2025屆上海市崇明區高三二模數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.不等式I無TK2的解為.

7

2.已知復數7=1-2i(i為虛數單位)，貝ljz=.

1

3.已知全集。=!i,集合A={1,2,4},5={2,4,5},則人1必3=

4.求直線％=-2與直線JG%-y+l=O的夾角為.

5.已知五二(1,0)石二(2,1),則|4+26|=.

6.函數y=2sin"毛}。>0)的最小正周期是兀，則。=.

7.某次數學考試后，隨機選取14位學生的成績，得到如下莖葉圖，其中個數部分作為“葉”,

百位數和十位數作為“莖”，若該組數據的第25百分位數是87,則x的值為.

75

823x9

9137

10046

1119

125

TT

8.在VABC中，若c=3,C=],其面積為白，則a+6=

9.若+=4+,(X—+1)2"I---1"Go(%—1)1°,貝.

10.已知〃尤)=廣=yi,若函數y=/(x)有兩個極值點，則實數。的取值范圍

是.

2

11.已知雙曲線尤2-2=1(6>0)的左、右焦點為片以。為頂點，尸2為焦點作拋物線交

b

雙曲線于P,且/尸月乙=45。，則〃=.

12.已知集合M中的任一個元素都是整數，當存在整數且0<6<c時，稱M

為“間斷整數集集合{xIlVxVIO,尤eZ}的所有子集中，是“間斷整數集”的個數為.

二、單選題

13.若。>b>0,c>d,則下列結論正確的是（）

A.a—b<0B.ac>bd

14.已知一個圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，則這個圓錐的側面積為（）

A.2nB.3兀C.4兀D.—it

3

15.拋擲一枚質地均勻的硬幣"次（其中"為大于等于2的整數），設事件A表示“"次中既

有正面朝上又有反面朝上”，事件2表示“〃次中至多有一次正面朝上”，若事件A與事件3

是獨立的，則w的值為（）

A.5B.4C.3D.2

16.數列｛%｝是等差數列，周期數列圾｝滿足b“=cos（a“），若集合X=｛x|x=6"，〃是正整

數｝中恰有三個元素，則數列也,｝的周期T的取值不可能是（）

A.4B.5C.6D.7

三、解答題

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且CDLDP,

PA=2,點、E,b分別為PBPD的中點.

⑴求證：平面ABC。；

⑵求點尸到平面AEF的距離.

18.已知/（x）=log3（尤+a）+log3（6-x）.

⑴是否存在實數。，使得函數y=/Q）是偶函數？若存在，求實數。的值，若不存在，請說

明理由；

⑵若3且。片0,解關于龍的不等式f（x）</（6-X）.

19.某區2025年3月31日至4月13日的天氣預報如圖所示.

試卷第2頁，共4頁

3104月01日0203040506

道?玲皴玲內?綾*的

大部分晴陣雨陣雨陣雨多云間歇性多云多云

17/9℃18/9℃18/10℃19/10℃18/9℃19/10℃20/10℃

07080910111213

????

玲巡*?*迄玲珞

陣雨大部分多云大部分晴多云大部分晴陣雨陣雨

19/10℃19/10℃20/8℃18/8℃18/10℃17/8℃17/9℃

(1)從3月31口至4月13口某天開始，連續統計三天，求這三天中至少有兩天是陣雨的概

率；

(2)根據天氣預報，該區4月14日的最低氣溫是"C,溫差是指一段時間內最高溫度與最低

溫度之間的差值，例如3月31日的最高溫度為17℃,最低溫度為9。(2,當天的溫差為8°C

記4月1日至4日這4天溫差的方差為s；,4月11日至14日這4天溫差的方差為s；,若

求4月14日天氣預報的最高氣溫；

(3)從3月31日至4月13日中隨機抽取兩天，用X表示一天溫差不高于9%：的天數，求X

的分布列及期望.

20.已知拋物線「產=”，過點尸(a,6)的直線/與拋物線f交于點A、B,與y軸交于點C.

⑴若點A位于第一象限，且點A到拋物線r的焦點的距離等于3,求點A的坐標；

(2)若點A坐標為(4,4),且點B恰為線段AC的中點，求原點。到直線/的距離；

(3)若拋物線「上存在定點。使得滿足題意的點A、3都有求。、萬滿足的關系式.

21.已知函數y=/(x),P為坐標平面上一點.若函數了=/(無)的圖像上存在與P不同的一

點。，使得直線是函數＞=/(%)在點。處的切線，則稱點尸具有性質"了.

⑴若/(尤)=/,判斷點P(1,O)是否具有性質并說明理由；

(2)若/。)=2/_4/+2》，證明：線段尤=g(-l<yVl)上的所有點均具有性質M/；

⑶若/(尤)=",證明：“點P(x,y)具有性質%”的充要條件是

試卷第4頁，共4頁

《2025屆上海市崇明區高三二模數學試題》參考答案

題號13141516

答案DACD

1.（-1,3）

【分析】結合絕對值不等式的解法，以及區間的定義，即可求解.

【詳解】解：以一1|<2,即一2<x-l<2,解得一l<x<3,

故所求解集為（T，3）.

故答案為：（T3）.

2.2+i#i+2

【分析】由復數的乘法即可求得答案.

【詳解】z=i-2/=2+i

故答案為：2+i

3.{1}

【分析】由集合運算求出電2,然后得到AQ2及

【詳解】=（^,2）u（2,4）u（4,5）u（5,^>）,AA^B={1},

故答案為：{1}

n

4.—

6

【分析】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角.

【詳解】解：?.?直線X=-2的斜率不存在，傾斜角為g77,

直線由x-y+l=O的斜率為白，傾斜角為事，

故直線％=-2與直線6x-y+l=O的夾角為g=

236

故答案為：—.

0

5.729

【分析】寫出￡+2石坐標，由坐標得到I萬+2".

【詳解】￡+23=（5,2）,13+2^|=752+22=>/29.

故答案為：V29

答案第1頁，共12頁

6.2

【分析】由正弦型函數的周期公式可求得。的值.

【詳解】因為函數>=2豆11(8-鳥(0>0)的最小正周期是兀，則。=0=2.

116/71

故答案為：2.

7.7

【分析】根據題意結合百分位數的概念運算求解.

【詳解】14x25%=3.5,則該組數據從小到大排列后的第四位數是87,即x=7,

故答案為：7.

8.721

【分析】先根據三角形面積公式求出必的值，再結合余弦定理求出(〃+切2的值，進而求出

a+b的值.

【詳解】已知C=W，S.MCUK，代入面積公式可得：G=:absing

則道=可得：ab—4.

22

根據余弦定理為/=/+/-labcosC,可得3-=。~+6--2"Z?cos,

則9=/+/-.即9=(a+b)2-2ab-ab-(a+Z?)2-3ab,

把而=4代入可得：9=(a+6)2—3x4,即(a+bp=9+12=21.

由于a力為邊長，可得a+6=0T.

故答案為：國.

9.310/59049

【分析】令x=2求解即可.

【詳解】令尤=2,則(2+1廣=%+%+%+…+%(,,即4+%+%+…+%0=3，

故答案為：310

10.(0,2)

【分析】分析分段函數的單調性，由題意得到對應結論，然后建立不等式組，求得實數。

的取值范圍.

【詳解】：二次函數8(力=-抬+◎開口向下，戶一3七=|是g⑺極大值，

答案第2頁，共12頁

一次函數〃（"=依-1,當時，函數M尤）時單調函數，沒有極值點,

要想函數y=/（無）有兩個極值點，則這兩個極值點為彳=￡和x=l,

又：函數g（X）在，,1］上單調遞減，Mx）在（1,+⑹上遞增.

a,

—<1

2

a>0ae（0,2）,

—1-1

故答案為：（0,2）

11.2+20

【分析】由拋物線得定義過點P作準線的垂線，可構造直角三角形，由此可得戶耳再在

△P4居中由余弦定理可得戶外接著利用雙曲線的定義可求P,最后利用共焦點求得及.

【詳解】由題意可知，閨閶=0=2A/^W,

如圖，過點P作準線的垂線，垂足為。，則|尸。|=，

DP=俞=等’得歸凰=也。，

則cos/尸耳鳥=cosZEPD=----

PF1

在△尸中由余弦定理可得，歸為「=|P居「+1居與「一2|尸制閨用cosW

=2p2+p2-2^p2x^=p2,即戶閭=0,

則由雙曲線的定義可得忸用-儼閶=（&-1）°=2,得p=2+2應，

則〃=P--1=2+2夜

4

故答案為：2+2行

12.968

答案第3頁，共12頁

【分析】根據子集中元素的個數分類，每一類都利用組合數計數，再剔除不滿足定義的子集,

最后根據分類加法計數原理求值即可.

【詳解】由題意，滿足“間斷整數集”定義的子集至少有2個元素，至多有9個元素，

按子集中元素的個數分類，

①當元素個數為2時，不滿足定義的子集有：

{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},{5,6},{6,7},{7,8},{8,9},{9,10},共9個；

此時滿足定義的子集有C；。-9個，

②當元素個數為3時，不滿足定義的子集有：

{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},{7,8,9},{8,9,10}，共8個;

此時滿足定義的子集有C；。-8個，

③當元素個數為4時，不滿足定義的子集有：

{1,2,3,4},{2,3,4,5},{3,4,5,6},{4,5,6,7},{5,6,7,8},{6,7,8,9},{7,8,9,10}，共7個；

此時滿足定義的子集有C：。-7個，

④當元素個數為5時，不滿足定義的子集有：

.2,3,4,5},{2,3,4,5,6},{3,4,5,6,7},{4,5,6,7,8},{5,6,7,8,9},{6,7,8,9,10}，共6個；

此時滿足定義的子集有C：。-6個，

⑤當元素個數為6時，不滿足定義的子集有：

(1,2,3,4,5,6},{2,3,4,5,6,7},{3,4,5,6,7,8},{4,5,6,7,8,9},{5,6,7,8,9,10},共5個；

此時滿足定義的子集有C：。-5個，

⑥當元素個數為7時，不滿足定義的子集有：

{1,2,3,4,5,6,7},{2,3,4,5,6,7,8},{3,4,5,6,7,8,9},{4,5,6,7,8,9,10}，共4個；

此時滿足定義的子集有-4個，

⑦當元素個數為8時，不滿足定義的子集有：

{1,2,3,4,5,6,7,8},{2,3,4,5,6,7,8,9},{3,4,5,6,7,8,9,10}，共3個；

此時滿足定義的子集有-3個，

答案第4頁，共12頁

⑧當元素個數為9時，不滿足定義的子集有:

{1,2,3,4,5,6,7,8,9},{2,3,4,5,6,7,8,9,10},共2個；

此時滿足定義的子集有C：。-2個，

綜上所述，滿足題意的子集共有(C；o+C：°+…+C；。)一(2+3+4+…+9)=968個.

故答案為：968.

13.D

【分析】利用不等式的基本性質可判斷AD選項，利用特殊值法可判斷BC選項.

【詳解】因為〃>人>。，c>d,

對于A選項，a-b>0,A錯；

對于B選項，不妨取〃=2,b=l,c=-l,d=-2,則ac=—2=bd,B錯；

對于C選項，取c=0,則/=0=兒2,C錯；

對于D選項，由題意可知，c2+l>0,由不等式的基本性質可得仁>工，D對.

c+1c+1

故選：D.

14.A

【分析】先求出母線長和底面圓的半徑，再根據圓錐的側面積公式即可得解.

【詳解】由題意可知，圓錐的母線長和底面圓的直徑均為2,

所以圓錐的側面積為7rxiX2=2%.

故選：A.

15.C

【分析】先分別求出事件A、事件8以及事件發生的概率，再根據事件A與事件B獨

立的性質尸(AcB)=P(A)尸(3)來求解〃的值.

【詳解】拋擲一枚質地均勻的硬幣〃次，所有可能的結果有2"種.

事件A表示“〃次中既有正面朝上又有反面朝上”，其對立事件A為“"次都是正面朝上或"次

—21

都是反面朝上”，彳包含的情況有2種，所以尸(4)=吩=5=.

_1

根據對立事件概率之和為1,可得P(A)=1-P(A)=1--.

事件3表示“〃次中至多有一次正面朝上”，即“〃次中沒有正面朝上(全是反面朝上)”或

次中有一次正面朝上”.

“〃次中沒有正面朝上”的情況有1種;“〃次中有一次正面朝上”，從鼠次中選1次為正面朝上，

答案第5頁，共12頁

有C；=〃種情況.

n+1

所以事件3包含的情況共有〃+1種，則尸(3)=父.

2

事件AcB表示“?次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，即“〃次中有一

次正面朝上"，有c；=〃種情況，所以p(AcB)=菽.

2

n177+1

因為事件A與事件8是獨立的，所以P(Ac3)=尸⑷尸⑻，即2="F)Xf

可得：〃=(1-擊)5+1).展開得：九="+1.即〃+l=2"T.

當”=2時，2+1=3,22T=2，等式不成立；

當〃=3時，3+1=4,23T=4，等式成立；

當n=4時，4+1=5,24T=8,等式不成立.

所以〃=3.

故選：C.

16.D

【分析】現根據等差數列的通項公式和周期數列的定義，得到〃=干2兀，然后對選項逐一分

析即可.

【詳解】bn+T=bn=cos(a,.)=cos(4),

2兀

取*=4+2兀，則公差

當T=4,是d=?27r=]TV，此時角度序列為：&4+17T馮+私4+學37r，

取4=。，則對應的余弦值為L0,-1,。，此時X={l,0,-l},三個元素合題意；

、r,e_o,271..i七I、r2714716兀871

當丁=5,7Hd=1-,此時角度序列為：ax,ax+,ax+,ax+—,ax+-,

取4=。，則對應的余弦值為l,cosg,cos￡,cosg,cosM

又coscos*,cos?=cos事，此時X也是三個元素，合題意；

27r7TIT27r47rSir

當T=6,是d=—^=此時角度序列為：,a+――,a-\-ii,a+—,a+—,

o33[3xx3x3

取弓=三，則對應的余弦值為3,0,-也，-3,0,且，此時X也是三個元素，合題意；

62222

、r,口，2兀R—A4—pi、r2兀4兀6兀8兀10兀1271

當T=7,THd=-y,此時角度序列為：ava{+-^-,4+;-,q+—+—,ax+—+—^―,

答案第6頁，共12頁

由于7是質數，角度間隔停無法分解為更小的對稱單元，余弦值的對稱性不足以將7個不

同角度映射為3個不同值，

故選：D.

17.⑴證明見解析；

Q）正.

3

【分析】（1）根據給定條件，利用線面垂直的判定、性質推理即得.

（2）利用等體積法求出點到平面的距離.

【詳解】（1）由底面ABC。為正方形，nCBlAB,又CBJ_BP,A5c3P=平面

ABP,

于是C2_L平面ABP,而PAu平面則同理CD_LB4,

又C3cCD=C,CB,CDu平面ABCD,

所以PA_L平面ABCD

（2）由（1）得上4_LAS,點E為尸3的中點，在RtZXmB中，AE=&,點尸為尸。的中

點，同理4尸=近，

在△PBD中,EF=；BD=母,因此$△的=LxJIx應x走=走，

2222

在直角^PAB中,S^PE=gx；x2x2=l,

由（1）知C2_L平面則AD_L平面于是點歹到平面APE的距離為=1

設點尸到平面的的距離為"，由匕"F=V—EP，得』x，lx〃Jxlxl,解得“=冬叵，

3233

所以點尸到平面AEF的距離為空.

3

18.（1）存在實數“=6,使得函數y=7。）是偶函數

（2）答案見解析

【分析】（1）根據偶函數的定義可求解.

（2）先根據對數函數的單調性和定義域列出不等式組；再結合。>-3且awO,分類討論即

可求解.

【詳解】（1）存在實數。=6,使得函數y=/（x）是偶函數.

,_[x+a>0[x>—a

要使函數/。）=1。83（%+。）+1。83（6-%）有意義，須滿足乙八，即乙，

6—%>0\x<6

答案第7頁，共12頁

顯然一4<6,即。>-6,函數>=/(尤)的定義域。=(一。,6).

當。片6時，函數定義域不關于原點對稱，此時必然存在xeD且-xeD,此時函數y=/(x)

不是偶函數.

當4=6時，/(x)=log3(x+6)+log3(6-.r),

函數產了(犬)的定義域為(-6,6),對于任意的xe(-6,6),都有re(-6,6),

并且f(-x)=log3(-x+6)+log3(6+x)=/(x)

因此函數y=/(x)是一個偶函數

綜上所述，存在實數a=6,使得函數y=/(x)是偶函數

(2)由/(x)Vf(6-x),log3(x+a)+log3(6-x)<log3(6-x+a)+log3

x+a>0,

6-x>0,

所以「?且(x+a)(6-％)0(6-％+Q)X①.

o-x+tz>0,

x>0

由①得，ax>3a.

因為a>—3且aw0,

所以當一3<。<0時，—a<x33,

當a>0時，3Wxv6.

綜上可得：當—3<a<0時，不等式/(x)</(6-x)的解集為當a>0時，不等式

/(勸</(6-如的解集為［3,6).

19.(1)|

(2)18℃

(3)分布列見解析，E(X)=y

【分析】(1)根據古典概型概率公式，用事件A包含的樣本點個數除以總樣本點個數來計算

概率；

(2)根據方差公式列出關于尤的方程，然后求解x；

(3)根據隨機變量的分布列，利用期望公式計算期望.

【詳解】(1)設“從3月31日至4月13日某天開始，連續統計三天，這三天中至少有兩天

答案第8頁，共12頁

41

是陣雨，，為事件A,連續統計三天共有12個樣本點,事件A共有4個樣本點,所以P(A)=-=-

(2)4月1日至4日這4天溫差分別為9。(2、8℃>9℃>9℃,

4

1?Q

因此可一=京，設4月14日的溫差為一C,

4i=i16

貝!)4月11日至14日這4天溫差分別為8。(2、9。。、8℃>x℃,

尤

因此元二江+25%：,

4

222

1-了cLX+25x+2543

8x2+9----------+x----=--—x——

4I44316

解得x=9,因此，4月H日這天最高氣溫是18。。

(3)從3月31日至4月13日，一天溫差不超過9。(2的共有11天，高于9。(2的共有3天

X可能取值為0,1,2.

2112

尸(X=0)=HC=±3,P(X=1)=^C^C=33,P(x=2)=口C=355

Cf491Cf491或91

隨機變量X的分布列為:

X012

33355

P

919191

3335511

隨機變量X的期望E(X)=0xg+lx無+2x元=亍.

20.(1)(272,2)

⑵處

13

(3)/=40-16

【分析】(1)設A(%,y)(%>o,y>。)，利用拋物線的定義可求出點》的值，由此可求出點A

的坐標；

(2)設4瓦9；則42匕--41，根據點c在y軸上，可求出6的值，可得出點3的

坐標，可求出直線A8的方程，再利用點到直線的距離公式可求得結果；

(3)分析可知，直線/斜率必然存在，設其方程為y-6=。)，設點

答案第9頁，共12頁

\

B馬，子，將直線/的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，根據示.麗=0可得出關

于X。的等式，消去尤。即可得出結果.

【詳解】（1）設A（x,y）（x>0,y>0）,因為點A在拋物線上，

所以點A到拋物線r的焦點的距離等于它到拋物線r的準線y=-i的距離,

所以y+l=3,則y=2,所以x=26=2垃,故點A的坐標是（2夜,2）.

b2

（2）設,則C26-4,了一4,由題意2b-4=0,所以6=2,

所以點B的坐標為（/2,1\）,貝|左的4-=1==23,

4—22

3

所以，直線/的方程為y-l=；（x-2）,即直線/的方程為3尤-2y-4=0,

4A/13

所以原點。到直線/的距離為d=

13

（3）設D寸，若直線/的斜率不存在時，則直線/與拋物線「只有一個交點，不合乎

題意,

所以，直線/斜率必然存在，設其方程為>-6=無（X-。）,

代入Y=4y中，得尤2一4辰+43-4，=0,

設川西,貝I」占+x2=4左，xtx2=4ka-4b,

因為ZM_LDB,且/_%,再J;麗=卜一/,二J:

所以囪?詼=。）（）

a_x/_M+（占一=）（%+%]￡27。）（々+%）=0,

顯然現一毛片0,x2-xo^O,則]+（-+工。）（％+.）=0,

16

所以玉W+G+%2）X（）+X；+16=0

4-kci—4b+4kx0+片+16=0,艮|14（〃+%0）左+x；+16—A-b—0.

答案第10頁，共12頁

由題意，得Q,因此a?=46-16.

［芯=46-16

21.(1)點P(LO)具有性質理由見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)設。(q,q2),然后寫出經過。(見"2)的切線方程，將P(LO)代入求解，即可判

斷；

(2)設。(%2/-4/+2“)，然后寫出經過。的切線方程，按尸0(-1341)是否在

〃工)=2/_4/+2苫分類討論，代入切線方程，得到關于4的方程，證明其有解即可；

(3)設Q(q,e。)，然后寫出經過。的切線方程，然后按照充分必要性的推出關系，分別證

明即可.

【詳解】(1)點］(L0)具有性質Mf,理由如下:

設。(q，q2),因為/'(x)=2x,

所以曲線>=/(尤)在點。處的切線方程為：