二、分類討論思想第1頁思想解讀思想解讀應(yīng)用類型分類討論思想是將一個較復(fù)雜數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題,經(jīng)過對基礎(chǔ)性問題解答來實現(xiàn)處理原問題思想策略,對問題實施分類與整合,分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個已知條件,實現(xiàn)了有效增設(shè),將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題),優(yōu)化解題思緒,降低問題難度.由概念、法則、公式引發(fā)分類討論;由運算、性質(zhì)引發(fā)分類討論;由參數(shù)改變引發(fā)分類討論;由圖形位置或形狀引發(fā)分類討論.第2頁總綱目錄應(yīng)用一

由概念、法則、公式引發(fā)分類討論應(yīng)用二由運算、性質(zhì)引發(fā)分類討論應(yīng)用三由參數(shù)改變引發(fā)分類討論應(yīng)用四由圖形位置或形狀引發(fā)分類討論第3頁應(yīng)用一

由概念、法則、公式引發(fā)分類討論

例1

(江蘇,9,5分)等比數(shù)列{an}各項均為實數(shù),其前n項和為Sn.已

知S3=

,S6=

,則a8=

.答案32解析設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q.當(dāng)q=1時,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合題意,∴q≠1,由題設(shè)可得

解得

∴a8=a1q7=

×27=32.第4頁【技法點評】

由性質(zhì)、定理、公式限制引發(fā)分類討論往往是因

為有數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出,在不一樣條件下結(jié)論不一致.如等比數(shù)列前n項和公式、函數(shù)單調(diào)性等.第5頁跟蹤集訓(xùn)1.已知函數(shù)f(x)=

且f(a)=-3,則f(6-a)=

()A.-

B.-

C.-

D.-

答案

A因為f(a)=-3,①若a≤1,則2a-1-2=-3,整理得2a-1=-1,無解;②若a>1,則-log2(a+1)=-3,解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-

.總而言之,f(6-a)=-

.第6頁2.一條直線過點(5,2),且在x軸,y軸上截距相等,則這條直線方程為

.答案

x+y-7=0或2x-5y=0解析設(shè)該直線在x軸,y軸上截距均為a,當(dāng)a=0時,直線過原點,此時直線方程為y=

x,即2x-5y=0;當(dāng)a≠0時,設(shè)直線方程為

+

=1,∵直線過點(5,2),∴

+

=1,解得a=7,∴直線方程為x+y-7=0.第7頁應(yīng)用二

由運算、性質(zhì)引發(fā)分類討論例2

(太原模擬試題)已知a,b,c分別是△ABC內(nèi)角A,B,C所正確

邊,a=2bcosB,b≠c.(1)求證:A=2B;(2)若a2+c2=b2+2acsinC,求A.解析(1)證實:∵a=2bcosB,且

=

,∴sinA=2sinBcosB=sin2B,∵0<A<π,0<B<π,∴sinA=sin2B>0,∴0<2B<π,∴A=2B或A+2B=π.若A+2B=π,則B=C,b=c,這與“b≠c”矛盾,∴A+2B≠π,∴A=2B.第8頁(2)∵a2+c2=b2+2acsinC,∴

=sinC,由余弦定理得cosB=sinC,∵0<B<π,0<C<π,∴C=

-B或C=

+B.①當(dāng)C=

-B時,由A=2B且A+B+C=π,得A=

,B=C=

,這與“b≠c”矛盾,∴A≠

;②當(dāng)C=

+B時,由A=2B且A+B+C=π,得A=

,B=

,C=

,∴A=

.【技法點評】由數(shù)學(xué)運算要求引發(fā)分類討論,常見類型有除法運

算中除數(shù)不為零,偶次方根為非負(fù),對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)要求,指數(shù)

運算中底數(shù)要求,不等式兩邊同乘一個正數(shù)、負(fù)數(shù)問題,含有絕對值

不等式求解,三角函數(shù)定義域等,依據(jù)問題中條件對對應(yīng)參

數(shù)、關(guān)系式等加以分類討論,進而分類求解與綜合.第9頁跟蹤集訓(xùn)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若logab>1,則

()A.(a-1)(b-1)<0

B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0

D.(b-1)(b-a)>0答案

D∵a,b>0且a≠1,b≠1,∴當(dāng)a>1,即a-1>0時,不等式logab>1可化

為

>a1,即b>a>1,∴(a-1)(a-b)<0,(b-1)(a-1)>0,(b-1)(b-a)>0.當(dāng)0<a<1,即a-1<0時,不等式logab>1可化為

<a1,即0<b<a<1,∴(a-1)(a-b)<0,(b-1)(a-1)>0,(b-1)(b-a)>0.綜上可知,選D.第10頁應(yīng)用三

由參數(shù)改變引發(fā)分類討論例3

(浙江,17,5分)已知a∈R,函數(shù)f(x)=

+a在區(qū)間[1,4]上最大值是5,則a取值范圍是

.答案

解析設(shè)g(x)=x+

-a,x∈[1,4],g'(x)=1-

=

,易知g(x)在[1,2]上為減函數(shù),在[2,4]上為增函數(shù),g(2)=4-a,g(1)=g(4)=5-a.(1)當(dāng)a≤4時,|g(x)|max=5-a,∴f(x)max=|g(x)|max+a=5.∴a≤4符合題意.第11頁(2)當(dāng)4<a≤5時,|g(x)|max=max{a-4,5-a}=

當(dāng)

<a≤5時,f(x)max=a-4+a=5?a=

(舍去),當(dāng)4<a≤

時,f(x)max=5-a+a=5,∴4<a≤

符合題意.(3)當(dāng)a>5時,|g(x)|max=a-4,∴f(x)max=a-4+a=5?a=

(舍去).綜上,實數(shù)a取值范圍為

.第12頁【技法點評】若碰到題目中含有參數(shù)問題,經(jīng)常結(jié)合參數(shù)意義及

對結(jié)果影響進行分類討論,此種題目為含參型,應(yīng)全方面分析參數(shù)改變

引發(fā)結(jié)論改變情況,參數(shù)有幾何意義時還要考慮適當(dāng)?shù)乩脭?shù)形結(jié)合

思想,分類要做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確,不重不漏.第13頁跟蹤集訓(xùn)(課標(biāo)全國Ⅰ,21改編)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x.討論f(x)單調(diào)性.解析函數(shù)f(x)定義域為(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,則f(x)=e2x,在(-∞,+∞)單調(diào)遞增.②若a>0,則由f‘(x)=0得x=lna.當(dāng)x∈(-∞,lna)時,f’(x)<0;當(dāng)x∈(lna,+∞)時,f'(x)>0.故f(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減,在(lna,+∞)單調(diào)遞增.③若a<0,則由f'(x)=0得x=ln

.當(dāng)x∈

時,f'(x)<0;當(dāng)x∈

時,f'(x)>0.故f(x)在

單調(diào)遞減,在

單調(diào)遞增.第14頁應(yīng)用四

由圖形位置或形狀引發(fā)分類討論例4設(shè)A,B是橢圓C:

+

=1長軸兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB=120°,則m取值范圍是

()A.(0,1]∪[9,+∞)

B.(0,

]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)

D.(0,

]∪[4,+∞)答案

A解析當(dāng)0<m<3時,橢圓C長軸在x軸上,如圖(1),A(-

,0),B(

,0),M(0,1).圖(1)第15頁當(dāng)點M運動到短軸端點時,∠AMB取最大值,此時∠AMB≥120°,則|MO

|≤1,即0<m≤1;當(dāng)m>3時,橢圓C長軸在y軸上,如圖(2),A(0,

),B(0,-

),M(

,0).圖(2)當(dāng)點M運動到短軸端點時,∠AMB取最大值,此時∠AMB≥120°,則|OA|

≥3,即

≥3,即m≥9.綜上,m∈(0,1]∪[9,+∞),故選A.【技法點評】求圓錐曲線方程時,常按焦點位置不一樣來分類討

論;相關(guān)計算中,包括圖形問題時,也常按圖形位置不一樣、大小差異等來分類討論.第16頁跟蹤集訓(xùn)1.正三棱柱側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4矩形,則它體積為

()A.

B.4

C.

D.4

或

答案

D當(dāng)正三棱柱高為4時,體積V=2×

×

×4=4

;當(dāng)正三棱柱