貴州省貴陽市修文縣2024-2025學年高一下學期4月月考數學檢測試題注意事項：親愛的同學，歡迎你參加這次高一的數學學習回溯之旅.在一個多月里，你肯定又有著許多新奇的發現和獨特的體驗.這一次月考又是你大顯身手的好機會喲！我們相信，在這緊張而又愉快的時間里，你一定會有更好的表現！第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設，則（）A.1 B.2 C. D.【正確答案】C【分析】根據復數除法運算求出，然后由共軛復數概念和復數模公式可得.【詳解】因，所以，所以，所以.故選：C2.已知向量，，，若，則實數（）A. B. C.1 D.2【正確答案】A【分析】根據平面向量坐標運算和向量共線的坐標表示即可得到方程，解出即可.【詳解】由，，，得，，又，所以，解得.故選：A.3.在中，，則（）A.5 B.3或5 C.4 D.2或4【正確答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】由余弦定理，得，即，即，解得或5，經檢驗，均滿足題意.故選：B.4.已知向量滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先求，結合向量的夾角公式可求答案.【詳解】由模長公式，由夾角公式.故選：A5.在中，角所對的邊分別為，若，則一定是（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等邊三角形 D.等腰或直角三角形【正確答案】B【分析】利用正弦定理化邊為角，逆用和角公式即得結論.【詳解】由，利用正弦定理，，即，因，則或（不合題意舍去），故△ABC一定是等腰三角形.故選：B.6.圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點.其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美.小明同學為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是和，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）A.30m B.20m C. D.【正確答案】C【分析】在中由正弦得出AM，再結合中由正弦定理得到CM，進而能求CD．【詳解】由題意知：，則，在中，，在中，由正弦定理得，所以，且在中，(m)．故選：C．7.在中，點D在BC上，且滿足，點E為AD上任意一點，若實數x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先根據平面向量基本定理及共線向量定理的推論，由三點共線得，且，再根據“1”的代換，運用基本不等式可得答案.【詳解】，由三點共線可得，且，所以，當且僅當即時等號成立.故選：D.8.在中，，D為BC的中點，點P在斜邊BC的中線AD上，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】以為坐標原點，為軸的正方向建立平面直角坐標系，，求出點坐標可得，利用二次函數的單調性可得答案.【詳解】以為坐標原點，為軸的正方向建立平面直角坐標系，所以，因為D為BC的中點，所以，，設，所以，所以，可得，，所以，因為，所以.故選：A.關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是以為坐標原點建立平面直角坐標系，轉化為坐標的運算求數量積.二、選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知是復數，為虛數單位，則下列說法正確的是（）A. B.C.若，則 D.【正確答案】BD【分析】當復數的虛部不為0時，復數不能比較大小，由此判斷A，C選項；對于B，D選項，借助復數與共軛復數乘法運算和模長的運算計算出結果即可做出判斷.【詳解】復數的虛部不為0，所以不能比較大小，所以A選項錯誤；設，，則，，則，所以，B選項正確；若，，當均不為0時，均為虛部不為0的復數，所以不能比較大小，C選項錯誤；設，，則，則，，，，所以，D選項正確.故選：BD.10.設，是平面內兩個不共線的向量，則以下，可作為該平面內一組基的是（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】ACD【分析】根據基底的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由為不共線向量，可知與，與，與必不共線，故不共線，所以A，C，D符合；對于B，，故共線，所以B不符合；故選：ACD.11.下列四個命題為真命題的是（）.A.在中，角所對的邊分別為，若，，，要使滿足條件的三角形有且只有兩個，則B.若向量，，則在上的投影向量為C.已知向量，，則的最大值為D.在中，若（），則動點的軌跡一定通過的重心【正確答案】BCD【分析】對于A，根據正弦定理可求得，可得，可求得取值即可判斷；對于B，直接根據投影公式計算出投影向量的值即可；對于C，由向量坐標的模長公式代入計算，即可判斷；對于D，令邊中點為，則，再根據正弦定理變形即可判斷.【詳解】對于A，根據正弦定理可求得，所以，所以，且，可求得，故A錯誤；對于B，直接根據在上的投影向量，故B正確；對于C，，則，令，則，當時，取最大值，最大值為，故C正確；對于D，令邊中點為，則，再根據正弦定理，所以，代入到，因此點的軌跡在直線上，所以點的軌跡經過重心，故D正確.故選：BCD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量與的夾角為，且，，則在上的投影向量為________．【正確答案】【分析】根據數量積的定義，利用投影向量的公式，可得答案.【詳解】由題意可得在上投影向量為.故答案為.13.如圖，中，，且的面積為，點在邊上，，則的長度等于_____.【正確答案】【分析】先利用三角形的面積公式求出的大小，再根據等腰三角形得到的大小，最后在中利用正弦定理即可求解.【詳解】因為中，，且的面積為，所以，解得，所以或，當時，因為，所以，又，所以，不符合題意；當時，因為，所以，又，所以中，由正弦定理可得，即.故14.定義：．已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若，且，則邊c的最小值為____________．【正確答案】##【分析】先由新定義將原式化簡，并求得，再代入余弦定理公式表示c，利用基本不等式求得其最小值.【詳解】由題可知，化簡得，即，C為三角形內角，解得，由余弦定理得，所以，時等號成立，所以邊c的最小值為.故答案為.四、解答題：（本題5題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知，，且與的夾角為.（1）求，；（2）若，求實數的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用向量數量積公式，計算出；利用平方再開方的方法，結合向量數量積運算，求得值.（2）根據兩個向量垂直，數量積為零列方程，解方程求得值.【小問1詳解】；；【小問2詳解】因為，所以，即，，解得.16.設復數，m為實數．（1）當m為何值時，z是純虛數;（2）若，求的值;（3）若復數在復平面內對應的點在第三象限，求實數m的取值范圍.【正確答案】（1）5（2）（3）【分析】（1）根據復數的相關概念列式求解；（2）根據復數的模長公式運算求解；（3）根據共軛復數的概念以及復數的幾何意義列式求解.【小問1詳解】若z是純虛數，則，解得，所以當時，z是純虛數.【小問2詳解】若，則，所以.【小問3詳解】因為復數，對應的點為，若復數在復平面內對應的點在第三象限，則，解得，故實數m的取值范圍為.17.在①，，；②；③三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題．在中，內角的對邊分別是，且滿足________．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．（1）求角；（2）若，求面積的最大值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）選①：由，得到，利用正弦定理和三角形內角性質化簡得到，求得，即可求解；選②：由正弦定理和三角函數性質得到，得到，即可求解；選③：由余弦定理求得，即可求解；（2）由余弦定理求得，結合基本不等式求得，結合面積公式，即可求解.【小問1詳解】解：選①：因為，由，可得，由正弦定理得:，因為，可得，所以，又因為，可得，所以，因為，所以.選②：因為，由正弦定理得，又因為，可得，則，即，可得，因為，所以.選③：因為，可得，由余弦定理得，又因為，所以.【小問2詳解】解：因為，且，由余弦定理知，即，可得，又由，當且僅當時，等號成立，所以，所以的面積，即的面積的最大值為.18.如圖，在梯形中，，，，E、F分別為、的中點，且，P是線段上的一個動點．（1）若，求的值；（2）求的長；（3）求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據向量的線性運算，結合圖形的幾何性質，可得答案；（2）利用同一組基底表示向量，根據數量積的運算律，可得答案；（3）利用同一組基底表示向量，根據數量積的運算律，結合二次函數的性質，可得答案.【小問1詳解】由分別為的中點，則，，由圖可得，則，所以.【小問2詳解】由（1）可知，，由，則，，可得，解得.【小問3詳解】由圖可得，，，由，則.19.正等角中心（positiveisogonalcentre）亦稱費馬點，是三角形的巧合點之一．“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小．”意大利數學家托里拆利給出了解答，當的三個內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為費馬點．試用以上知識解決下面問題：已知的內角所對的邊分別為，（1）若，①求；②若，設點為的費馬點，求；（2）若，設點為的費馬點，，求實數的最小值．【正確答案】（1）①；②；（2）．【分析】（1）①利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解即得；②利用費馬點的意義，結合三角形面積公式及數量積的定義計算即得.（2）利用三角恒等變換