二、分類討論思想第1頁思想解讀思想解讀應用類型分類討論思想是將一個較復雜數學問題分解(或分割)成若干個基礎性問題,經過對基礎性問題解答來實現處理原問題思想策略,對問題實施分類與整合,分類標準等于增加一個已知條件,實現了有效增設,將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎性問題),優化解題思緒,降低問題難度.由概念、法則、公式引發分類討論;由運算、性質引發分類討論;由參數改變引發分類討論;由圖形位置或形狀引發分類討論.第2頁總綱目錄應用一

由概念、法則、公式引發分類討論應用二由運算、性質引發分類討論應用三由參數改變引發分類討論應用四由圖形位置或形狀引發分類討論第3頁應用一

由概念、法則、公式引發分類討論

例1

(江蘇,9,5分)等比數列{an}各項均為實數,其前n項和為Sn.已

知S3=

,S6=

,則a8=

.答案32解析設等比數列{an}公比為q.當q=1時,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合題意,∴q≠1,由題設可得

解得

∴a8=a1q7=

×27=32.第4頁【技法點評】

由性質、定理、公式限制引發分類討論往往是因

為有數學定理、公式、性質是分類給出,在不一樣條件下結論不一致.如等比數列前n項和公式、函數單調性等.第5頁跟蹤集訓1.已知函數f(x)=

且f(a)=-3,則f(6-a)=

()A.-

B.-

C.-

D.-

答案

A因為f(a)=-3,①若a≤1,則2a-1-2=-3,整理得2a-1=-1,無解;②若a>1,則-log2(a+1)=-3,解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-

.總而言之,f(6-a)=-

.第6頁2.一條直線過點(5,2),且在x軸,y軸上截距相等,則這條直線方程為

.答案

x+y-7=0或2x-5y=0解析設該直線在x軸,y軸上截距均為a,當a=0時,直線過原點,此時直線方程為y=

x,即2x-5y=0;當a≠0時,設直線方程為

+

=1,∵直線過點(5,2),∴

+

=1,解得a=7,∴直線方程為x+y-7=0.第7頁應用二

由運算、性質引發分類討論例2

(太原模擬試題)已知a,b,c分別是△ABC內角A,B,C所正確

邊,a=2bcosB,b≠c.(1)求證:A=2B;(2)若a2+c2=b2+2acsinC,求A.解析(1)證實:∵a=2bcosB,且

=

,∴sinA=2sinBcosB=sin2B,∵0<A<π,0<B<π,∴sinA=sin2B>0,∴0<2B<π,∴A=2B或A+2B=π.若A+2B=π,則B=C,b=c,這與“b≠c”矛盾,∴A+2B≠π,∴A=2B.第8頁(2)∵a2+c2=b2+2acsinC,∴

=sinC,由余弦定理得cosB=sinC,∵0<B<π,0<C<π,∴C=

-B或C=

+B.①當C=

-B時,由A=2B且A+B+C=π,得A=

,B=C=

,這與“b≠c”矛盾,∴A≠

;②當C=

+B時,由A=2B且A+B+C=π,得A=

,B=

,C=

,∴A=

.【技法點評】由數學運算要求引發分類討論,常見類型有除法運

算中除數不為零,偶次方根為非負,對數運算中真數與底數要求,指數

運算中底數要求,不等式兩邊同乘一個正數、負數問題,含有絕對值

不等式求解,三角函數定義域等,依據問題中條件對對應參

數、關系式等加以分類討論,進而分類求解與綜合.第9頁跟蹤集訓已知a,b>0且a≠1,b≠1,若logab>1,則

()A.(a-1)(b-1)<0

B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0

D.(b-1)(b-a)>0答案

D∵a,b>0且a≠1,b≠1,∴當a>1,即a-1>0時,不等式logab>1可化

為

>a1,即b>a>1,∴(a-1)(a-b)<0,(b-1)(a-1)>0,(b-1)(b-a)>0.當0<a<1,即a-1<0時,不等式logab>1可化為

<a1,即0<b<a<1,∴(a-1)(a-b)<0,(b-1)(a-1)>0,(b-1)(b-a)>0.綜上可知,選D.第10頁應用三

由參數改變引發分類討論例3

(浙江,17,5分)已知a∈R,函數f(x)=

+a在區間[1,4]上最大值是5,則a取值范圍是

.答案

解析設g(x)=x+

-a,x∈[1,4],g'(x)=1-

=

,易知g(x)在[1,2]上為減函數,在[2,4]上為增函數,g(2)=4-a,g(1)=g(4)=5-a.(1)當a≤4時,|g(x)|max=5-a,∴f(x)max=|g(x)|max+a=5.∴a≤4符合題意.第11頁(2)當4<a≤5時,|g(x)|max=max{a-4,5-a}=

當

<a≤5時,f(x)max=a-4+a=5?a=

(舍去),當4<a≤

時,f(x)max=5-a+a=5,∴4<a≤

符合題意.(3)當a>5時,|g(x)|max=a-4,∴f(x)max=a-4+a=5?a=

(舍去).綜上,實數a取值范圍為

.第12頁【技法點評】若碰到題目中含有參數問題,經常結合參數意義及

對結果影響進行分類討論,此種題目為含參型,應全方面分析參數改變

引發結論改變情況,參數有幾何意義時還要考慮適當地利用數形結合

思想,分類要做到分類標準明確,不重不漏.第13頁跟蹤集訓(課標全國Ⅰ,21改編)已知函數f(x)=ex(ex-a)-a2x.討論f(x)單調性.解析函數f(x)定義域為(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,則f(x)=e2x,在(-∞,+∞)單調遞增.②若a>0,則由f‘(x)=0得x=lna.當x∈(-∞,lna)時,f’(x)<0;當x∈(lna,+∞)時,f'(x)>0.故f(x)在(-∞,lna)單調遞減,在(lna,+∞)單調遞增.③若a<0,則由f'(x)=0得x=ln

.當x∈

時,f'(x)<0;當x∈

時,f'(x)>0.故f(x)在

單調遞減,在

單調遞增.第14頁應用四

由圖形位置或形狀引發分類討論例4設A,B是橢圓C:

+

=1長軸兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB=120°,則m取值范圍是

()A.(0,1]∪[9,+∞)

B.(0,

]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)

D.(0,

]∪[4,+∞)答案

A解析當0<m<3時,橢圓C長軸在x軸上,如圖(1),A(-

,0),B(

,0),M(0,1).圖(1)第15頁當點M運動到短軸端點時,∠AMB取最大值,此時∠AMB≥120°,則|MO

|≤1,即0<m≤1;當m>3時,橢圓C長軸在y軸上,如圖(2),A(0,

),B(0,-

),M(

,0).圖(2)當點M運動到短軸端點時,∠AMB取最大值,此時∠AMB≥120°,則|OA|

≥3,即

≥3,即m≥9.綜上,m∈(0,1]∪[9,+∞),故選A.【技法點評】求圓錐曲線方程時,常按焦點位置不一樣來分類討

論;相關計算中,包括圖形問題時,也常按圖形位置不一樣、大小差異等來分類討論.第16頁跟蹤集訓1.正三棱柱側面展開圖是邊長分別為6和4矩形,則它體積為

()A.

B.4

C.

D.4

或

答案

D當正三棱柱高為4時,體積V=2×

×

×4=4

;當正三棱柱