瀘縣普通高中共同體年春期高二半期聯合考試數學試題數學試卷分為第I卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共4頁，滿分分.注意事項：答題前，考生務必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卷上相應位置.選擇題答案使用鉛筆填涂在答題卷對應題目號的位置上，填涂在試卷上無效.非選擇題答案請使用黑色簽字筆填寫在答題卷對應題目號的位置上，填寫在試卷上無效.第I卷（選擇題共分）85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在數列中，，且，則等于（）A.4B.6C.8D.16【答案】C【解析】【分析】根據條件得到為公比為2的等比數列，從而求出答案.【詳解】因為，，所以為公比為2的等比數列，所以.故選：C2.雙曲線的一條漸近線斜率可以為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出給定的雙曲線漸近線方程即可得解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，第1頁/共16頁所以雙曲線的漸近線的斜率為或.故選：C3.拋物線的焦點為，為拋物線上一點，若，則點的橫坐標為（）A.2B.C.1D.【答案】A【解析】【分析】設點的橫坐標為，根據拋物線定義即可求解.【詳解】拋物線的焦點，設點的橫坐標為，由得,故選：A.4.如圖，在棱長為2的正方體中，E是棱的中點，則（）A.4B.5C.6D.【答案】B【解析】【分析】根據，計算可求數量積.【詳解】.故選：B.5.已知直線l：與圓C：相交于A，B兩點，則（）A.B.5C.D.10第2頁/共16頁【答案】C【解析】【分析】求出圓心、半徑及圓心到直線的距離，再利用圓的弦長公式計算得解.【詳解】圓C：的圓心，半徑，圓心C到直線l的距離，所以.故選：C6.函數的導函數的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.在處取得最大值B.在區間上單調遞減C.在處取得極大值D.在區間上有2個極大值點【答案】C【解析】【分析】根據導函數的符號確定函數的單調性，由此確定函數的極值.【詳解】由導函數的圖象可知：00非負遞增極大值遞減極小值遞增故選：C7.曲線在點處的切線方程為（）第3頁/共16頁A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出導數，再利用導數的幾何意義求出切線方程.【詳解】由求導得，則，而，所以所求切線方程為.故選：A8.任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2.反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈，這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.已知數列滿足：，，則（）A.5B.4C.3D.2【答案】B【解析】【分析】根據“冰雹猜想”結合遞推關系，利用規律求解即可【詳解】,可知數列可看作從第8項起以3為周期的數列，因為，所以，故選：B6分在每小題給出的備選答案中，有多項符合題目要求的全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數列的前項和，則下列說法正確的是（）A.B.取最小值時C.數列是等差數列D.第4頁/共16頁【答案】ACD【解析】【分析】根據給定的前項和公式，結合等差數列逐項分析求解.【詳解】對于A，當時，，而滿足上式，因此，A正確；對于B，由選項A知，數列單調遞增，由，得，即數列前5項均為負數，第6項為0，從第7項起為正數，取最小值時或，B錯誤；對于C，，數列是等差數列，C正確；對于D，，D正確.故選：ACD10.水量不超過的部分按照平價收費，超過的部分按照議價收費）.為了較為合理地確定出這個標準，通過抽樣獲得了40，，，制作了頻率分布直方圖，下列說法正確的有（）A.第一組的頻率為0.1B.該市居民月均用水量的眾數的估計值為2.25C.如果希望86%的居民每月的用水量不超出標準，則月均用水量（噸）的最低標準的估計值為2.7D.在該樣本中月均用水量少于1噸的6個居民中用隨機抽樣的方法抽取22人月均用水量都不低于0.5噸的概率為0.4【答案】BCD【解析】第5頁/共16頁【分析】根據給定的頻率分布直方圖，結合眾數、百分位數判斷ABC；求出概率判斷D.【詳解】對于A，第一組的頻率為，A錯誤；對于B，樣本數據在區間的頻率最大，該市居民月均用水量的眾數的估計值為2.25，B正確；對于C，樣本數據小于2.5的頻率，樣本數據小于3的頻率，，由，解得噸，因此月均用水量的標準定為噸，C正確；對于D，月均用水量在的人數為：人，記為，，月均用水量在的人數為：人，記為，，，，從此人中隨機抽取兩人所有可能的情況有：,,,,,,,,,,,,,,，共種，其中月均用水量都在的情況有：,,,,,，共種，因此兩人月均用水量都不低于噸的概率：，D正確.故選：BCD已知函數，則下列說法正確的是（）A.函數在上單調遞減，則B.當時，若有2個零點，則實數或C.當時，若，則D.若直線與曲線有3個不同的交點，，，且，則【答案】ABD【解析】【分析】求出函數的導數，利用給定單調區間求出范圍判斷A；把代入，求出極值，結合零點個數判斷B；求出單調區間判斷C；求出對稱中心判斷D.【詳解】對于A，由函數在上單調遞減，得，，第6頁/共16頁則在時，A正確；對于B，當時，，當或時，；當時，，函數在處取得極大值，在處取得極小值，又有2個零點，因此或，即或，B正確；對于C，由選項B知在上單調遞增，，則，C錯誤；對于D，，則函數的圖象關于點成中心對稱，由直線與曲線有3個不同的交點，且，得點，即，，D正確.故選：ABD第卷（非選擇題共分）三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共分.12.已知導函數為，則______.【答案】【解析】【分析】求出代入可得答案.【詳解】，則.故答案為：.13.記為等差數列的前項和，若，則__________．【答案】63【解析】【分析】先由等差數列的通項公式結合題意求出，再由等差數列的前n項和公式即可求解.第7頁/共16頁【詳解】因為數列為等差數列，則由題意得，解得，所以故答案為：63.14.在數列中，的最小值______________.【答案】【解析】【分析】首先利用數列的遞推關系式的應用求出數列的通項公式，進一步利用函數的恒成立問題和數列的單調性的應用求出結果．【詳解】由整理得，即，又，故數列是以4為首項，4為公比的等比數列，可得,不等式，可化為，令，當時，；當時，，，故當時，單調遞減，故，綜上，，所以，故最小值為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）求在區間上的最大值.第8頁/共16頁【答案】（1）調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）.【解析】1）求出函數的導數，再解導函數大于0、小于0的不等式即得.（2）利用導數求出最大值.【小問1詳解】函數的定義域為R，求導得，當或時，；當時，，所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.【小問2詳解】由（1）得函數在上單調遞增，在上單調遞減，而，則，所以在區間上的最大值為.16.如圖，在三棱柱中，平面，是邊長為2的正三角形，，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析.（2）【解析】1）根據給定條件，利用線面垂直的性質、判定推理得證.第9頁/共16頁（2D為原點建立空間直角坐標系正弦即可.【小問1詳解】在三棱柱中，由底面,平面，得，由為等邊三角形，為的中點，得，而平面，所以平面.【小問2詳解】取中點，連結，由為的中點，得，由（1）知平面，平面，則，而，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，，設平面的法向量，則，令，得，而，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的余弦值為.17.已知數列滿足：，.第10頁/共16頁（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和；（3）設，記數列的前項和.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由已知得出，再利用等差數列的定義可得答案；（2）利用裂項相消求和可得答案；（3）利用錯位相減求和可得答案【小問1詳解】由已知得，由得，即，又，所以數列是以為首項為公差的等差數列，，即；【小問2詳解】由（1），所以第11頁/共16頁；【小問3詳解】因為，所以，，兩式相減可得，可得.18.已知函數．（1）討論的單調性；（2）當時，證明；（3）若對任意的不等正數，總有，求實數的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析（3）【解析】1）求導后，分別在和的情況下，根據正負可得單調性；（2）由（1）可知，可知需證，將不等式轉化為；令，利用導數可求得，由此可得結論；第12頁/共16頁（3，知在上單調遞增，即恒成立；采用分離變量的方法得到，利用導數可求得在上的最大值，根據可求得結果.【小問1詳解】由題意得：定義域為，；當時，，，在上恒成立，在上單調遞增；當時，令，解得：，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減；綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.【小問2詳解】由（1）知：；要證，只需證，即證；設，則，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，；又，，即.第13頁/共16頁【小問3詳解】不妨設，則由得：，即，令，則上單調遞增，在上恒成立，即，又，；令，則，令，解得：（舍）或，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，，，解得：；的取值范圍為.19.在圓上任取一點作軸的垂線段的中點的軌跡為曲線（當點經過圓與軸的交點時，規定點與點重合）.（1）求曲線的方程；（2）為曲線與軸的交點，過點作直線交于兩點（與，與交于點.（i）證明：點在定直線上；（ii）是否存在點使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；第14頁/共16頁（2iii）.【解析】1）設出點的坐標，并表示出點的坐標，利用坐標代換法求出軌跡方程.i）設出直線的方程，與ii）由（i）及已知求出點的坐標，進而求出直線方程，再與的方程聯立求出的坐標即可.【小問1詳解】設點的坐標為，由