3.9弧長及扇形的面積一、單項選擇題。1．已知一扇形的弧長為3πcm，半徑為6cm，則此扇形的圓心角為()A．30°B．45°C．60°D．90°2．如圖，一條公路(公路的寬度忽略不計)的轉彎處是一段圓弧，點O是這段弧所在圓的圓心，半徑OA＝90m，圓心角∠AOB＝80°，則這段彎路的長度為()A．20πmB．30πmC．40πmD．50πm3．已知扇形的圓心角為60°，半徑是10，則該扇形的弧長為()A．eq\f(2,3)πB．eq\f(3,4)πC．eq\f(4,5)πD．eq\f(6,7)π4．已知一個扇形的半徑為6，圓心角為150°，則它的面積是()A．eq\f(3,2)πB．3πC．5πD．15π5．已知一個扇形的半徑為3，弧長為4，則這個扇形的面積為()A．12B．12πC．6D．6π6．如圖，在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半徑為3，則圖中陰影部分的面積是()A．πB．2πC．3πD．6π二、填空題。7．在圓心角為120°的扇形中，半徑OM＝3cm，則扇形的面積為________cm2．8．若一個扇形的圓心角為120°，它所對的弧長為6πcm，則此扇形的半徑為_______cm.9．如圖，邊長為4的正方形ABCD內接于⊙O，則eq\x\to(AB)的長是____________．10．一個扇形的弧長是10πcm，其圓心角是150°，此扇形的面積為_____cm2．11．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，以BC為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是___．12．如圖，圖1是由若干個相同的圖形(圖2)組成的美麗圖案的一部分，圖2中，圖形的相關數據：半徑OA＝2cm，∠AOB＝120°.則圖2的周長為________cm.(結果保留π)13．已知一扇形的弧長為3πcm，半徑為6cm，則此扇形的圓心角為_______．三、解答題。14．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，求陰影部分的面積．15．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點C為eq\x\to(AB)上的一動點，若OA＝2，求圖中陰影部分面積的最小值．16．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BD是⊙O的直徑，AB＝AC，AE∥BC，E為BD的延長線與AE的交點．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)若∠ABC＝75°，BC＝2，求eq\x\to(CD)的長．17．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D.(1)判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)若AB＝4，求圖中陰影部分的面積．18．如圖所示的日晷是我國古代較為普遍使用的計時儀器，它的表面是以點O為圓心的圓形，OA為某時刻晷針的影長，點B為日晷與底座的接觸點(即底座的上表面所在的直線l與⊙O相切于點B)，AO的延長線分別交直線l和⊙O于點C，D，過點O作OG∥DB，分別交AB，⊙O及直線l于點E，F，G.(1)求證：∠A＝∠OGB；(2)若點F為OG的中點，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．答案：一、1-6DCADCC二、7.3π8.99.eq\r(2)π10.6011.912.eq\f(8π,3)13.90°三、14.解：eq\f(2π,3)15.連接AB，要使S陰影最小，就需使S△ABC最大，也即需使點C到直線AB的距離最大，即需點C位于eq\x\to(AB)的中點C′處(如圖).連接AC′，BC′，OC′，設OC′交AB于點D，則OC′⊥AB于點D，則OD＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(2)，∴DC′＝OC′－OD＝2－eq\r(2)，∴S陰影的最小值為S扇形AOB－S△AOB－S△ABC′＝eq\f(90π×22,360)－eq\f(1,2)×2×2－eq\f(1,2)×2eq\r(2)×(2－eq\r(2))＝π－2eq\r(2).16.解：(1)證明：連接AO并延長交BC于點F，連接OC，則OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA＝eq\f(180°－∠AOB,2)，∠OAC＝∠OCA＝eq\f(180°－∠AOC,2).又∵AB＝AC，∴∠AOB＝∠AOC，∴∠OAB＝∠OAC，∴AF⊥BC.又∵AE∥BC，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O的切線(2)∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝75°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，∴∠COD＝180°－∠BOC＝120°.又∵OB＝OC，∴△BOC是等邊三角形，，∴OC＝BC＝2，∴eq\x\to(CD)的長為eq\f(120π×2,180)＝eq\f(4π,3)17.解：(1)直線AC與⊙O相切，理由如下：∵∠ABC＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠BAC＝180°－2×45°＝90°，∴BA⊥AC，∵AB是⊙O的直徑，∴直線AC與⊙O相切(2)連接OD，AD，∵∠ABD＝45°，∴∠AOD＝90°，∴∠BOD＝90°，∵OB＝OD，∴△BOD是等腰直角三角形．∵AO＝OB，AB＝4，∴S△BOD＝eq\f(1,2)OB·OD＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴S陰影＝S△ABC－S△BOD－S扇形OAD＝eq\f(1,2)×4×4－2－eq\f(90π×22,360)＝8－2－π＝6－π18.解：(1)證明：連接OB，∵直線l與⊙O相切于點B，∴OB⊥l，∴∠BOG＋∠OGB＝90°.又∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∴∠A＋∠ADB＝90°.又∵OG∥DB，OD＝OB，∴∠BOG＝∠OBD＝∠ODB，∴∠A＝∠OGB(2)∵F為OG的中點，∴OG＝2OF＝4，∴cos∠BOG＝eq\f(OB,OG)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，∴∠BOG＝60°.又∵OG∥BD，∴∠OEB＝180°－∠ABD＝90°，∴BE＝OB?sin∠BOG＝2sin60°＝eq\r(3)，OE＝OB?cos∠BOG＝2c