第03講數據的波動情況

01

課程標準學習目標

①方差1.掌握方差的定義以及計算公式，并能夠熟練的計算數據的方差。

②用樣本方差估計總體方差2.能夠熟練的運用樣本方差估算整體方差。

③數據分析的步驟3,能熟練的分析統計數據解決相關問題。

02思維導圖

方差

用樣本方差估計總體方差

知識點

數據分析的步驟

數據的波動情況求數據的方差

方差的意義

根據已知數據的方差求新數據的方差

題型統計量的選擇

統計過程的熟悉與方法的選擇

統計的應用

03知識清單

知識點01方差

1.方差的定義與計算公式:

定義：若有〃個數據Xi，x2,x3...x?,他們的平均數是X,我們可以用這些數與平均數的差的平方,

即儲-丁,卜2-9島--守的平均數來衡量這組數據的。并把它叫做這組數據的

方差。

計算公式：用字母來表示方差。

2.方差的意義：

方差是用來衡量一組數據的,一組數據的方差越大，數據的波動,一組數據的

方差越小，數據波動o

3.方差的拓展：

若數據X1，x2,X3…X"的方差是J：

(1)數據項+。，x2+a,...,X"+a的方差是。

(2)數據左西，kx2,日3…去〃的方差是。

(3)數據依1+。，kx2+a,左與+。…丘”+。的方差是。

4.標準差：

求方差的算術平方根即為一組數據的標準差。

5.極差：

一組數據的與的差即為一組數據的極差。

【即學即練1】

1.已知一個樣本-1,0,2,x,3,平均數為2,則這個樣本的方差W是()

A.5B.3C.4D.6

【即學即練2】

2.甲、乙、丙、丁四名學生各進行20次射擊測試，他們的平均成績相同，方差分別是S甲2=2.1,S乙2=

l.bS丙2=1.5,$/=0.9,這四名學生成績最穩定的是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【即學即練3】

3.一組數據町，xi,叼,...,X"的方差是a,平均數是6,則另一組數據3所+2,3x2+2,3x3+2,.........,

3x?+2的方差和平均數分別是()

A.a,bB.9a,3b+2C.3b,2aD.3a+2,b+2

知識點02用樣本方差估計總體方差

1.用樣本方差估計總體方差：

就像用樣本平均數估算整體平均數一樣，在考察總體方差時，如果考察的總體包含很多個體時，或者

考察本身具有破壞性，則在實際中常常用樣本方差估算整體方差。

【即學即練1】

4.某火龍果種植基地，先進的燈光補給系統模擬不同時段的太陽光波，專門給火龍果補光催花，促進火龍

果光合作用.技術員隨機從甲、乙、丙、丁四個品種的火龍果樹中各選50棵，每個品種產量的平均數久

（單位：千克）及方差$2（單位：千克2）如下表所示，種植基地準備從這四個品種中選出一種產量既

高又穩定的火龍果樹進行種植，則應選的品種是（）

甲乙丙T

X20201918

S21.61.71.61.7

A.甲B.乙C.丙D.丁

知識點03數據分析的步驟

1.數據分析的步驟：

（1）收集數據：確定樣本與抽取樣本的方法。

（2）制成統計表。

（3）描述數據：根據統計表畫出統計圖（條形圖、直方圖以及折線圖等），使得數據分布的信息更清

楚的展現出來。

（4）數據分析：根據原始數據以及各種統計圖表，計算各組數據的平均數，中位數，眾數以及方差等,

通過分析圖表以及計算結果得出結論。

【即學即練11

5.某學習小組將要進行一次統計活動，下面是四位同學分別設計的活動序號，其中正確的是（）

A.實際問題一收集數據一表示數據一整理數據一統計分析合理決策

B.實際問題一表示數據一收集數據一整理數據一統計分析合理決策

C.實際問題一收集數據一整理數據一表示數據一統計分析合理決策

D.實際問題一整理數據一收集數據一表示數據一統計分析合理決策

【即學即練2】

6.為了加強心理健康教育，某校組織七年級（1）（2）兩班學生進行了心理健康常識測試（分數為整數，

滿分為10分），已知兩班學生人數相同，根據測試成績繪制了如圖所示的統計圖.

（1）班學生成績條形統計圖

（2）班學生成績扇形統計圖

A人數

。二二二…二二二二

，三,三］與三三

8上二二二二二二：|二二］二二二二二二二

"二:二二二：：：］［二二：二二W：

\/占22%\/

°6分7分8分9分10分分數

（1）求（2）班學生中測試成績為10分的人數；

（2）請確定下表中a,b,c的值（寫出求a的計算過程）；

（3）從下表中選擇合適的統計量，說明哪個班的成績更均勻.

統計量平均數眾數中位數方差

(1)班88C1.16

(2)班ab81.56

04題型精講

題型01求數據的方差

【典例1】為了弘揚中華傳統文化，某班開展了背誦古詩詞競賽，滿分10分.現從40名同學中隨機抽取5

名同學的得分，得到如下數據：6,6,8,10,10.該樣本的方差是（）

A.3.2B.3.3C.3.4D.3.5

【變式1】5個同學進行投籃比賽，投中的個數分別是6,8,10,7,9,這組數據的方差是（）

A.2B.3C.4D.5

【變式2】若數據10,9,a,12,9的平均數是10,則這組數據的方差是.

【變式3】已知一組數據1,2,3,4,5的平均數是對，方差是s3另一組數據2,3,4,5,6的平均數是

巧，方差是名，則下列說法正確的是（）

A?X]久2，S]=S2

B.巧。巧，sj=s；

C?X]無2,S]HS2

D.%I-f-%29sjWS；

題型02方差的意義

【典例1】在“一分鐘跳繩”項目的三次測試中，某班4名同學所得成績的平均數及方差如表，如果選一

名同學代表班級參加學校運動會，那么最適合的是（）

甲乙丙T

平均數189192189192

方差61243117

A.甲B.乙C.丙D.丁

【變式1】甲乙兩班的學生人數相等，參加了同一次數學測試，兩班的平均分都是89分，方差分別為S甲2

=2.56,S乙2=1.92,那么成績比較整齊的班級是（）

A.甲班B.乙班

C.兩班一樣整齊D.無法確定

【變式2】某校九年級aB,C三個班的一次數學測試成績的統計量如上表：已知/,B,C三個班人數相

同，請根據如表數據，判斷哪個班的成績較好且更穩定（）

統計量班級平均數方差

/班92.9538.89

B班92.9547.52

C班92.1539.96

A./班B.2班C.C班D.無法判斷

【變式3】甲、乙、丙三名學生參加引體向上體育項目測試，已知他們測試成績的平均數相同，方差如下:

s%=2.5,s1=4.4,s福=0.8.則甲、乙、丙中成績最穩定的學生是.

題型03根據已知數據的方差求新數據的方差

【典例1】已知樣本xi，X2>X3>為的方差是1,那么樣本3xi+3,3x2+3,3有+3,…，3x〃+3的方差是

（）

A.1B.3C.6D.9

【變式1】已知一組數據：Q，X2,叼，…，礪的方差是3,則另一組數據：/+3,切+3,有+3,…與+3的方

差是.

【變式2］如果一組數據XI，X2，…X5的平均數是2,方差是2,則另一組數據3x「2,3x2-2,34-2,…

3x5-2的平均數和方差分別是（）

A.2,2B.2,6C.4,4D.4,18

【變式3］已知五個數據X1，X2，X3，X4，X5的平均數是方差是6,則3修-2,3》2-2,3與-2,3x4-

2,3x5-2這五個數據的平均數和方差分別是（）

A.3。-2,3b-2B.3a,3b-2C.3a,3bD.3a-2,9b

題型04統計量的選擇

【典例1】某校舉辦演講比賽，評分規則是：io名評委為同一位選手評分，去掉1個最高分和1個最低分

后得到8個有效評分，這8個有效評分與10個原始評分相比，一定不發生變化的統計量是（）

A.中位數B.眾數C.平均數D.方差

【變式1】某校九年級有13個班進行大合唱比賽，預賽成績各不相同，要取前6名參加決賽，小林已經知

道了自己班的成績，她想知道自己班能否進入決賽，還需要知道這13個班合唱成績的（）

A.中位數B.眾數C.平均數D.方差

【變式2】酷帥服裝超市某品牌童裝的銷售專柜對近一個月的銷售情況進行了統計，銷售情況如表所示：

顏色紅色藏青色白色藍色卡其色

數量/件182190100163335

店長決定下月進童裝時多進一些卡其色的，可用來解釋這一決定的統計量是（）

A.方差B.中位數C.眾數D.平均數

題型05統計過程的熟悉與方法的選擇

【典例1］班委會決定組織一次娛樂活動，內容從講笑話和唱歌中選擇一項，決定是講笑話還是唱歌，班

委會決定進行民意調查，下列說法錯誤的是（）

A.調查的問題是：選擇講笑話還是唱歌

B.調查的范圍是：全班同學

C.調查的方式是：查找資料

D.這次調查需要收集的數據是：全班同學選擇講笑話和唱歌的人數

【變式1】實施“雙減”政策后，為了解我縣初中生每天完成家庭作業所花時間及質量情況，根據以下四

個步驟完成調查：①收集數據；②分析數據；③制作并發放調查問卷；④得出結論，提出建議和整改

意見.你認為這四個步驟合理的先后排序為（）

A.①②③④B.①③②④C.③①②④D.②③④①

【變式2】數據處理的一般過程包括：---分析數據一得出結論，則下列選項處依

次填入劃線處，正確的順序是（）

①描述數據；②收集數據；③整理數據.

A.①②③B.①③②C.②③①D.③①②

【變式3】為了解游客在桂林、柳州和北海這三個城市旅游的滿意度，數學小組的同學商議了幾個收集數

據的方案.方案一：在桂林調查1000名游客；方案二：在柳州調查1000名游客；方案三：在北海調查

1000名游客；方案四：在三個城市各調查1000名游客.其中最合理的是（）

A.方案一B.方案二C.方案三D.方案四

題型06統計的應用

【典例1】為深入學習貫徹2024年全國“兩會”精神，培養發展新質生產力所需要的高素質人才，某校組

織了以“聚焦兩會熱點?爭做時代青年”為主題的知識競賽，并隨機抽查了八、九年級各10名學生的成

績（單位：分），進行了如下數據的整理與分析.

數據收集：

八年級10名學生的競賽成績分別為：85,85,90,75,90,95,80,85,70,95；

九年級10名學生的競賽成績分別為：80,95,80,90,85,75,95,80,90,80.

數據整理分析：

平均數中位數眾數方差

八年級85a8560

九年級8582.5b45

根據以上統計信息，回答下列問題：

（1）表中a=,b=；

（2）若該校八年級600名學生均參加了本次知識競賽，請你估計該校八年級學生本次競賽成績在85分

及以上的學生人數；

（3）九年級的小芬認為，在此次知識競賽中，九年級成績比八年級成績好，你同意嗎？請選擇適當的統

計量說明理由.

【變式1】4月23日是世界讀書日，全稱為世界圖書與版權日，又稱“世界圖書日”，設立的目的是推動更

多的人去閱讀和寫作，希望所有人都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻的文學、文化、科學、思

想大師們，保護知識產權.習近平說：“我愛好挺多，最大的愛好是讀書，讀書已成為我的一種生活方式

，讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然之氣.”學校某興趣小組為了了解學生

課外閱讀的情況，抽樣調查了部分學生每周用于課外閱讀的時間，過程如下：

【收集數據】從學校隨機抽取20名學生，進行了每周用于課外閱讀時間的調查，數據如表（單位：

min）：

306081504011013014690100

60811201407081102010081

【整理數據】按如表分段整理樣本數據:

課外閱讀時間X0?4040?8080?120120^x^160

（min）

人數3584

【分析數據】對樣本數據進行分析得到如表分析表:

平均數中位數眾數

80mn

【得出結論】

（1）補全分析表中的數機=，n=；

（2）如果該校現有學生2400人，請估計每周閱讀時間超過90加”的學生有多少名？

（3）假設平均閱讀一本課外書的時間為240分鐘，請你選擇一種統計量估計該校學生每人一年（按52

周計算）平均閱讀多少本課外書？

【變式2】為弘揚國學文化，某校開展了國學知識講座.為了解學生的學習情況，在七、八年級各抽取了

50名學生進行了國學知識測試，根據測試成績繪制了如下所示的統計圖.

七年級抽取的學生成績條形統計圖

八年級抽取的學生成績扇形統計圖

(1)求抽取的八年級學生中測試成績為10分的人數;

(2)請確定表中a、b、c,m的值:

統計量平均數眾數中位數方差

七年級88Cm

八年級ab81.56

直接與出：a=,b=,c=,m=

(3)從上表中選擇合適的統計量，說明哪個年級的成績更穩定.

【變式3】為了解中學生的視力情況，某區衛健部門決定隨機抽取本區部分初，高中學生進行調查，并對

他們的視力數據進行整理，得到如下統計表和統計圖.

初中學生視力情況統計表：

視力0.6及以下0.70.80.91.01.1及以上合計

人數8162834m46200

百分比4%8%14%17%34%n100%

高中學生視力情況統計圖：

人數

90_

82

80_

70_

_

60

_普n55

50_44

40_

30_

_14

20

0】□UUa

10

0.6及0.70.80.91.01.1及視力

以下以上

根據提供的信息，解答下列問題：

（1）m=，n=；

（2）被調查的高中學生視力情況的樣本容量為；

（3）分析處理：①小胡說：“初中學生的視力水平比高中學生的好.”請你對小胡的說法進行判斷，并

選擇一個能反映總體的統計量說明理由；

②約定：視力未達到1.0為視力不良.若該區有26000名初中學生，估計該區有多少名中學生視力不良?

并對視力保護提出一條合理化建議.

強化訓練

1.一組數據：5,12,4,5,9,這組數據的平均數和極差分別是（）

A.7,8B.5,8C.7,7D.5,7

2.甲、乙、丙三名男生進行跳遠測試，每人10次跳遠成績的平均數都是2.36加，方差分別是S今=1.30,

1T

S；=1.15,S奈=0.85,則這三名同學跳遠成績最穩定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.無法比較

3.已知一組數據26,36,36,3?，41,42,其中一個兩位數的個位數字被墨水涂污，則關于這組數據下

列統計量的計算結果與被涂污數字無關的是（）

A.平均數B.方差C.中位數D.眾數

4.某校為了解同學們課外閱讀名著的情況，在九年級隨機抽查了20名同學在一年內的課外閱讀名著的情

況，調查結果如表所示：關于這20名同學課外閱讀名著的情況，下列說法正確的是（）

課外名著閱讀89101112

量（本）

學生數33464

A.極差是1本

B.中位數是10本

C.眾數是11本

D.閱讀量多于10本的同學占70%

5.新學期到來，學校組織同學們進行了體檢，某班的體檢統計結果顯示：與上一次體檢相比，該班的男生

身高普遍有明顯增長，女生身高普遍沒有明顯增長，則下列推斷一定正確的是（）

A.該班男生的身高數據的平均數變大

B.該班女生的身高數據的方差變大

C.該班所有同學的身高數據的中位數變大

D.該班男生平均身高和該班女生平均身高的差距（差值的絕對值）變大

1

6.老師在黑板上寫出一個計算方差的算式：S2=-[（11-8）2+（9-8）2+（8-8）2+2x（6-8）2],根據上式

還原得到的數據，下列結論不正確的是（）

A.〃=5

B.平均數為8

C.添加一個數8后方差不變

D.這組數據的眾數是6

7.期末考試后，辦公室里有兩位數學老師正在討論他們班的數學考試成績.王老師說：“我班的學生考得

還不錯，有一半的學生考90分以上，一半的學生考不到90分.”張老師說：“我班大部分的學生都考在

85分到90分之間.”王老師和張老師對學生成績分析的角度分別是（）

A.平均數、眾數B.中位數、眾數

C.中位數、方差D.平均數、中位數

8.為了了解某校學生的每日運動量，收集數據正確的是（）

A.調查該舞蹈隊學生每日的運動量

B.調查該校書法小組學生每日的運動量

C.調查該校某個班級的學生每日的運動量

D.調查該校田徑隊學生每日的運動量

9.甲、乙兩名戰士在相同條件下各射擊10次，每次命中的環數如下：甲：8,6,7,7,9,10,7,5,4,

7；乙：7,9,8,5,6,7,7,6,7,8；以下選項正確的是（）

A.甲的平均數大于乙的平均數

B,甲的方差大于乙的方差

C.甲的中位數大于乙的中位數

D.甲的眾數大于乙的眾數

10.下列說法正確的是（）

A.數據3,5,4,1,1的中位數是4,眾數是1

B.班級平均分80分，小明81分，則小明一定超過班級一半的同學

C.某組數據方差為W,若把其中每個數據都變為原來的3倍，則方差變為3s2

D.甲乙兩組學生身高的平均數均為1.55,方差分別為S甲2=2.5,S乙2=1.9,則乙組學生的身高較整齊

11.某市2024年10月5日?10月9日每天的最低氣溫分別為（單位：。C）：17,14,12,10,13,則這5

天中該市最低氣溫的極差為℃.

12.若1、2、3、4、x的方差與3、4、5、6、7的方差相等，則x=.

13.若一組數據“4,a,5,6,b”的平均數是5,眾數是5,則這組數據的方差為.

14.已知一組數據：xi，》3，…，出的方差是3,則另一組數據：xi+3,X2+3,???,x〃+3的方差是.

1

15.在方差計算公式S2=茄[（巧-15）2+（亞-15）2+…+（冷0-15）2],若如〃分別表示這組數據的個數和

n

平均數，則藐的值為.

16.某校在3月份開展了“讓森林走進城市，讓城市擁抱森林”的主題活動，要求每人植7?10棵樹，并

分為四種類型，10棵；B：9棵；C：8棵；D：7棵.學校分別從七、八年級各抽取25名學生每人的

植樹量整理并繪制成如下統計圖表，請根據提供的信息解答下列問題：

七年級抽取學生每人的植樹量統計圖八年級抽取學生每人的植樹量統計圖

年級平均數（單位：中位數（單位：眾數（單位：棵）方差

棵）棵）

七年級8.76a91.06

八年級8.768b1.38

根據以上信息，解答下列問題：

（1）填空：a—,b—；

（2）根據以上數據，你認為哪個年級本次活動的整體植樹量較好？請說明理由（理由不少于兩條）.

（3）若該校七年級有400人，八年級有500人參加本次活動，學校決定將植樹棵數不低于9棵的學生被

評為植樹標兵，估計這次被評為植樹標兵的學生人數.

17.為了增強學生的安全意識，某校開展了主題為“科學防護?珍愛生命”的安全知識競賽.現從該校七、

八年級中各隨機抽取10名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用x表示，共分

成四組：480Wx<85,R85Wx<90,C904<95,D95W無W100）,下面給出了部分信息：

七年級10名學生的競賽成績是：99,80,99,86,99,96,90,100,89,82.

八年級10名學生的競賽成績在C組中的數據是：94,90,94.

七、八年級抽取的學生競賽成績統計表

年級七年級八年級

平均數9292

中位數93b

眾數C100

方差5250.4

根據以上信息，解答下列問題：

（1）直接寫出上述圖表中a,b,c的值；

（2）根據以上數據，你認為該校七、八年級中哪個年級學生的安全知識競賽成績較好？請說明理由（寫

出一條理由即可）.

八年級抽取的學生競賽成績扇形統計圖

18.隨著互聯網絡快速發展，現在//人工智能也迅速興起，人工智能軟件也已滲透進我們的生活.某平臺

抽取用戶對/、2兩款人工智能軟件進行評分，將收集到的評分數據進行整理、描述和分析.下面給出

了部分信息.

抽取的對/款人工智能軟件的所有評分數據：64,70,75,76,78,78,85,85,85,85,86,89,90,

90,94,95,98,98,99,100.

抽取的對8款人工智能軟件的20條評分數據中C組包含的所有數據：85,86,87,88,88,88,90,

90.CA：60cxW70,B：70VxW80,C：80cxW90,Z>：90<x^l00)

抽取的對/、8兩款人工智能軟件的評分統計表

軟件平均數中位數眾數方差

A8685.5b96.6

B86a8869.8

根據以」匕信息，解答下列問題：

(1)填空：a=,b=,m=；

(2)根據以上數據，你認為哪款人工智能軟件更受用戶歡迎？請說明理由(寫出一條理由即可)；

(3)若本次調查有600名用戶對/款人工智能軟件進行了評分，有800名用戶對3款人工智能軟件進

行了評分，估計其中對/、8兩款人工智能軟件非常滿意(90<xW100)的用戶總人數.

抽取的對B款人工智能軟件的評分扇形統計圖

19.現在越來越多的孩子從小學習很多樂器，吉他就是很熱門的一個，中國音樂協會為了了解國產吉他的

品質（指板材質、發出的聲音等），對敦煌、鳳靈兩種品牌進行了抽樣調查.在相同條件下，隨機抽取了

兩種品牌的吉他各9份樣品，對吉他的品質進行評分（百分制），并對數據進行收集、整理，下面給出兩

種品牌吉他得分的統計圖表.

甲、乙兩種品牌吉他得分表

序號12