PAGE1-第19課時向量數乘運算及其幾何意義對應學生用書P55學問點一向量數乘運算的概念及運算律1．已知λ∈R，則下列結論正確的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|·aC．|λa|＝|λ|·|a|D．|λa|>0答案C解析當λ<0時，|λa|＝λ|a|不成立，A錯誤；|λa|是一個非負實數，而|λ|a是一個向量，所以B錯誤；當λ＝0或a＝0時，|λa|＝0，D錯誤．故選C．2．若a，b為已知向量，且eq\f(2,3)(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，則c＝________．答案eq\f(12,13)b－eq\f(8,39)a解析∵eq\f(2,3)(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，∴eq\f(8,3)a－2c＋15c－12b＝0，∴13c＝12b－eq\f(8,3)a，∴c＝eq\f(12,13)b－eq\f(8,39)a．3．化簡下列各式：(1)3(2a－b)－2(4a－2b)；(2)eq\f(1,3)(4a＋3b)－eq\f(1,2)(3a－b)－eq\f(3,2)b；(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．解(1)原式＝6a－3b－(8a－4b)＝－2a＋b．(2)原式＝eq\f(4,3)a＋b－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(3,2)b＝－eq\f(1,6)a．(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝－11b＋11c．學問點二向量的數乘運算4．在△ABC中，已知D是AB邊上的一點，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＝()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,4)答案B解析由eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，得eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝2(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))?eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(2,3)．5．已知O是直線AB外一點，C，D是線段AB的三等分點，且AC＝CD＝DB．假如eq\o(OA,\s\up6(→))＝3e1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3e2，那么eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A．e1＋2e2B．2e1＋e2C．eq\f(2,3)e1＋eq\f(1,3)e2D．eq\f(1,3)e1＋eq\f(2,3)e2答案A解析如圖所示，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝e1＋2e2，應選A．6．已知點C在線段AB上，且eq\f(AC,CB)＝eq\f(1,2)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝____eq\o(AB,\s\up6(→))．答案eq\f(1,3)解析如圖，因為eq\f(AC,CB)＝eq\f(1,2)，且點C在線段AB上，則eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(CB,\s\up6(→))|，故eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))．7．如圖所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示向量eq\o(AC,\s\up6(→))．解因為AB∥CD，且AB＝3CD，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,3)a．學問點三共線問題8．設兩個不共線的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，問是否存在實數λ，μ，使d＝λa＋μb與c共線？解d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d與c共線，則存在實數k，使得d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ．故存在實數λ和μ，使得d與c共線，此時λ＝－2μ．9．已知：eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝3eq\o(AC,\s\up6(→))，且B，C，D，E不共線．求證：BC∥DE．證明∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝3eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AC,\s\up6(→))－3eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))．∴eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(DE,\s\up6(→))共線．又∵B，C，D，E不共線．∴BC∥DE．對應學生用書P56一、選擇題1．給出下面四個結論：①對于實數m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②對于實數m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb(m∈R)，則a＝b；④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，則m＝n．其中，正確結論的個數是()A．1B．2C．3D．4答案C解析①和②屬于向量數乘運算的安排律，正確；③中，當m＝0時，ma＝mb＝0，但a與b不肯定相等，故③不正確；④正確，因為由ma＝na，得(m－n)a＝0，又因為a≠0，所以m－n＝0，即m＝n．2．已知向量a，b是兩個非零向量，在下列四個條件中，肯定能使a，b共線的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相異實數λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中實數x，y滿意x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b．A．①②B．①③C．②D．③④答案A解析由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b與a不肯定共線，故③不行；梯形ABCD中，沒有說明哪組對邊平行，故④不行．3．已知向量a與b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，則λ的值等于()A．eq\f(r,R)B．－eq\f(r,R)C．－eq\f(R,r)D．eq\f(R,r)答案C解析∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|．又a與b反向，∴λ＝－eq\f(R,r)．4．已知P是△ABC所在平面內一點，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，則點P肯定在()A．△ABC的內部B．AC邊所在的直線上C．AB邊所在的直線上D．BC邊所在的直線上答案B解析因為eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))?eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))?eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))，所以點P在AC邊所在的直線上，故選B．5．已知O是平面內肯定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))(λ∈[0，＋∞))，則點P的軌跡肯定通過△ABC的()A．外心B．內心C．重心D．垂心答案B解析eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)為eq\o(AB,\s\up6(→))上的單位向量，eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)為eq\o(AC,\s\up6(→))上的單位向量，則eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)的方向為∠BAC的角平分線eq\o(AD,\s\up6(→))的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))的方向與eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)的方向相同，而eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，∴點P在eq\o(AD,\s\up6(→))上移動．∴點P的軌跡肯定通過△ABC的內心，故選B．二、填空題6．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d同向，則實數λ的值為________．答案1解析由于c與d同向，所以可設c＝kd(k>0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b．由于a，b不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－eq\f(1,2)．又k>0，所以λ>0，故λ＝1．7．已知兩個不共線向量e1，e2，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋λe2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋4e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－7e2，若A，B，D三點共線，則λ的值為________．答案－eq\f(3,5)解析由eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋4e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－7e2，得eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝5e1－3e2，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋λe2，且A，B，D三點共線，所以存在實數μ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝μeq\o(BD,\s\up6(→))，即e1＋λe2＝μ(5e1－3e2)，又e1，e2不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5μ＝1，,－3μ＝λ，))所以λ＝－eq\f(3,5)．8．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AC,\s\up6(→))＝e2，eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝________．(用e1，e2表示)答案－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2解析∵eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)e2，∴eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)e2．∵eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2－e1，∴eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(e2－e1)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(e2－e1)－eq\f(1,4)e2＝－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2．三、解答題9．(1)化簡下列各式：①2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；②eq\f(1,6)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n．解(1)①原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b；②原式＝eq\f(1,6)(4a＋16b－16a＋8b)＝eq\f(1,6)(－12a＋24b)＝－2a＋4b．(2)把已知中的兩個等式看作關于m，n的方程，聯立得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m＋2n＝a，,m