大題02數列及數列求和根據近幾年的高考情況，數列是高考數學中必考題目，高頻考點，解答題小題都會涉及。一般考查內容之是等差等比數列性質的簡單應用。求和部分一般主要考查錯位相減求和，裂項求和以及奇偶項討論分組求和，隨著新課程改革，數列新定義問題也會作為壓軸題的形式出現，主要考查學生對與新概念的認識以及子自主學習能力問題。題型一：數列通項公式及裂項求和1（24-25高三下·四川樂山·期末）設等差數列的前n項和為，且，（為常數）(1)求a的值；(2)求的通項公式；(3)若，求數列的前n項和2（24-25高三下·黑龍江大慶·開學考試）設是等比數列的公比大于0，其前n項和為，是等差數列，已知，，，.(1)求，的通項公式(2)設，數列的前n項和為，求并證明.一般地，如果一個數列的通項公式是分式形式，那么往往可靈活運用“裂項”求和技巧簡捷求解該數列的前n項和．常見的“裂項”結論有：形如當，時，易知形如當，時，易知形如當，時，易知形如當，時，易知1（24-25高二上·浙江舟山·期末）數列滿足：．(1)求數列的通項公式；(2)設，為數列的前項和，若恒成立，求實數的取值范圍．2．（24-25高三下·江蘇揚州·期末）已知數列中，，為數列的前n項和，滿足(1)證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和3．（24-25高三下·湖南·階段練習）已知數列的前項和．(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和．題型二：數列通項及錯位相減求和

（貴州省畢節市2024-2025學年高三下學期第二次模擬（3月）數學試題）已知數列滿足.(1)求數列的通項公式；(2)令，記數列的前項和為，求證：.設是等差數列，是公比的等比數列，則數列的前n項和的常規求法是錯位相減法，取巧可這樣做：設，則，其中，.推導過程請參考視頻，x、y的計算公式可不記，記住的形式，取和用待定系數法來算就可以了.1（24-25高三下·山西·階段練習）數列滿足．(1)求證：數列是等比數列；(2)求數列的前項和．2．（24-25高二下·云南玉溪·開學考試）等比數列中，，．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．題型三：數列通項及奇偶項討論問題

1（24-25高三下·廣東惠州·階段練習）已知數列的前項和為，且，(1)證明是等差數列；(2)求；(3)求證：1（24-25高三上·云南昭通·階段練習）設數列的前項和為，已知，且為等差數列.(1)求數列的通項公式；(2)若，求的前項和.2．（24-25高二下·河南開封·開學考試）已知是等差數列，是各項都為正數的等比數列.且，，，.(1)求，的通項公式；(2)求數列的前n項和；(3)若，求數列的前2n項和.3．（24-25高三下·廣西·開學考試）已知函數且.(1)計算，；(2)求通項公式；(3)設為數列的前n項和，求；題型四：數列證明類問題1（2025·甘肅蘭州·一模）已知公差不為零的等差數列滿足，且成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)證明：；(3)若數列滿足，證明：（e為自然對數的底）．1（24-25高三下·福建福州·階段練習）已知為數列的前項和，為數列的前項和，.(1)求的通項公式；(2)若，求的最大值；2．（2025·黑龍江大慶·模擬預測）設為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．令，為數列的前n項和．(1)求數列的通項公式；(2)證明：當時，．題型五：數列型定義問題1（2025·江蘇蘇州·模擬預測）設為正整數，數列是首項為，公差為的等差數列，若存在一組正整數，使得能構成等比數列，則稱數列為可拆數列.(1)對任意正整數，判斷數列是否為可拆數列；(2)若對任意正整數，數列是可拆數列，求的所有可能值；(3)若存在無窮多個正整數，使得是等比數列，求的取值范圍.2（2025·山西呂梁·一模）若數列中且對任意的恒成立，則稱數列為“數列”.(1)若數列為“-數列”，寫出所有可能的；(2)若“-數列”中，，求的最大值.新定義問題的求解過程可以模型化，一般解題步驟如下：第一步：提取信息

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對新定義進行信息提取，明確新定義的名稱和符號，第二步：加工信息

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細細品味新定義的概念、法則，對所提取的信息進行加工，探求解決方法，有時可以用學過的或熟悉的相近知識進行類比，明確它們的共同點和不同點第三步：遷移轉化

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如果是新定義的運算法則，直接按照運算法則計算即可，如果是新定義的性質，一般需要理解和轉化性質的含義，得到性質的等價條件（如等量關系、圖形的位置關系等）第四步：計算，得結論

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結合題意進行嚴密的邏輯推理、計算，得結論1（24-25高三·云南保山·期末）已知表示正整數的最大奇數因數．(1)試求的值；(2)求證：，，其中；(3)記，求．2．（24-25高三·陜西西安·期末）對于數列，稱為數列的一階差分數列，其中.對于正整數，稱為數列的階差分數列，其中.已知數列滿足，數列滿足.(1)求數列的通項公式；(2)若數列的前項和為，證明：..一、解答題1．（2025·山東濟寧·一模）已知數列和滿足．(1)求數列和的通項公式；(2)設數列的前項和為，求證：．2．（24-25高三上·安徽蕪湖·階段練習）已知數列的首項為且.(1)求的通項公式；(2)若求數列的前項和．3．（2025·陜西榆林·模擬預測）數列是公比為的等比數列，且是與的等比中項.(1)求數列的通項公式；(2)設數列的前項和為，證明：.4．（24-25高三下·廣東東莞·階段練習）已知等差數列滿足，是關于的方程的兩個根.(1)求；(2)設求數列的前項和．5．（2025·陜西寶雞·二模）已知：數列的前項和為，，當時．(1)求證：數列為等差數列；(2)記表示不超過的最大整數，設，求數列前2025項和．6．（2024高三·全國·專題練習）已知數列中，，，對任意都成立，數列的前n項和為．(1)若是等差數列，求k的值；(2)若，，求；(3)是否存在實數k，使數列是公比不為1的等比數列，且任意相鄰三項，，按某順序排列后成等差數列？若存在，求出所有k的值；若不存在，請說明理由．7．（24-25高三上·內蒙古赤峰·期末）對一個給定的數列的相鄰兩項作差，得到一個新數列，，…，，…這個數列稱為的一階差數列．如果記該數列為，其中，再求的相鄰兩項之差，那么稱所得數列，，…，，…為原數列的二階差數列．依此類推，對任意，可以定義數列的p階差數列．如果的p階差數列是一個非零常數列，那么稱它為p階等差數列．特別地，一階等差數列就是我們常說的等差數列，二階及二階以上的等差數列統稱為高階等差數列．(1)數列的通項公式為，證明：數列是二階等差數列．(2)數列的通項公式為，證明：數列的前n項和公式為．(3)設數列是一個三階等差數列，其前面的若干項為1，2，8，22，47，86，…，求數列的通項公式．1．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．2．（2023·全國甲卷·高考真題）設為數列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和．3．（2022·全國甲卷·高考真題）記為數列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數列；(2)若成等比數列，求的最小值．4．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．(1)求的通項公式；(2)證明：．5．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數列，是公比為2的等比數列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數．6．（2021·全國乙卷·高考真題）記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．（1）證明：數列是等差數列;（2）求的通項公式．7．（2021·全國·高考真題）已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．