新疆部分名校2023?2024學年高一下學期期中聯合考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，則（

）A． B． C． D．2．已知，則的虛部為（

）A．2 B．4 C．-2 D．3．已知向量，且，則（

）A．20 B．5 C． D．4．在中，角的對邊分別為.已知，則（

）A． B． C． D．5．向量在正方形網格中的位置如圖所示，則向量（

）

A． B．C． D．6．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則的形狀一定是（

）A．等腰三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形7．已知向量，若，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．8．新疆國際大巴扎絲綢之路觀光塔，是烏魯木齊的地標性建筑．如圖，某同學為測量觀光塔的高度，在觀光塔的正西方向找到一座高為40米的建筑物，在地面上點處（，，三點共線且在同一水平面上）測得建筑物的頂部的仰角為，測得觀光塔的頂部的仰角為，在建筑物的頂部處測得觀光塔的頂部的仰角為，則觀光塔的高為（

）

A．米 B．80米 C．米 D．米二、多選題（本大題共3小題）9．下列各組向量中，可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，10．若，則（

）A． B．C． D．11．在中，是的內切圓圓心，內切圓的半徑為，則（

）A．B．C．的外接圓半徑為D．三、填空題（本大題共3小題）12．若，則.13．已知正方形的邊長為，，，則的值為.14．在中，角，，的對邊分別為，，．若，，且該三角形有兩解，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知，其中．(1)若為純虛數，求的共軛復數；(2)若在復平面內對應的點在第二象限，求的取值范圍．16．已知向量滿足．(1)若向量的夾角為，求的值；(2)若，求的值；(3)若，求向量的夾角.17．在中，．(1)若為的角平分線，且交于，求的長；(2)若為的中線，且交于，求的長．18．某時刻，船只甲在處以每小時30海里的速度向正東方向行駛，與此同時，在處南偏東方向距離甲150海里的處，有一艘補給船同時出發，準備與甲會合．(1)若要使得兩船同時到達會合點時補給船行駛的路程最短，補給船應沿何種路線，以多大的速度行駛？(2)要使補給船能追上甲，該補給船的速度最小為多少？當該補給船以最小速度行駛時，要多長時間追上甲？（參考數據：取，）19．在中，內角所對的邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)若為銳角三角形，點為的垂心，，求的取值范圍．

參考答案1．【答案】C【詳解】因為，所以.故選：C2．【答案】A【詳解】因為，所以則z的虛部為2.故選：A3．【答案】B【詳解】因為，且，所以，解得.故選：B4．【答案】B【分析】利用余弦定理計算可得.【詳解】由余弦定理可得.故選B.5．【答案】D【詳解】如圖，設，

所以.故選：D.6．【答案】A【詳解】在中，由及正弦定理，得，于是，而，則，所以是等腰三角形.故選：A7．【答案】C【詳解】依題意，在上的投影向量為.故選：C8．【答案】B【詳解】由題意可得，米，，則．在中，由正弦定理可得，即，解得米．故選B.9．【答案】ACD【詳解】對于A，因為，所以與不是共線向量，可以作為基底，故A正確；對于B，因為，所以，不可以作為基底，故B錯誤；對于C，因為，所以與不是共線向量，可以作為基底，故C正確；對于D，因為，所以與不是共線向量，可以作為基底，故D正確．故選：ACD10．【答案】AD【詳解】由題意得，，所以，解得.故選：AD11．【答案】BCD【詳解】因為內心是三角形內角平分線的交點，所以在中，，故A錯誤；由余弦定理可得，因為的面積，所以，故B正確；設的外接圓半徑為，則，故，故C正確；對于D：方法一：因為在的平分線上，所以可設，則，同理可設，則，得，又、不共線，根據平面向量基本定理得，解得，即，故D正確；方法二：利用內心的性質結論，有，即，所以，即，故D正確.故選BCD．12．【答案】2【詳解】由題意得，，則，解得．故答案為：213．【答案】【詳解】正方形的邊長為，，，，，故．故答案為：．14．【答案】【詳解】由正弦定理可得，即，因為三角形有兩解，所以且，則，即，所以，即的取值范圍是.故答案為：15．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）由題意可得，解得，則，所以的共軛復數為．（2）由題意可得，即，解得，即的取值范圍是．16．【答案】(1)2；(2)(3)．【詳解】（1）．（2）由，得，所以．故．（3）由題意得，即，得，所以．因為，所以，即向量的夾角為．17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則得，即的長為.（2）由為的中線，則，得，故，即的長為.18．【答案】(1)海里/小時(2)6.25小時【詳解】（1）假設甲行駛的路線為，過作的垂線，點到的最短距離為，要使補給船行駛的路程最短，補給船需沿正北方向，即方向行駛，，甲行駛到處所需時間為小時，補給船行駛的速度為海里/小時，故要使得兩船同時到達會合點時，補給船行駛的路程最短，補給船應沿正北方向，以海里小時的速度行駛．

（2）設補給船以海里/小時的速度從處出發，沿方向行駛，小時后與甲在處會合．在中，．由余弦定理得，所以，即．當，即時，取得最小值，即，所以補給船至少以海里/小時的速度行駛才能追上甲．當補給船以最小速度行駛時，要小時追上甲．19．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據平方關系及正弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；（2）延長交于，延長交于，則，設，且，分別求出，再根據三角恒等變換化一，結合正弦函數的性質即可得解.【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理得，則，因為，所以；（2）延長交于，延長交于，根據題意可得．因為，所以，設，且，則，同理可得，則，因為，所以，又，所以，所以的取值范圍是．【方法總結】解三角形的基