高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省泰安市2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則值為（）A.1 B. C.2 D.e【答案】C【解析】函數，則，故，所以.故選：C2.若函數，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，故選：D3.函數的圖象如圖所示，是函數的導函數，則下列數值排序正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數的圖象可知為單調遞增函數，故函數在每一處的導數值，即得，設，則連線的斜率為，由于曲線是上升的，故，所以，作出曲線在處的切線，設為，連線為，結合圖象可得的斜率滿足，即，即.故選：B4.在的展開式中，含的項的系數是（）A. B. C.69 D.70【答案】A【解析】的展開式中，含的項為，所以的項的系數是.故選：A.5.為了落實五育并舉，全面發展學生素質，學校準備組建書法、音樂、美術、體育社團，現將6名同學分配到這4個社團進行培訓，每名同學只分配到1個社團，每個社團至少分配1名同學，則不同的分配方案的種數為（）A.1200 B.1560 C.2640 D.4800【答案】B【解析】先將6名同學分為或的四組，共有種，再將4組分到書法、音樂、美術、體育社團，共有種，所以共有種.故選：B.6.已知對任意實數x，，則下列結論成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因（*）對于A項，當時，代入（*）可得，當時，代入（*）可得，所以，故A項錯誤；對于B項，當時，代入（*）可得，又，所以，故B項錯誤；對于C項，當時，代入（*）可得，故C項正確；對于D項，對（*）兩邊求導可得，當時，，故D項錯誤.故選：C.7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，當時，，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，且，所以，，故選：D8.已知定義在上的函數，，其導函數分別為，，且，則必有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得，，設，，則，故函數在上單調遞增，所以，即，所以.故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則下列結論正確的是（）A.有三個零點B.有兩個極值點C.若方程有三個實數根，則D.曲線關于點對稱【答案】BC【解析】，令解得，令解得或，所以在單調遞增，單調遞減，單調遞增，因為，極大值，且極小值，所以在有一個零點，共1個零點，A錯誤；由A知，函數有兩個極值點，故B正確；由A知，函數在單調遞增，單調遞減，單調遞增，且時，，時，，所以方程有三個實數根，需，即，故C正確；因為，所以點在函數圖象上，又點關于點的對稱點為，而，即不是函數圖象上的點，故函數不關于點對稱，故D錯誤.故選：BC.10.現有4個編號為1，2，3，4的不同的球和5個編號為1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子內，則下列說法正確的是（）A.共有種不同的放法B.恰有一個盒子不放球，共有120種放法C.每個盒子內只放一個球，恰有2個盒子的編號與球的編號相同，不同的放法有24種D.將4個不同的球換成相同的球，恰有一個空盒的放法有5種【答案】ABD【解析】對于A，每個球都有5種放法，共有種放法，故A正確；對于B，把球全部放入盒子內，恰有一個盒子不放球，則有4個盒子每個盒子放1個球，有種放法，故B正確；對于C，每個盒子內只放一個球，恰有2個盒子的編號與球的編號相同，不同的放法有種放法，故C錯誤；對于D，將4個不同的球換成相同的球，恰有一個空盒，即有4個盒子每個盒子放1個球的放法有5種，故D正確，故選：ABD.11.在探究的展開式的二項式系數性質時，我們把二項式系數寫成一張表，借助它發現二項式系數的一些規律，我們稱這個表為楊輝三角（如圖1），小明在學完楊輝三角之后進行類比探究，將的展開式按x的升冪排列，將各項系數列表如下（如圖2）：上表圖2中第n行的第m個數用表示，即展開式中的系數為，則（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】依據題意結合圖2可知圖2中每一行的每一個數等于其上一行頭頂和左右肩上共三個數的和（沒有的用0代替），如：第四行的第三個數10，等于上一行頭頂上的數3加上左右肩上的數1和6；第三行中第二個數3，等于上一行頭頂上的數1加上左右肩上的數0（左肩上沒有數，故用0代替）和2；所以，對于A，由上，故A錯；對于B，由圖可知，以此類推可得，故B對；對于C，由上可知正確，故C對；對于D，因為，，則，所以根據乘法規則的展開式中的系數為：，又，其通項為，因為，故展開式中的系數為0，故，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.現有四種不同顏色的彩燈裝飾五面體的六個頂點，要求，用同一種顏色的彩燈，其它各棱的兩個頂點掛不同顏色的彩燈，則不同的裝飾方案共有________種.（用數字作答）【答案】【解析】首先給，兩個頂點掛彩燈，有種方法，再給頂點掛彩燈，有種方法，①若、掛同一種顏色的彩燈，則有種方法，最后掛點有種方法，故有種；②若、掛不同種顏色的彩燈，此時掛點有種方法，掛點有種方法，最后掛點有種方法，故有種；綜上可得一共有種不同的方法.故答案為：13.已知的展開式中第二項與第四項的二項式系數相等，且常數項與展開式中的常數項相等，則________，________.【答案】①4②3【解析】中第二項和第四項的二項式系數分別為和，所以，根據組合數的性質可得.對于，易得通項公式為，其中令得，所以常數項為.在中，取得常數的項情況有兩種：選2個，1個，0個；或者選0個，0個，3個.所以常數項為，解得.故答案為：4；3.14.已知不等式恒成立，則實數a的取值范圍是________.【答案】【解析】由可得，即恒成立，令，則不等式可化為：，令，則，所以，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增.所以，故要使恒成立，只需，即，即，令，所以，令，則，所以時，，在上單調遞增，且當時，，時，，在上單調遞減，且當時，，所以，故.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）求在處的切線方程；（2）求的極值.解：（1），，又，在處的切線方程為，即切線方程為.（2）令，解得，當x變化時，，的變化情況如下表所示，x20單調遞增單調遞減當時，有極大值，并且極大值為，無極小值.16.從甲、乙、丙等7人中選出5人排成一排.（以下問題均用數字作答）（1）甲、乙、丙三人恰有兩人在內，有多少種排法?（2）甲、乙、丙三人全在內，且甲在乙、丙之間（可以不相鄰）有多少種排法?（3）甲、乙、丙都在內，且甲、乙必須相鄰，甲、丙不相鄰，有多少種排法?解：（1）由于甲、乙、丙三人中恰有兩人內，所以可以分3步完成：第1步，從3人中選中2人，有種選法.第2步，從其余4人中選出3人，有種選法.第3步，將選出的5個人全排列，有種排法.根據分步乘法計數原理，不同的排法有種；（2）由于三人全在內，且甲在乙、丙之間，所以可以分3步完成：第1步，從其余4人中選出2人，有種選法.第2步，將2人安排到5個位置，有種方法.第3步，剩余3個位置排甲、乙、丙三人，有2種方法根據分步乘法計數原理，不同排法有種；（3）由于甲、乙必須相鄰，甲、丙不相鄰，所以分3步完成：第1步：從其余4人中選出2人，有種選法.第2步：將甲、乙捆綁與選出的2人排列，有種方法.第3步：將丙插空有3種方法.根據分步乘法計數原理，不同排法共有種.17.已知的展開式中，所有項的系數之和是512.（1）求展開式中有理項有幾項；（2）求展開式中系數絕對值最大的項是第幾項.解：（1）所有項的系數之和是512.令，得，，展開式的通項：，，令，，3，6，9，展開式中有理項共有4項.（2）設第項系數的絕對值最大.則，解得.，，展開式中系數絕對值最大的項為第3項.18.已知函數，.（1）若，討論函數的單調性；（2）若，且，求證：.解：（1）.①當時，令，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；上單調遞減，在上單調遞增.②當時，令，解得或，當即時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，當即時，在上單調遞增，當即時，在單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，綜上所述：當時，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增；在上單調遞減，在上單調遞增.（2），恒成立，在上單調遞增，且，設，，設，，，令，解得，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，，，，不妨設，則，，，，在上單調遞增，，即.19.①在高等數學中，關于極限的計算，常會用到：i）四則運算法則：如果，則，，若，則；ii）洛必達法則1：若函數，的導函數分別為，，且，則；②設，k是大于1的正整數，若函數滿足：對，均有成立，則稱函數為區間上的k階無窮遞降函數.結合以上兩個信息，回答下列問題：（1）計算：①；②；（2）試判斷是否為區間上的2階無窮遞降函數；并證明：，.解：（1）①根據洛必達法則1，.②設，則，設，，，.（2），，，則，，，，均有，是區間上的2階無窮遞降函數.方法一：由以上同理可得，由①，得，.方法二：，設，，則，設.，則，在上單調遞增，又，在上恒成立，在上單調遞增，，在上恒成立，，在上單調遞增，又，.山東省泰安市2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則值為（）A.1 B. C.2 D.e【答案】C【解析】函數，則，故，所以.故選：C2.若函數，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，故選：D3.函數的圖象如圖所示，是函數的導函數，則下列數值排序正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數的圖象可知為單調遞增函數，故函數在每一處的導數值，即得，設，則連線的斜率為，由于曲線是上升的，故，所以，作出曲線在處的切線，設為，連線為，結合圖象可得的斜率滿足，即，即.故選：B4.在的展開式中，含的項的系數是（）A. B. C.69 D.70【答案】A【解析】的展開式中，含的項為，所以的項的系數是.故選：A.5.為了落實五育并舉，全面發展學生素質，學校準備組建書法、音樂、美術、體育社團，現將6名同學分配到這4個社團進行培訓，每名同學只分配到1個社團，每個社團至少分配1名同學，則不同的分配方案的種數為（）A.1200 B.1560 C.2640 D.4800【答案】B【解析】先將6名同學分為或的四組，共有種，再將4組分到書法、音樂、美術、體育社團，共有種，所以共有種.故選：B.6.已知對任意實數x，，則下列結論成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因（*）對于A項，當時，代入（*）可得，當時，代入（*）可得，所以，故A項錯誤；對于B項，當時，代入（*）可得，又，所以，故B項錯誤；對于C項，當時，代入（*）可得，故C項正確；對于D項，對（*）兩邊求導可得，當時，，故D項錯誤.故選：C.7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，當時，，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，且，所以，，故選：D8.已知定義在上的函數，，其導函數分別為，，且，則必有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得，，設，，則，故函數在上單調遞增，所以，即，所以.故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則下列結論正確的是（）A.有三個零點B.有兩個極值點C.若方程有三個實數根，則D.曲線關于點對稱【答案】BC【解析】，令解得，令解得或，所以在單調遞增，單調遞減，單調遞增，因為，極大值，且極小值，所以在有一個零點，共1個零點，A錯誤；由A知，函數有兩個極值點，故B正確；由A知，函數在單調遞增，單調遞減，單調遞增，且時，，時，，所以方程有三個實數根，需，即，故C正確；因為，所以點在函數圖象上，又點關于點的對稱點為，而，即不是函數圖象上的點，故函數不關于點對稱，故D錯誤.故選：BC.10.現有4個編號為1，2，3，4的不同的球和5個編號為1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子內，則下列說法正確的是（）A.共有種不同的放法B.恰有一個盒子不放球，共有120種放法C.每個盒子內只放一個球，恰有2個盒子的編號與球的編號相同，不同的放法有24種D.將4個不同的球換成相同的球，恰有一個空盒的放法有5種【答案】ABD【解析】對于A，每個球都有5種放法，共有種放法，故A正確；對于B，把球全部放入盒子內，恰有一個盒子不放球，則有4個盒子每個盒子放1個球，有種放法，故B正確；對于C，每個盒子內只放一個球，恰有2個盒子的編號與球的編號相同，不同的放法有種放法，故C錯誤；對于D，將4個不同的球換成相同的球，恰有一個空盒，即有4個盒子每個盒子放1個球的放法有5種，故D正確，故選：ABD.11.在探究的展開式的二項式系數性質時，我們把二項式系數寫成一張表，借助它發現二項式系數的一些規律，我們稱這個表為楊輝三角（如圖1），小明在學完楊輝三角之后進行類比探究，將的展開式按x的升冪排列，將各項系數列表如下（如圖2）：上表圖2中第n行的第m個數用表示，即展開式中的系數為，則（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】依據題意結合圖2可知圖2中每一行的每一個數等于其上一行頭頂和左右肩上共三個數的和（沒有的用0代替），如：第四行的第三個數10，等于上一行頭頂上的數3加上左右肩上的數1和6；第三行中第二個數3，等于上一行頭頂上的數1加上左右肩上的數0（左肩上沒有數，故用0代替）和2；所以，對于A，由上，故A錯；對于B，由圖可知，以此類推可得，故B對；對于C，由上可知正確，故C對；對于D，因為，，則，所以根據乘法規則的展開式中的系數為：，又，其通項為，因為，故展開式中的系數為0，故，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.現有四種不同顏色的彩燈裝飾五面體的六個頂點，要求，用同一種顏色的彩燈，其它各棱的兩個頂點掛不同顏色的彩燈，則不同的裝飾方案共有________種.（用數字作答）【答案】【解析】首先給，兩個頂點掛彩燈，有種方法，再給頂點掛彩燈，有種方法，①若、掛同一種顏色的彩燈，則有種方法，最后掛點有種方法，故有種；②若、掛不同種顏色的彩燈，此時掛點有種方法，掛點有種方法，最后掛點有種方法，故有種；綜上可得一共有種不同的方法.故答案為：13.已知的展開式中第二項與第四項的二項式系數相等，且常數項與展開式中的常數項相等，則________，________.【答案】①4②3【解析】中第二項和第四項的二項式系數分別為和，所以，根據組合數的性質可得.對于，易得通項公式為，其中令得，所以常數項為.在中，取得常數的項情況有兩種：選2個，1個，0個；或者選0個，0個，3個.所以常數項為，解得.故答案為：4；3.14.已知不等式恒成立，則實數a的取值范圍是________.【答案】【解析】由可得，即恒成立，令，則不等式可化為：，令，則，所以，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增.所以，故要使恒成立，只需，即，即，令，所以，令，則，所以時，，在上單調遞增，且當時，，時，，在上單調遞減，且當時，，所以，故.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）求在處的切線方程；（2）求的極值.解：（1），，又，在處的切線方程為，即切線方程為.（2）令，解得，當x變化時，，的變化情況如下表所示，x20單調遞增單調遞減當時，有極大值，并且極大值為，無極小值.16.從甲、乙、丙等7人中選出5人排成一排.（以下問題均用數字作答）（1）甲、乙、丙三人恰有兩人在內，有多少種排法?（2）甲、乙、丙三人全在內，且甲在乙、丙之間（可以不相鄰）有多少種排法?（3）甲、乙、丙都在內，且甲、乙必須相鄰，甲、丙不相鄰，有多少種排法?解：（1）由于甲、乙、丙三人中恰有兩人內，所以可以分3步完成：第1步，從3人中選中2人，有種選法.第2步，從其余4人中選出3人，有種選法.第3步，將選出的5個人全排列，有種排法.根據分步乘法計數原理，不同的排法有種；（2）由于三人全在內，且甲在乙、丙之間，所以可以分3步完成：第1步，從其余4人中選出2人，有種選法.第2步，將2人安排到5個位置，有種方法.第3步，剩余3個位置排甲、乙、丙三人，有2種方法根據分步乘法計數原理，不同排法有種；（3）由于甲、乙必須相鄰，甲、丙不相鄰，所以分3步完