高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省清遠市四校聯盟2023-2024學年高二下學期期中檢測數學試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題只有一項是符合要求，共8小題，每小題5分，共40分）1.已知，則（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】求導得：，所以，即，解得：.故選：C2.已知五個區域A，B，C，D，E依次相鄰，如圖所示，現在給這5個區域涂色，要求相鄰的兩個區域不能涂相同的顏色，現有5種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法有（）A.1140 B.1200 C.1280 D.1400【答案】C【解析】依題意，分5步依次對涂色，所以不同的涂色方法有（種）.故選：C3.設函數y＝xsinx＋cosx的圖象上點P(t，f(t))處的切線斜率為k，則函數k＝g(t)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】可得：．可得：，由于，函數是奇函數，排除選項，C；當時，，排除選項D．故選：B4.要從某小組6名男生和3名女生中隨機選出3人去參加社會實踐活動，則抽取的3人中，男生至少為1人的選法種數為（）A.55 B.63 C.65 D.83【答案】D【解析】男生至少為人的反面是人全是女生，總數為，人全是女生為，所以共有種.故選：D.5.已知函數的圖象如圖所示，是的導函數，則下列數值排序正確的是（）A.B.CD.【答案】A【解析】由圖形可知，在點處的切線斜率大于割線的斜率，割線的斜率大于在點處的斜率，且都大于零，即，則．故選：A．6.在的展開式中，項的系數為（）A.10 B.12 C.15 D.21【答案】C【解析】由二項式定理，得的展開式中，項的系數為：．故選：C．7.展開式中，的系數為（）A.15 B.20 C.30 D.40【答案】C【解析】，，所以的系數為．故選：C．8.已知函數是定義在上的奇函數，且當時不等式成立，若，，，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，當時，，故函數在上為減函數.又因是R上的奇函數，由可知是R上的偶函數，故在上是增函數.因，，，，，，則，故得，即，故.故選：D.二、多選題（本大題有多項是符合要求的，全部選對6分，有選錯0分，部分選對得部分分，共3小題，每小題6分，共18分）9.高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區進行活動，下列說法正確的有（）A.如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種B.如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有25種C.如果三名同學選擇的社區各不相同，則不同的安排方法共有60種D.如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，則不同的安排方法共有20種【答案】ABC【解析】安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，選項A：如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有（種）.判斷正確；選項B：如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有（種）.判斷正確；選項C：如果三名同學選擇的社區各不相同，則不同的安排方法共有（種）.判斷正確；選項D：如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，再分為丙與甲、乙兩名同學在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有（種）.判斷錯誤.故選：ABC10.下列不等式中，對任意的恒成立的是（）A B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，令，，則，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，即恒成立，所以對任意的恒成立，A正確；對于B，令，，則，所以在上單調遞減，所以，所以對任意的恒成立，故B錯誤；對于C，令，，則，令，易知，使，即，，當時，，單調遞減；當,時，，單調遞增；所以，所以，即對任意的恒成立，C正確；對于D，令，，則，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；又因為，所以，即，所以，即，所以，D錯誤．故選：AC．11.關于函數，下列判斷正確的是（）A.是的極小值點B.函數圖像上的點到直線的最短距離為C.函數有且只有1個零點D.不存在正實數k，使成立【答案】AB【解析】對A：函數的定義域為，，當時，；當時，；故函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以是的極小值點，故A正確；對B：設直線與函數的圖像相切，切點坐標為，由，可得，解得，所以，即切點為，則切點到直線的距離為，即函數圖像上的點到直線的最短距離為，故B正確；對C：因，所以，當時，；當時，；故函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，所以函數不存在零點，故C不正確，對D：由選項C可知：，即恒成立，所以存在正實數k，使恒成立，故D錯誤．故選：AB．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共15分）12.若質點按照規律做直線運動（位移單位：m，時間單位：s），則質點在時的瞬時速度為______．【答案】28【解析】，則，．故答案為：28．13.已知，則______．【答案】10【解析】由兩邊求導得，，取，可得：.故答案為：10.14.已知，是的導函數，即，，，，，若當時，，則的取值范圍是______．【答案】【解析】根據題意，可得，，，，，，依此規律，可得：．所以，由，可得．所以當時，，即為當時，，即時，恒成立，令，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，所以，即的取值范圍是．故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答題應寫出必要的文字說明，推理證明過程或演算步驟），15.在①只有第5項的二次式系數最大；②第3項與第7項的二項式系數相等；③所有二項式系數的和為．從以上三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面問題．已知，，若的展開式中，______．（1）求的值；（2）求的系數；（3）求的值．解：（1）選擇①時，只有第5項的二次式系數最大，則二項展開式共有9項，故；選擇②時，有，由組合數的性質可得，；選擇③時，因所有二項式系數的和為，解得.（2）由（1）可得，其通項公式為：，由可得，故的系數即為；（3）由通項知為負數，為正數.在中，取，可得，，取，可得，①，取，可得，②，由：，將代入整理得，；由:,整理得，，而.16設函數，其中.（1）討論的單調性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.解：（1）函數的定義域為，又，因為，故，當時，；當時，；所以的減區間為，增區間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數的單調性可得，故即.17.2024年3月31日在連南舉行半程馬拉松賽，為確保馬拉松賽事順利舉行，組委會在沿途一共設置了7個飲水點，每兩個飲水點中間再設置一個服務站，一共6個服務站．由含甲、乙在內的13支志愿者服務隊負責這13個站點的服務工作，每一個站點有且僅有一支服務隊負責服務．（1）求甲隊只去首尾的飲水點，且乙隊只去與甲隊不相鄰的服務站的概率；（2）為了解志愿者服務隊的工作效果，將四名工作人員隨機分派到A，B，C三個站點進行抽查，每人被分派到哪個站點互不影響，求三個站點中恰有一個站點未分配到任何工作人員的概率．解：（1）由題意可知，甲隊和乙隊共有種不同的安排方法，甲隊只去首尾的飲水點，且乙隊只去與甲隊不相鄰的服務站，共有種，所以所求概率為；（2）將四名工作人員隨機分派到，，三個站點進行抽查，共有種不同的安排方法，三個站點中恰有一個站點未分配到任何工作人員，共有種不同的安排方法，所以所求概率為．18.2024年是龍年，為了弘揚中華傳統文化，和增添節日氛圍，某校在春季學期開學典禮時舉行了舞龍活動．現2班的同學接受了設計舞龍服裝的任務，如圖，有一塊半橢圓形布料，其長半軸長為2，短半軸長為1，計劃先將此塊布料切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為．（1）求面積以為自變量的函數關系式，并寫出其定義域；（2）求梯形布料面積的最大值．解：（1）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），易知橢圓的方程為：，因為是半橢圓的短軸，的端點在橢圓上，且，所以，,，所以；（2）因為，令，則，又因為，令，解得，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，所以．即梯形面積的最大值為．19.已知定義在正實數集上的函數，．（1）設兩曲線，有公共點為，且在點處的切線相同，若，求點的橫坐標；（2）在（1）的條件下，求證：；（3）若，，函數在定義域內有兩個不同的零點，求實數的取值范圍．解：（1）函數的定義域為，設曲線的公共點，求導得，依題意，，即，由，得，，所以點的橫坐標為.（2）由（1）知，設，，求導得，當時，，當時，，則函數在上遞減，在上遞增，因此，即當時，，所以.（3）依題意，，定義域為，由，得，令，由函數在定義域內有兩個不同的零點，得直線與函數的圖象有兩個交點，而，當時，，當時，，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，因此，而，且當時，恒有，則當且僅當時，直線與函數的圖象有兩個交點，即函數有兩個不同零點，所以實數的取值范圍是.廣東省清遠市四校聯盟2023-2024學年高二下學期期中檢測數學試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題只有一項是符合要求，共8小題，每小題5分，共40分）1.已知，則（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】求導得：，所以，即，解得：.故選：C2.已知五個區域A，B，C，D，E依次相鄰，如圖所示，現在給這5個區域涂色，要求相鄰的兩個區域不能涂相同的顏色，現有5種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法有（）A.1140 B.1200 C.1280 D.1400【答案】C【解析】依題意，分5步依次對涂色，所以不同的涂色方法有（種）.故選：C3.設函數y＝xsinx＋cosx的圖象上點P(t，f(t))處的切線斜率為k，則函數k＝g(t)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】可得：．可得：，由于，函數是奇函數，排除選項，C；當時，，排除選項D．故選：B4.要從某小組6名男生和3名女生中隨機選出3人去參加社會實踐活動，則抽取的3人中，男生至少為1人的選法種數為（）A.55 B.63 C.65 D.83【答案】D【解析】男生至少為人的反面是人全是女生，總數為，人全是女生為，所以共有種.故選：D.5.已知函數的圖象如圖所示，是的導函數，則下列數值排序正確的是（）A.B.CD.【答案】A【解析】由圖形可知，在點處的切線斜率大于割線的斜率，割線的斜率大于在點處的斜率，且都大于零，即，則．故選：A．6.在的展開式中，項的系數為（）A.10 B.12 C.15 D.21【答案】C【解析】由二項式定理，得的展開式中，項的系數為：．故選：C．7.展開式中，的系數為（）A.15 B.20 C.30 D.40【答案】C【解析】，，所以的系數為．故選：C．8.已知函數是定義在上的奇函數，且當時不等式成立，若，，，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，當時，，故函數在上為減函數.又因是R上的奇函數，由可知是R上的偶函數，故在上是增函數.因，，，，，，則，故得，即，故.故選：D.二、多選題（本大題有多項是符合要求的，全部選對6分，有選錯0分，部分選對得部分分，共3小題，每小題6分，共18分）9.高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區進行活動，下列說法正確的有（）A.如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種B.如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有25種C.如果三名同學選擇的社區各不相同，則不同的安排方法共有60種D.如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，則不同的安排方法共有20種【答案】ABC【解析】安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，選項A：如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有（種）.判斷正確；選項B：如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有（種）.判斷正確；選項C：如果三名同學選擇的社區各不相同，則不同的安排方法共有（種）.判斷正確；選項D：如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，再分為丙與甲、乙兩名同學在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有（種）.判斷錯誤.故選：ABC10.下列不等式中，對任意的恒成立的是（）A B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，令，，則，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，即恒成立，所以對任意的恒成立，A正確；對于B，令，，則，所以在上單調遞減，所以，所以對任意的恒成立，故B錯誤；對于C，令，，則，令，易知，使，即，，當時，，單調遞減；當,時，，單調遞增；所以，所以，即對任意的恒成立，C正確；對于D，令，，則，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；又因為，所以，即，所以，即，所以，D錯誤．故選：AC．11.關于函數，下列判斷正確的是（）A.是的極小值點B.函數圖像上的點到直線的最短距離為C.函數有且只有1個零點D.不存在正實數k，使成立【答案】AB【解析】對A：函數的定義域為，，當時，；當時，；故函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以是的極小值點，故A正確；對B：設直線與函數的圖像相切，切點坐標為，由，可得，解得，所以，即切點為，則切點到直線的距離為，即函數圖像上的點到直線的最短距離為，故B正確；對C：因，所以，當時，；當時，；故函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，所以函數不存在零點，故C不正確，對D：由選項C可知：，即恒成立，所以存在正實數k，使恒成立，故D錯誤．故選：AB．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共15分）12.若質點按照規律做直線運動（位移單位：m，時間單位：s），則質點在時的瞬時速度為______．【答案】28【解析】，則，．故答案為：28．13.已知，則______．【答案】10【解析】由兩邊求導得，，取，可得：.故答案為：10.14.已知，是的導函數，即，，，，，若當時，，則的取值范圍是______．【答案】【解析】根據題意，可得，，，，，，依此規律，可得：．所以，由，可得．所以當時，，即為當時，，即時，恒成立，令，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，所以，即的取值范圍是．故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答題應寫出必要的文字說明，推理證明過程或演算步驟），15.在①只有第5項的二次式系數最大；②第3項與第7項的二項式系數相等；③所有二項式系數的和為．從以上三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面問題．已知，，若的展開式中，______．（1）求的值；（2）求的系數；（3）求的值．解：（1）選擇①時，只有第5項的二次式系數最大，則二項展開式共有9項，故；選擇②時，有，由組合數的性質可得，；選擇③時，因所有二項式系數的和為，解得.（2）由（1）可得，其通項公式為：，由可得，故的系數即為；（3）由通項知為負數，為正數.在中，取，可得，，取，可得，①，取，可得，②，由：，將代入整理得，；由:,整理得，，而.16設函數，其中.（1）討論的單調性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.解：（1）函數的定義域為，又，因為，故，當時，；當時，；所以的減區間為，增區間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數的單調性可得，故即.17.2024年3月31日在連南舉行半程馬拉松賽，為確保馬拉松賽事順利舉行，組委會在沿途一共設置了7個飲水點，每兩個飲水點中間再設置一個服務站，一共6個服務站．由含甲、乙在內的13支志愿者服務隊負責這13個站點的服務工作，每一個站點有且僅有一支服務隊負責服務．（1）求甲隊只去首尾的飲水點，且乙隊只去與甲隊不相鄰的服務站的概率；（2）為了解志愿者服務隊的工作效果，將四名工作人員隨機分派到A，B，C三個站點進行抽查，每人被分派到哪個站點互不影響，求三個站點中恰有一個站點未分配到任何工作人員的概率．解：（1）由題意可知，甲隊和乙隊共有種不同的安排方法