山東省濟南市商河弘德中學2024?2025學年高一下學期第一次月考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知i為虛數單位，（1＋i）x＝2＋yi，其中x，y∈R，則｜x＋yi｜＝（）A．2 B．2 C．4 D．2．若在中，，且，，則的形狀是（

）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形3．已知兩個單位向量的夾角為，則下列說法正確的有（

）①在上的投影向量為②③④A．0個 B．1個 C．2個 D．3個4．已知向量，且，則實數=A． B．0 C．3 D．5．在中，，則這個三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形6．在中，角的對邊分別為，若，則等于（

）A． B． C． D．7．如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為，沿坡角為的斜坡向上走到達B處，在B處測得山頂P的仰角為，且A，B，P，C，Q在同一平面，則山的高度為（參考數據：取）（

）A． B． C． D．8．設向量的夾角為，定義：.若平面內不共線的兩個非零向量滿足：，與的夾角為，則的值為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復數（其中是虛數單位），則下列命題中正確的為（

）A． B．的虛部是C．是純虛數 D．在復平面上對應點在第四象限10．在中，角所對的邊分別為，以下結論中正確的有（

）A．若，則；B．若，則一定為等腰三角形；C．若，則為直角三角形；D．若為銳角三角形，則.11．已知梯形ABCD中，，，則下列結論正確的是（

）A．B．C．若，則點M在線段BC的反向延長線上D．若，則的面積是面積的3倍三、填空題（本大題共3小題）12．已知非零向量，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是13．的三邊長分別為2，3，4，則該三角形內切圓半徑為14．在中，內角A，B，C的對邊分別為，且，，，符合條件的三角形有兩個，則實數的取值范圍是四、解答題（本大題共5小題）15．化簡：（1）（2）

16．在中，內角所對的邊分別為，，，已知已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的值；（3）若，判斷的形狀．17．已知的內角A，B，C所對的邊分別為，向量，，且，若，求的面積及邊上的中線的長．18．半徑為的圓內接，，為銳角．（1）求的大小；（2）若的平分線交于點，，，求的面積．19．平面幾何中有如下結論：“三角形的角平分線分對邊所成的兩段之比等于角的兩邊之比，即．”已知中，，，為角平分線．過點作直線交的延長線于不同兩點，且滿足，，（1）求的值，并說明理由；（2）若，求的最小值．

參考答案1．【答案】A【詳解】由題意可得：，結合復數的充分必要條件可知：，則，.本題選擇A選項.2．【答案】D【詳解】在中，，且，，則，即，即AB⊥BC，，則的形狀是等腰直角三角形．故選D.3．【答案】D【詳解】對于①，在上的投影向量為，故①正確；對于②，，故②錯誤；對于③，，，故③正確；，對于④，故④正確.故選D.4．【答案】C【詳解】試題分析：由題意得，，因為，所以，解得，故選C.考點：向量的坐標運算.5．【答案】A【詳解】在△ABC中，，由正弦定理可得：，即.又.所以，即.有.所以△ABC為等腰三角形.故選A.6．【答案】C【詳解】，所以，所以，即，解得，由余弦定理有，而，所以.故選C.7．【答案】A【詳解】，，．由正弦定理得，即，可得．所以山的高度為故選A．8．【答案】A【詳解】∵，與的夾角為，∴，又，∴，解得.設為向量，的夾角，則，∵，∴，∴.故選A.9．【答案】ACD【詳解】則，A正確；的虛部是，B錯誤；是純虛數，C正確；對應點的坐標是，在第四象限，D正確．故選ACD．10．【答案】AC【詳解】對于A，由正弦定理，所以由，可推出，則，即A正確；對于B，取，則，而不是等腰三角形，即B錯誤；對于C，，則，由正弦定理可得，故為直角三角形，即C正確；對于D，若銳角三角形，取，此時，即，故D錯誤.故選AC.11．【答案】BCD【詳解】對于A中，取的中點，因為，所以，又由，可得，所以A錯誤；對于B中，在中，可得，所以B正確；對于C中，由，可得，即，即點是線段的中點，所以C正確；對于D中，如圖所示，在取點，使得，在取點，使得，由，因為，且，可得點到的距離為點到的距離的3倍，所以的面積是面積的倍，所以D正確.故選BCD.12．【答案】【詳解】因為，，所以，因為與的夾角為銳角，所以，且與不共線，所以，且，解得且，即實數的取值范圍是.13．【答案】【詳解】解：不妨令、、，由余弦定理，即，解得，所以，所以，設三角形內切圓半徑為，則，解得.14．【答案】【詳解】在中，，，，由余弦定理得：，即.因為符合條件的三角形有兩個，所以關于c的方程由兩個正根，所以，解得：.故實數的取值范圍是.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）原式＝（2）原式＝16．【答案】（1）；（2）；（3）正三角形．【詳解】（1）在中，由及余弦定理得，而，所以.（2）由，及，得，所以.（3）由及，得，則，由（1）知，所以為正三角形.17．【答案】面積；中線長為.【詳解】因為，可得，由正弦定理得，又因為，可得，所以，即，因為，所以．由余弦定理得，即，整理得，解得，所以的面積，又由，18．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由正弦定理，又角為銳角，所以．（2）∵為的平分線