天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學(xué)橋北學(xué)校2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性測試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共9小題）1．化簡：（

）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．在中，，則（

）A．5 B．3或5 C．4 D．2或44．已知向量，，，若，則實數(shù)（

）A． B． C．1 D．25．若是非零向量，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．如圖，已知，，，，則（

）A． B． C． D．7．已知在所在平面內(nèi)，滿足，且，則點依次是的（）A．外心，重心，垂心 B．重心，外心，內(nèi)心C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，內(nèi)心8．如圖，在中，點是線段上靠近點的三等分點，過點的直線分別交直線、于點、.設(shè)，，則的值為（

）A． B． C． D．9．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，如圖是一個正八邊形的窗花，從窗花圖中抽象出的幾何圖形是一個正八邊形，正八邊形的邊長為是正八邊形內(nèi)的動點（含邊界），則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）10．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則.11．在中，若，則的外接圓半徑為.12．如圖所示，為測量一樹的高度，在地面上選取兩點，從兩點分別測得樹尖的仰角為，且兩點間的距離為，則樹的高度為m.13．若向量，，與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是14．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足的三角形有兩個，則的取值范圍為．15．如圖梯形，且，，在線段上，，則的最小值為．

三、解答題（本大題共4小題）16．已知復(fù)數(shù)為實數(shù).(1)若是純虛數(shù)，求的值;(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，求的取值范圍;17．已知向量滿足．(1)求向量與的夾角；(2)若向量在方向上的投影向量為，求的值．18．在中，角，，所對的邊分別為，，，.(1)求角的大小；(2)若，.（ⅰ）求的面積；（ⅱ）求的值.19．“但有一枝堪比玉，何須九畹始征蘭”，盛開的白玉蘭是上海的春天最亮麗的風(fēng)景線，除白玉蘭外，上海還種植木蘭科的其他栽培種，如黃玉蘭和紫玉蘭等.某種植園準(zhǔn)備將如圖扇形空地分成三部分，分別種植白玉蘭、黃玉蘭和紫玉蘭；已知扇形的半徑為70米，圓心角為，動點在扇形的弧上，點在上，且.(1)當(dāng)米時，求的長；(2)綜合考慮到成本和美觀原因，要使白玉蘭種植區(qū)的面積盡可能的大.設(shè)，求面積的最大值.

參考答案1．【答案】C【詳解】.故選C.2．【答案】B【詳解】由可得，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為，位于第二象限.故選B.3．【答案】B【詳解】由余弦定理，得，即，即，解得或5，經(jīng)檢驗，均滿足題意.故選B.4．【答案】A【詳解】由，，，得，，又，所以，解得.故選A.5．【答案】D【詳解】如圖作，設(shè)，，由向量加法的平行四邊形法則知：由可得是菱形，因菱形的對角線不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立；又由可得是矩形，因矩形的一組鄰邊不一定相等，故也不一定成立，即必要性不成立.故“”是“”的既不充分也不必要條件.故選D.6．【答案】B【詳解】由，得，而，所以.故選B.7．【答案】A【詳解】到三角形三個頂點的距離相等，故為外心；設(shè)為線段的中點，由得，，故所在直線為邊中線，同理可得，分別與，邊的中線共線，所以是三角形中三條中線的交點，故是重心；

因，得，即，故，同理得到另外兩個向量都與邊垂直，得到是三角形的垂心.故選A.8．【答案】C【詳解】連接，因為點是線段上靠近點的三等分點，則，即，所以，，又因為，，則，因為、、三點共線，設(shè)，則，所以，，且、不共線，所以，，，故，因此，.故選C.9．【答案】A【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則過作的垂線，垂足為，正八邊形中，邊長為4，所以，所以，所以，所以，設(shè)，則，所以，因為是正八邊形內(nèi)的動點（含邊界），所以的范圍為，所以，故選A.10．【答案】1【詳解】，則.11．【答案】【詳解】易知，即，解得，由余弦定理可知，可得，設(shè)外接圓半徑為，所以，可得.12．【答案】【詳解】在中，，，，，在中，由正弦定理得，所以，所以樹的高度為.13．【答案】【詳解】因為向量，，與的夾角為鈍角，所以且，即且，即實數(shù)的取值范圍是.14．【答案】【詳解】在中，由及正弦定理可得：.∵有兩解，，即.15．【答案】【詳解】，，，，，，又，；作，垂足為，以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

則，，，，，設(shè)，，，解得：，，，，，，則當(dāng)時，取得最小值，最小值為.16．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由化簡得，，因為是純虛數(shù)，所以，解得，所以的值是；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，則，解得，所以的取值范圍為.17．【答案】(1)；(2)；【詳解】（1），，即，，，又，與的夾角為；（2），．18．【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）【詳解】（1）由已知及正弦定理，可得①，又，代入①式得，，整理得，因為，所以，，所以，因為，所以；（2）（ⅰ）因為，，所以，整理得，解得或（舍），所以的值為3，所以的面積為.（ⅱ）由正