高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省保定市部分高中2023-2024學年高一下學期開學數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，故.故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，解得或，因為為或的真子集，則“”是“”的充分不必要條件．故選：A.3.已知角的終邊經過點，則角的值可能為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，所以，故角的值可能為．故選：A.4.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以．故選：D.5.將函數圖象上所有的點都向左平移個單位長度后，再將所得函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，得到函數的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將圖象上所有的點都向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，再將所得函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，得.故選：D.6.函數的零點個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】當時，令，解得或；當時，令，則，畫出函數與函數的圖象，可知在上有一個公共點.故的零點個數為3.故選：C.7.已知函數在上有且只有一個最大值點（即取得最大值對應的自變量），則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，由題意可得，解得，即取值范圍是.故選：B.8.已知是上的單調函數，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】若在上單調遞增，則，解得，若在上單調遞減，則，解得，故的取值范圍是．故選：B.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列命題是真命題的是（）A.若函數，則B.“”的否定是“”C.函數為奇函數D.函數且圖象過定點【答案】ABD【解析】令，則，A正確；由全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題知，“”的否定是“”，B正確；的定義域為，且，故函數是偶函數，C錯誤；令，則，D正確.故選：ABD.10.若關于的不等式有實數解，則的值可能為（）A.0 B.3 C.1 D.【答案】ACD【解析】當時，不等式有解，符合題意；當時，得，則不等式有解；當時，由，解得，綜上，的取值范圍為，對照選項，選項ACD中的值符合題意.故選：ACD.11.已知函數的部分圖象如圖所示，若，，則（）A.B.的單調遞增區間為C.的圖象關于點對稱D.的圖象關于直線對稱【答案】AD【解析】根據圖象可得，因為，所以，則，得，將代入中，得，則，解得，因為，所以，所以，A正確；令，得，B錯誤；，所以的圖象不關于點對稱，C錯誤；，所以的圖象關于直線對稱，D正確.故選：AD.12.已知函數若滿足，則下列結論正確是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】ABC【解析】作出的圖象，如圖所示：由圖可知，，A正確；由對稱性可得，所以，B正確；令，解得，令，解得4，則，則，因為函數在上單調遞減，所以，則，C正確；，當且僅當時，等號成立，因為，所以，D錯誤．故選：ABC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.函數的定義域為______________.【答案】【解析】由題意，解得，所以函數的定義域為.故答案：.14.若正數滿足，則的最大值為__________．【答案】10【解析】因為，當且僅當，即時，等號成立，所以，故的最大值為10．故答案為：10.15.一扇環形磚雕如圖所示，該扇環形磚雕可視為扇形截去同心扇形所得的部分，已知分米，弧長為分米，弧長為分米，則______分米，此扇環形磚雕的面積為______平方分米.【答案】6【解析】設圓心角，則，解得分米，所以分米，則此扇環形磚雕的面積為平方分米.故答案為：6.16.若函數在上滿足恒成立，則__________．【答案】【解析】設，則，即①，由得，則②，由①②可得，即，因為不恒為0，所以，所以，經驗證，符合題意．故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式．18.已知函數且.（1）求方程的解集；（2）求關于的不等式的解集.解：（1）由，得，則，解得，所以，即，解得或，故方程的解集為.（2）因為是上的增函數，，所以，解得，則不等式的解集為.19.已知，.（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為，所以，因為，所以，，，所以．（2）方法一：因為，所以，則，，所以，，則．方法二：．方法三：，解得或，因為，所以，則，故．20.已知函數的最小正周期為.（1）將化簡成的形式；（2）設函數，求函數在上的值域.解：（1），根據題意可得，解得，故（2）由（1）知，則，所以當或時，取得最小值，最小值為，當時，取得最大值，最大值為，故在上的值域為.21.已知某批藥品在2023年治愈效果的普姆克系數（單位：）與月份）的部分統計數據如下表：月101112普姆克系數102402048040960（1）根據上表數據，從下列兩個函數模型①，②中選取一個恰當的函數模型描述該批藥品在2023年治愈效果的普姆克系數與月份之間的關系，并寫出這個函數解析式；（2）用（1）中的函數模型，試問哪幾個月該批藥品治愈效果的普姆克系數在內？解：（1）因為函數模型①是指數型函數，其增長速度較快，函數模型②的增長速度較為緩慢，所以根據表中數據，應選函數模型①更為恰當，根據題意可得，當時，；當時，，由，解得，故該函數模型的解析式為.（2）函數在其定義域內單調遞增，令，得，又，所以，故7月份，8月份，9月份這三個月該批藥品治愈效果的普姆克系數在內.22.已知函數為偶函數．（1）求的值；（2）若關于的不等式恒成立，求的取值范圍；（3）若，證明：．解：（1）因為為偶函數，所以，得．（2）不等式恒成立，即恒成立，因為，所以，令，當且僅當時，等號成立，因為函數在上單調遞增，所以，所以，即的取值范圍為．（3）由，得，即，設函數，則在上單調遞增，因為，，所以，設任意，因為，所以，即，所以在上單調遞增，則，因為，，即．河北省保定市部分高中2023-2024學年高一下學期開學數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，故.故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，解得或，因為為或的真子集，則“”是“”的充分不必要條件．故選：A.3.已知角的終邊經過點，則角的值可能為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，所以，故角的值可能為．故選：A.4.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以．故選：D.5.將函數圖象上所有的點都向左平移個單位長度后，再將所得函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，得到函數的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將圖象上所有的點都向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，再將所得函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，得.故選：D.6.函數的零點個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】當時，令，解得或；當時，令，則，畫出函數與函數的圖象，可知在上有一個公共點.故的零點個數為3.故選：C.7.已知函數在上有且只有一個最大值點（即取得最大值對應的自變量），則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，由題意可得，解得，即取值范圍是.故選：B.8.已知是上的單調函數，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】若在上單調遞增，則，解得，若在上單調遞減，則，解得，故的取值范圍是．故選：B.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列命題是真命題的是（）A.若函數，則B.“”的否定是“”C.函數為奇函數D.函數且圖象過定點【答案】ABD【解析】令，則，A正確；由全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題知，“”的否定是“”，B正確；的定義域為，且，故函數是偶函數，C錯誤；令，則，D正確.故選：ABD.10.若關于的不等式有實數解，則的值可能為（）A.0 B.3 C.1 D.【答案】ACD【解析】當時，不等式有解，符合題意；當時，得，則不等式有解；當時，由，解得，綜上，的取值范圍為，對照選項，選項ACD中的值符合題意.故選：ACD.11.已知函數的部分圖象如圖所示，若，，則（）A.B.的單調遞增區間為C.的圖象關于點對稱D.的圖象關于直線對稱【答案】AD【解析】根據圖象可得，因為，所以，則，得，將代入中，得，則，解得，因為，所以，所以，A正確；令，得，B錯誤；，所以的圖象不關于點對稱，C錯誤；，所以的圖象關于直線對稱，D正確.故選：AD.12.已知函數若滿足，則下列結論正確是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】ABC【解析】作出的圖象，如圖所示：由圖可知，，A正確；由對稱性可得，所以，B正確；令，解得，令，解得4，則，則，因為函數在上單調遞減，所以，則，C正確；，當且僅當時，等號成立，因為，所以，D錯誤．故選：ABC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.函數的定義域為______________.【答案】【解析】由題意，解得，所以函數的定義域為.故答案：.14.若正數滿足，則的最大值為__________．【答案】10【解析】因為，當且僅當，即時，等號成立，所以，故的最大值為10．故答案為：10.15.一扇環形磚雕如圖所示，該扇環形磚雕可視為扇形截去同心扇形所得的部分，已知分米，弧長為分米，弧長為分米，則______分米，此扇環形磚雕的面積為______平方分米.【答案】6【解析】設圓心角，則，解得分米，所以分米，則此扇環形磚雕的面積為平方分米.故答案為：6.16.若函數在上滿足恒成立，則__________．【答案】【解析】設，則，即①，由得，則②，由①②可得，即，因為不恒為0，所以，所以，經驗證，符合題意．故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式．18.已知函數且.（1）求方程的解集；（2）求關于的不等式的解集.解：（1）由，得，則，解得，所以，即，解得或，故方程的解集為.（2）因為是上的增函數，，所以，解得，則不等式的解集為.19.已知，.（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為，所以，因為，所以，，，所以．（2）方法一：因為，所以，則，，所以，，則．方法二：．方法三：，解得或，因為，所以，則，故．20.已知函數的最小正周期為.（1）將化簡成的形式；（2）設函數，求函數在上的值域.解：（1），根據題意可得，解得，故（2）由（1）知，則，所以當或時，取得最小值，最小值為，當時，取得最大值，最大值為，故在上的值域為.21.已知某批藥品在2023年治愈效果的普姆克系數（單位：）與月份）的部分統計數據如下表：月101112普姆克系數102402048040960（1）根據上表數據，從下列兩個函數模型①，②中選取一個恰當的函數模型描述該批藥品在2023年治愈效果的普姆克系數與月份之間的關系，并寫出這個函數解析式；（2）用（1）中的函數模型，試問哪幾個月該批藥品治愈效果的普姆克系數在內？解：（1）因為函數模型①是指數型函數，其增長速度較快，函數模型②的增長速度較為緩慢，所以根據表中數據，應選函數模型①更為恰當，