解：過點A、B作%軸的垂線，垂足分別為。、E,如圖,

—4

團tan/AOC=

^AD4

回一=

OD3’

團設AD=4a,貝lj。。=3a,

團點A（3a,4a）,

團點A在反比例函數y=|±,

團3。?4a=3,

=1（負值已舍），則點4（|,2）,

團4。=2,0D=-,

2

回04=yJOD2+AD2=

2

回四邊形40C8為菱形，

0X5=0X=|,ABWCO,

國點B（4,2）,

回點B落在反比例函數y=三也手0）上,

歐=4x2=8,

故答案為：8.

5.解：過點4作4Ml8c于M,

F

DC—2,

BC=BD+DC=1+2=3,

???△力BC是等邊三角形，

AB=AC=BC=3,

???AM1BC,

13

???BM=-BC=-

22f

31

.?.DM=BM-BD

22

在RtZiABM中，=y/AB2-BM2=J32-(|)2=

當正方形DEFG繞點。旋轉到點E、4、D在同一條直線上時，AD+AE=DE,此時4E取最

小值，

在RtAADM中，AD=s/DM2+AM2=J(J+(手)2=夕，

???在RtAADG中，AG=yjAD2+DG2=J(V7)2+32=4；

故答案為：4.

6.解：如圖，連接。G,OF,OE,

???。尸是。。的切線，

???OFLDF,

???乙OFD=90°,

???ZD=30°,

???Z-DOF=60°,

???"1/8于點。，OE=OF,

???乙BOE=Z-BOF=60°,

設BG=x,

???G為BE的中點,

OG_LBE,

???乙BGO=90°,

???乙BOG=上乙BOE=30°,

2

??.Z,GOF=90°,

???OG=BG=4=巡x,OB=OF=2x,

tan480G亞

3

在Rt^GOF中，FG=2V7,

??.(V3x)2+(2x)2=(2V7)2,

x-2,

OF=4,即。。的半徑為4.

DF=OF-tanZ-BOF=4V3,

??.CD=DF,coszD=4V3Xy=6,

...CF=：DF=2V3,

??.EF=2EC=2CF=4A/3,EC=2同

???乙BOE=60°,

乙4=30°,

EC273

/.AC=-----=—r=~=r6,

tan乙4V3

3

??.AD=AC+CD=12,

/=磊=后

故答案為：4,V3.

7.解：延長AB與MN交于點H,設AB的中點為O,連接OE,過。點作OG1BE交于點G,

A

???CD與MN成角為30。，CDWAB,

??.AAHC=30°,

???BEWMN,

AABE=30°,

OE=OB,

???乙BOE=120°,

AB=10cm,

.?.OB=OE=5cm,

在RtAOBG中，OG=-OB=-cm,BG=—cm,

222

OG1BE,

BE=2BG—5V5cm,

故答案為：5A/3.

8.解：連接OC,將△OCF繞著點。逆時針旋轉120。，得到△OC，E,

+CF=CE+C'E,

①如圖，當點C,E,L三點共線時，CE+CF=CE+OE=CL為最小值,

過點。作。N1CE于點N,

由旋轉可得NC。。=120°,OC=OC=2V3,

0ZOCC,=/-OC'C=30°,

SON=-0C=V3,

2

__________/22

CN=N0C2_0N2=J(2⑸-(V3)=3,

團在RtAEON中，EN=VEO2-NO2=J22-(百『=1,

SCE=CN+EN=3+1=4.

②如圖，當點C,E,C，三點共線時，CE+CF=CE+OE=CC，為最小值,

過點。作ON1CE于點N,

由①同理可得，CN=3,EN=1,

SCE=CN-EN=3-1=2,

綜上所述，當CE+CF取得最小值時，CE=4或2.

故答案為：4或2

9.解：如圖所示，連接。D,OE,OF,過點力作力G1BC于點G,

依題意，。。是AABC的內切圓，切點分別為D、E、F,

SOD=0E=OF,

設BG=%,貝l|CG=BC-BG=15-x,

在RtA48G,RtA4Gm，AG2=AB2-BG2AC2-CG2

即82-％2=132一(15一%)2

解得：x=4

回AG=7AB2—BG?=V82-42=4>/3

設O。的半徑為r,

團=抑-1?AG=1+BC+AC)-r

即廠=--B--C-A-G--=--1-5-X4-V-3-=-5-7-3

AB+BC+AC8+13+153

團。。是△ABC的內切圓，切點分別為。、E、F,

團/D=AFfCE=CF,BD=BE

團=BE=4B+B—=8+15-13=5

22

團AG=45AB=8

-AG46V3

0rasinBD=——=——=—

AB82

0ZB=60°

又回BD=BE=5

DEB是等邊三角形，

^BED=60°,DE=5

國乙CEH=60°,CE=BC-BE=15-5=10

在RtACHE中，CH=EC-sin600=10xy=5V3,EHEC-cos60°=5

SDH=DE+EH=5+5=10

在RtACHD中，tan/CDE=生=逋=在

DH102

故答案為：.；f.

10.解：(1)DE||AB,

CDECAB,

???CE\CB=CD:CA,

CE'.8=2:6,

CE=

3

故答案為:8

3

(2)過F作F”1BC于H,

C

???DC1BC,

???FH||CD,

BHFs、BCD,

.BH_BF

??BC-BD'

???F為BO的中點，

??.FD=FB,

ii

??.BH=CH=-BC=-x8=4,

22

4

???EH=CH-CE=

3

???DF=FB,CH=BH,

???FH是△BCO的中位線，

i1

???FH=-CD=-x2=1,

22

??.EFEH2FH2=

=V+3

故答案為：

11.解：設BF=CE=D”=/G=a,BE=CH=DG;-AF=b,

團HE=ERF=FG=GH=b-a,AB=BC=CD=DA=Va2+b2,

又SAADE=S正方形ZBCO-S^CDE-S^BCE-SfBE

_________2]]]

=(Jq2+52)--b2--ah--a2

111

=a2+b2--b2--ab--a2

222

=-a2+-b2--ab,

222

^LABF=^ab,

回S—OE=2s△ZBF，

回評+評一四=2、泡，

整理得，a2+Z)2=3a/?,

啕2+1=3電，

回華―30+1=0,

解得，合喑或十

回a<5,

哼<L

哼=等，

0tanzBXF=^=^,

故答案為：竽.

12.解：如圖，作AElx軸于E,作AFlx軸于F,

回點B的坐標為(-2,0),點C的坐標為(-1,0),點4的坐標為(2,-3),點次的坐標為(1,0),

00B=2,0C=OB'=1,OF=2,A'F=3,BC=1,CB'=2,CF=3,

由題意可得：4ABCfA'B'C,

^AEBC1

回行=市=5'

3

ME=5,

S^ACE=^A'CF,AAEC=^A'FC=90°,

回△/ECA'FC,

,ECAE1

I—=—r~=一,

CFA'F2

3

ME=

2

回。E=EC+0C=-,

2

故答案為：（一|，|）.

13.解：延長B。交AC于"，交CO于G,設AC、相交于E,

F

團圓內接四邊形ABCD的對角線互相垂直,

^BEH=90°,

團平分乙48。，

團乙1=Z.2,

又=Z.3,

團42=43,

又乙BHC=42+乙BEH=43+乙CGH,

回乙CGH=Z.BEH=90°,

回。G1CD,

MD=2DG,

團8。=DO,

團乙2=乙BDO,

又=Z2,

團乙1=乙BDO,

WDWAB,

J[?-],—OG=—DG,即pi-tO一G=—DG，

BODF12

0DG=20G,

在RtAODG中，OG2+DG2=O￡?2,

0OG2+(2OG)2=l2,

解得。G=g(負值已舍去)，

回OG=|V5,

回CD=iV5,

故答案為：1V5.

14.解：(1)回△ABC?△4DE,

"BAC

=——，

?ADAE

國乙BAC=ADAE=90°,

ABAC-Z-DAC=Z-DAE-Z-DAC,

^Z.BAD=^LCAE,

[HAABD~bACE,

團=1,

4

回CE=

3

故答案為：I；

(2)IHAABDACE,

^ABD=Z.ACE,

^BAC=90°,

^ABD+乙ACB=90°,

^ACB+AACE=90°,

團4。CE=90°,

團尸為線段OE的中點，

團。尸=PE,

1

團CP=-DE,

2

團△ZBCFADE,

.DE_BC

??—,

ADAB

.?.D「E廠=-A-D-B-C,

AB

團40的值最小時，DE的值最小，此時CP的值最小，

^AB=3,AC=4,^BAC=90°,

國BC=y/AB2+AC2—V32+42=5,

根據垂線段最短可知，當AD1BC時，此時AD=答=券=2.4,

BC5

「

回OCEL=-A-D-B-C=-2-.-4X-5=4,&

AB3

團CP的最小值為｝x4=2,

故答案為：2.

15.解：如圖，過點A作/”1%軸，DN1%軸，垂足分別為H、N；

團乙AO”+^OAH=90°,

團4c1BC,

團乙。AC=AOAH+ACAH=90°,

^AOH=^CAH,

設點Z(Q,2Q),由反比例和正比例函數圖像都是關于原點對稱可知點8(-0-2Q),

歐=2a2,即反比例解析式為y=等，

團。”=a,AH=2a,

團tan乙4。"=tanZ,CAH=2,

回CH=AHtan^CAH=4a,

團點C(5G,0),

設直線BC解析式為犯。=租％+九，把3(一氏一20)，。(5%0)代入得:

J_1

(—ma+n=-2a冷刀汨m~3

I5ma+n=0'解倚：(九=_也，

k3

即'BC=jx-|a,

聯立解析式得—=

解并檢驗得：%i=-a；x2=6a,

國點D(6a5)

^AACD=S梯形ZHND-S—CH-S^CDN=丁

成(2a+g)(6a-a)-1,2a,4a—(6a—5a)=京

整理得：|a*2*=|,

0a2=1,

???k=2a2=2,

故答案為：2.

16.解：(1)噂=；，

DC乙

團設AB=x,貝IJBC=2x,

回四邊形4BCD是矩形，

團NB4F=4。=90°,AD=BC=2x,DCAB=x,

回乙4BF=AFAC,

fflABAF-AXOC,

喔=喘,則畀=竺，解得:AF=lx,

ADDC2xx2

3

0FD=AD—AF=-x,

2

團^A——F=1

FD3

故答案為：

(2)如圖：作GNJ.BH于點N,作EM18”于點M,

--------------1。

BMNHc

回A4BG為等腰直角三角形，AG=BG,AB=x,

^ABG=45°,AG^BG=—x,

2

^ABC=90°,

回乙GBN=45°,

^GNB=90°,

???乙NGB=45°=乙GBN,

.?.GN=BN=-x,

2

團曬IBC,

^\Z-ACB=Z.FAC=4ABF,

???Z.ACB+^BAE=90°,

^AABF+^BAE=90°,AAEB=90°

MF=-%,

2

BF=y/AF2+AB2=—x,

2

^SLABF=\AB-AF=\BF-AE,

：.-x2=-x-AE,解得：AE=—x,

225

AD1Ap

=tan乙4Q?

BC2BE

V5

0^=-,解得：BE=—x,

BE25

^AB1BH,

團EMlim

國乙MEB=Z.ABF,

[EtanzMEB=tanZ-ABF=-=—,

2EM

11

SS^AEB=-AE-BE^-AB-BM,

回F比.等X=解得：=

4

團EM=-x,

回EM||GN,

0AGHN~XEHM,

「GHGN口GHGN

回一=一，即n-----=一，

EHEMGH+EGEM

同GHGN》A^zg6口5V2

回爾=育=營，解得：GH=-

故答案為：然.

17.解：(1)如圖可知：。(6,6).

故答案為:(6,6).

(2)如圖：旋轉中心Q(4,2)或。(1,5).

故答案為:(4,2)或(1,5).

18.(1)解：過點2作BG1。4于點G,過點M作MN1。2于點N,如圖,

.：BG=OG=GA=^BOA=^=^

???點4(4,0),

OA=4,

，BG=OG=AG=2,

團。P=t,QP1OA,

回AQOP為等腰直角三角形，

則PQ=QP=t,

由旋轉得，QM=PQ=t,^PQM=90°

團S=：PQxQM=|t2,

由勾股定理得：PM=V2PQ=V2t,

國乙MQP=Z-QPO=90°,

???QM||PO,

而OP=QM,

???四邊形。尸MQ為平行四邊形，

???PM||OB

.??/-MPA=乙BOA=45°,

??.△PMZ為等腰直角三角形，

AP=y[2PM=2t,

OA=OP-^-PA=3t=4,

4

???t=~.

3

回s=#(o<t〈)，

故答案為：|t2^0<t<|^；

(2)解：①當*t<2時,如圖，

由（1）知：四邊形OQMP為平行四邊形，APQM為等腰直角三角形,

PQ=QM=t,PM=y/2PQ=近t.

???△PFA為等腰直角三角形，

PF=FA=^PA=y(4-t),/.PFA=90°,

???乙MFE=90°,

??.AEFM為等腰直角三角形，

-.EF=FMPM-PF=V2t-^-(4-t)=^t-2vL

S=S^PQM—S^MEF

11

=-PQ-QM--EF-FM

113V2z

~2l7~2~2夜/

7c

=—/+6t—4.

4

?,?用含t的式子表示S=—：/+6t—46Vt<2),

2

a5=_Zt2+6t_4=_Z(t_^+|,

0--<0,-<—<2,

437

團當"甘時，S的最大值是“

故答案為：—112+6t—4Q<t<2^,；

19.解：???四邊形ABC。是平行四邊形，

AD=CB,AB—CD,乙ABC—乙ADC,

CEAD

HF

.CE_CB

,,—,

CFCD

.CE_CF

??CB-CD'

乙ECF=Z-BCD,

ECFBCD,

???Z.CEF=乙CBD,

???EFWBD,故①正確；

AE1BC,AF±CD,

???乙AEB=AAFD=90°,

在AAEB和△AFO中，

Z-AEB=Z-AFD

乙ABE=Z.ADF，

、AE=AF

/.△AEB三△AFD(AAS),

AB=AD,BE=DF,

???四邊形4BCD是菱形，

???CB=CD,

??.CB-BE=CD-DF,

??.CE=CF,

.CE_CF

??CB-CD'

AEFWBD,故②正確；

vEFWBD,CE=CF,

CEFCBD,

.CE_CF

,,—,

CBCD

CECBy

???—=—=1,

CFCD

???CB—CD,

???四邊形ABCD是菱形，

???CA1BD,

???Z.ACB=Z.ACD,

在△ACE和△ACF中，

CE=CF

^CAE=^LCAF，

.AC=AC

ACEACF(SAS),

Z.EAC=Z.FAC,故③正確；

???四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AD,

.??四邊形ABCD是菱形，

CB=CD,CA1BD,

Z.ACE=Z.ACF,

如圖，當4E與BC不垂直時，BC上還存在一點口，使4