專題強(qiáng)化02：解三角形題型歸納精講精練

【考點(diǎn)歸納】

>考點(diǎn)一：正弦定理考點(diǎn)二：正弦定理的邊角互化應(yīng)用

>考點(diǎn)三：余弦定理考點(diǎn)四：余弦定理的邊角互化應(yīng)用

>考點(diǎn)五：三角形面積公式考點(diǎn)六：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用問題

>考點(diǎn)七：正余弦定理判斷三角形形狀考點(diǎn)八：三角形的邊長或周長最值和范圍問題

>考點(diǎn)九：三角形面積最值問題考點(diǎn)十：三角函數(shù)和解三角形交匯問題

【題型探究】

題型一：正弦定理

1.（23-24高一下?廣西玉林?期中）中，角4瓦。所對的邊分別為a,6,c,若。=6力=亞,/=三，則8=

（）

713兀717T「3兀

A.-B.—C.—D.一或——

44644

2.（23-24高一下?河南商丘?期中）在中，/=60。，C=75°,AC=4i,則8C=()

l3逑D.2后

A.V2B.-C.

2

3.（23-24高一下?江蘇蘇州?期末）在△N2C中，角4B,。所對的邊分別為a,b,c,若6=指，c=2,5=60。，

則/=()

A.45°B.60°C.75°D.105°

題型二：正弦定理的邊角互化應(yīng)用

4.（23-24高一下?安徽馬鞍山?期末）在△ABC中，角/,B,C所對的邊分別是a,b,c,若

bcosA+acosB=csinC,貝！I△NBC為（）.

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.（23-24高一下?山東煙臺?期中）在△48C中，a,b,c分別為角N,B,C的對邊，且acos3+（2c-b）cosN=c,

則4ABC的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

6.（23-24高一下?四川成都?期中）在△4BC中，角/,B,。所對的邊分別為a,6,c,^acosB+bcos（B+C）=c,

則△NBC的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

題型三：余弦定理

7.（24-25高一上?云南昆明?期末）在△4BC中，角4叢。所對三條邊為。,仇。，已知。=3/=5,c=7,則角C=

（）

A.135°B.120°C.60°D.30°

8.（23-24高二上?云南大理?期末）如圖，已知在圓。的內(nèi)接四邊形NBCD中，AB=2,BC=7,AD=CD=4,則NC=

（）

.6^/10OVTO?6730「V30

?-------D?-----c?-------\_）?---

5555

9.（23-24高一下?湖北黃岡?期中）在△4BC中，內(nèi)角的對邊分別為。，b,c,己知26sinN=36，a=3,

ZB為鈍角，b-c=2,貝同=（）

A.5B.6C.7D.8

題型四：余弦定理的邊角互化應(yīng)用

10.（23-24高一下?江蘇徐州?期中）在ZUBC中，若「cos,J-cos*則△/臺。的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

11.（23-24高一下?河南漠河?期末）三角形28c中，內(nèi)角42,C的對邊分別為見仇。，若acosC+ccos/=a,則三

角形/8C的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

12.（23-24高一下?天津?yàn)I海新?期末）已知ZU8C的三個(gè)內(nèi)角48C的對邊分別為。也。，且滿足

COSTI-cosfi=---,則△48C的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

題型五：三角形面積公式

13.（23-24高一下?浙江?期中）在△4BC中，角的對邊分別為見仇。，a=6,6=4,C=22,則△4BC的面

積為（）

A.B.叵C.3岳D.2岳

22

14.（23-24高一下?山東臨沂?期末）記△45。中的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為。，b,已知△4BC的面積

S=［僅2+，一/）,則tan4=（）

8214

A.—B.-C.-D.一

3343

15.（23-24高一下?海南海口?期末）△48C中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,

sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,a-4,BC邊上的中線為灰，則△48C的面積為（）

A.百B.2GC.3D.4

題型六：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用問題

16.（23-24高一下?安徽黃山?期中）長慶寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黃山市歙縣的西干披云峰麓，歷經(jīng)900多

年風(fēng)雨侵蝕，仍巍然屹立，是中國現(xiàn)存少有的方形佛塔.如圖，為測量塔的總高度42,選取與塔底8在同一水平

面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C與。，現(xiàn)測得/BC￡>=30°,ZBDC=45°,CD=32m,在（？點(diǎn)測得塔頂A的仰角為60°,則

塔的總高度為（）

A

A.（96-32旬mB.（96-3273）m

C.（92-32@mD.僅2-32⑹m

17.（23-24高一下?四川綿陽?期末）某數(shù)學(xué)興趣小組為測量一古建筑物的高度，設(shè)計(jì)了測算方案.如圖，在該建筑

物旁水平地面上共線的三點(diǎn)B,C處測得其頂點(diǎn)M的仰角分別為30。，60°,45°,且皿=3C=50m,則該古

建筑的高度為（）

C.10V15mD.50m

18.（23-24高一下?河北?期中）武安舍利塔，位于河北省邯鄲市武安塔西路2號，始建于北宋（960?1127年），為

原妙覺寺附屬建筑.曾經(jīng)歷多次地震，清道光十年（1830年）的大地震，塔附近建筑全毀，唯此塔安全無恙.2019

年10月7日，武安舍利塔被中華人民共和國國務(wù)院公布為第八批全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位.如圖，我校高一某學(xué)生

進(jìn)行實(shí)踐活動，選取了與塔基2在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C與D,在C點(diǎn)測得舍利塔在北偏東75。的點(diǎn)3處,

塔頂/的仰角為45。，在。點(diǎn)測得舍利塔在北偏西60。，通過計(jì)算得塔高N8為38m,則兩個(gè)測量基點(diǎn)之間的距離

CD（單位：m）為（）

aA

A.38GmB.38亞mC.19&mD.196m

題型七：幾何圖形的計(jì)算

19.（23-24高一下?河南南陽?期中）如圖，在口48。中，ZDAB=60°,AB=2AD,E為邊的中點(diǎn)，線段NC

與交于點(diǎn)尸，貝Ucos//FE=（）

c.D.

147

20.（2024?河北?模擬預(yù)測）在△43。中，角4B、。的對邊分別為。、權(quán)。，若。=3,6=2,/詡。的平分線力。的

長為生3,則2c邊上的高線/”的長等于（）

5

A二B.逑

33

C.2D.迪

3

47TTT

21.（21-22高一下?福建泉州?期中）如圖，在平面四邊形48。中，AB1AD,N4BC=一,AADC=-,AB=\,

46

CD=4,貝！|tanNC/Z）=（）

2D.4

題型八：三角形的邊長或周長最值和范圍問題

22.（23-24高一下?浙江?期中）在銳角△/BC中,角A,3,C的對邊分別為。，b,c.若8=60。，6=2,貝U邊/C

上中線AD的取值范圍為（）

23.（23-24高一下?福建莆田?期中）在銳角三角形A8C中，已知。，b,c分別是角A,B,C的對邊，且

揚(yáng)=2asin3,a=g,則三角形/8C的周長的取值范圍是（）

A.（3-73,373）B.（3-73,373］C.（3+若,3石］D.13+上,3省］

24.（23-24高一下?福建泉州?期中）如圖，四邊形43C。中，ZACB=60°,ZABC=45°,AB=12屈,

乙4￡>C=120°,記4D與CD的長度和為Z,,則上的最大值為（）

C

D

A.1672B.1673C.18>/2D.185/3

題型九：三角形面積最值問題

25.（22-23高一下?河南?期中）已知△4BC的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,

tanN+tanC+班=J^tan/-tanC,且6=2,則△48C面積的最大值為（）

273

A.V3

丁

26.（21-22高一上?江西景德鎮(zhèn)?期末）在銳角△4BC中，a,b,c分別為角4B,C的對邊，已知

b2+c2=a2+bc,6=2,則ZUBC的面積S的取值范圍是（

27.（21-22高三上?河南鄭州?階段練習(xí)）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了“三斜”求積公式，即△NBC的三個(gè)內(nèi)角

A,B,。所對的邊分別為。，b,c,則△/3C的面積c%2_92+；一"].已知在△人火中,

accosB=8,6=26，則ZUBC面積的最大值為（）

A.V33B.2回D.^6

題型十：三角函數(shù)和解三角形交匯問題

28.（22-23高一下?廣東廣州?期中）銳角ZUBC中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=\,且

bcos4-cos2=1,則sinB+26sin2A的取值范圍為

29.（22-23高一下?浙江寧波?階段練習(xí)）在銳角三角形/8C中，內(nèi)角4瓦。所對的邊。也c滿足/一從=左，若

cos（C-fi）+2cos^存在最大值，則實(shí)數(shù)彳的取值范圍是.

30.（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測）在銳角△ABC中，a2-b2=bc,則角8的范圍是,--三+6sin/的

tanBtanA

取值范圍為

題型十一：解三角形的綜合問題

31.（24-25高一上?江西景德鎮(zhèn)?期末）銳角△4BC面積為S,角4SC的對邊分別為a,瓦c,且（/-/）sin8=2S.

（1）求證：8=2/；

⑵求”hc的取值范圍.

a

32.（24-25高三上?山東煙臺?期末）在銳角△/BC中，角4民。所對的邊分別為。也c,且吧13￡

sinCc2

(1)求3;

（2）若6=2,求△ABC周長的取值范圍.

33.（24-25高一上?湖南邵陽?期末）在△/BC中，角N,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

cos2C+sin2B=2—cos2A-sinAsinC?

⑴求角3

（2）若//8C的角平分線交/C于點(diǎn)。，q=3,c=4,求AD；

（3）若LABC的外接圓的半徑為V3,求2c-“的取值范圍.

【專題強(qiáng)化】

一、單選題

34.（24-25高一上?浙江杭州?期末）在△NBC中，cos2-=^￡（a,b,c分別為角4B,C的對邊），則△NBC

22c

的形狀為（）

A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

35.（23-24高一下?江蘇無錫?期中）在△/BC中，角44,N5,NC的對邊分別為a,b,c.已知/-笊=反,

sinCsin（^-B）=sin5sin（C-A）,則角力的大小為（）

7171一兀71

A.—B.-C.—D.~

6438

36.（24-25高一上?全國?期中）在△4BC中，角）,8,C的對邊分別為a,6,c,其面積

巧___.h.................

S,?=——AB-AC=——,sin5=cos^4sinC,則邊長c為（）

皿c62

A.1B.V2C.百D.2

37.（23-24高一下?山東臨沂?期中）一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔尸的南偏西75。，距燈塔64海

里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向N處，則該船航行的速度為（）

A.8"海里/小時(shí)B.16&海里/小時(shí)C.16"海里/小時(shí)D.32及海里/小時(shí)

38.（23-24高一下?天津西青?期末）天津廣播電視塔是津門十景之一，被人們稱為“天塔”，建成于1991年：它曾是

亞洲第一高塔，現(xiàn)為集廣播電視、觀光旅游、娛樂餐飲于一體的4A級景區(qū).某校一項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組開展數(shù)學(xué)建模活

動，欲測量天塔45的高度.在天塔湖岸邊上，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)C、D.測得

ZC5D=30°,CD=414m,在C、。兩觀測點(diǎn)處測得天塔頂部A的仰角分別為45°,30°,則天塔42的高約為（）

A.414mB.414V2mC.414V3mD.207m

39.（23-24高一下?河北?期中）在△48C中，角42C的對邊分別為4c,已知Zacos?g=6（l-coM）+a,貝必48。

的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

40.（23-24高一下?福建龍巖?期中）已知△ABC是銳角三角形，內(nèi)角HB,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c.若

（a-bXsinN+sinBhcsinB且b=2,則AIBC外接圓面積的取值范圍是（）

A.（兀,2冗）B.（兀,4兀）C.兀］D.（2兀,4兀）

41.（23-24高一下?河北?期中）平面向量中有一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論：已知。為△/3C內(nèi)的一點(diǎn)，^BOC,AAOC,

△NOB的面積分別為臬，SB，SC,貝US/E+SB.麗+S0?反=鼠因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志，所以稱為“奔

馳定理”.已知。為△4BC的內(nèi)心，三個(gè)角對應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知a=3,b=2拒,c=5,^BO.AC

A.273-8B.-2C.V6-7D.372-9

二、多選題

42.（24-25高一上?全國?期中）在△NBC中，角4民。所對的邊分別為“,6,c,給出下列命題，其中正確的命題為

（）

A.若A>B>C,貝!|sin4>sin5>sinC

B.若。=60,6=30,8=28。，則滿足條件的△ABC有兩個(gè)

C.若0<tan/tan5<l,則△43。是鈍角三角形

D.存在△45C,使得tanZtan_8tanC<tanZ+tan3+tanC成立

43.（23-24高一下?新疆?期末）記△NSC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若.=&5,b=3,A=^,則

（）

A.c=4B.△ABC的周長為7+而

C.sinC=^D.ZUBC外接圓的面積為學(xué)

133

TT

44.（23-24高一下?云南昆明?期中）在△NBC中，N8=2,/C=6,N8/C=是邊8C上的一點(diǎn)，貝|（）

A.AB-AC=6y5

B.BC=2y/l

__,—?2—?1—?

C.若DC=2BD，則/￡>=]AB+§NC

D.若4D是4B/C的平分線，貝必。=3百

45.（23-24高一下?安徽池州?期中）在△/BC中，內(nèi)角4瓦。所對的邊分別為。,仇。，且。=拒，則下列選項(xiàng)正確

的是（）

A.若8弋,1<6<亞則dC有兩解

B.若sin2/=sin28,則△4BC為等腰三角形

一「收11

C.若△4BC為銳角三角形，且B=2C,貝!!sirL4e—a,-a

[42J

D.若4+2=2C,貝普+6的最大值為2亞

46.（23-24高一下?河南信陽?期中）己知△NBC的三個(gè)內(nèi)角4瓦。的對邊分別是面積為田十,2一〃），

則下列說法正確的是（）

A.cos/cosC的取值范圍是[―/q

B.若。為邊NC的中點(diǎn)，且AD=1,則△NBC的面積的最大值為氈

3

C.若A/BC是銳角三角形，則：的取值范圍是

D.若角3的平分線8E與邊/C相交于點(diǎn)E,且BE=6,則工+工等于2

ac

三、填空題

47.（23-24高一下?江蘇無錫?期中）已知△NB。中，角4B,C滿足：

（sinA+sinB）:（sinB+sinC）:（sinC+sin/）=5:7:6,則cosC=.

48.（24-25高一上?全國?期中）在△4BC中，AB=376,ZABC=45°,ZACB=60°,延長2C到。，使得CD=10,則

AD的長度為.

49.（23-24高一下?江蘇常州?期末）已知在△4BC中,內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,

42（a2+b2-c2）=absmC,c=2,則ZUBC的面積的最大值為.

50.（23-24高一下