PAGEPAGE1計算題規范練21．圖示為兩個足球運動員在賽前練習助攻進球的過程，其中BP在一條直線上，假設甲運動員在B處將足球以11m/s的速度沿直線的方向踢出，足球沿著地面對球門P處運動，足球運動的加速度大小為1m/s2，在A位置的乙運動員發覺甲運動員將足球踢出去后，經過1s的反應時間，起先勻加速向連線上的C處奔去，乙運動員的最大速度為9m/s，已知B、C兩點間的距離為60.5m，A、C兩點間的距離為63m.(1)乙運動員以多大的加速度做勻加速運動，才能與足球同時運動到C位置？(2)乙運動員運動到C處后以肯定的速度將足球沿CP方向踢出，已知足球從C向P做勻減速運動，足球運動的加速度大小仍舊為1m/s2，假設C點到P點的距離為9.5m，守門員看到運動員在C處將足球沿CP方向踢出后，能夠到達P處撲球的時間為1s，那么乙運動員在C處給足球的速度至少為多大，足球才能射進球門？解析：(1)對于足球：xBC＝v0t－eq\f(1,2)at2，代入數據得：t＝11s，乙運動員的運動時間t乙＝t－1＝10s.乙運動員的最大速度為9m/s，乙運動員先加速后勻速到C處，設加速時間為t′，則xAC＝eq\f(vm乙,2)t′＋vm乙(t－t′)，代入數據求得：t′＝6s，a乙＝eq\f(vm乙,t′)＝1.5m/s2.(2)由題意知，足球從C到P時間最多為1s，乙運動員給足球的速度最少為v，此時足球位移xCP＝vt－eq\f(1,2)at2，代入數據可得v＝10m/s.答案：(1)1.5m/s2(2)10m/s2.(2024·太原模擬)如圖所示，區域Ⅰ、Ⅲ內存在垂直紙面對外的勻強磁場，區域Ⅲ內磁場的磁感應強度為B，寬為1.5d，區域Ⅰ中磁場的磁感應強度B1未知，區域Ⅱ是無場區，寬為d，一個質量為m、電荷量為q的帶正電粒子從磁場邊界上的A點與邊界成θ＝60°角垂直射入區域Ⅰ的磁場，粒子恰好不從區域Ⅲ的右邊界穿出且剛好能回到A點，粒子重力不計．(1)求區域Ⅰ中磁場的磁感應強度B1.(2)求區域Ⅰ磁場的最小寬度L.(3)求粒子從離開A點到第一次回到A點的時間t.解析：(1)由題意知粒子的運動軌跡如圖所示，設在區域Ⅰ、Ⅲ中粒子做圓周運動的半徑分別為r、R，由圖知R＋Rcosθ＝1.5d，Rsinθ－eq\f(d,tanθ)＝rsinθ，聯立得R＝d，r＝eq\f(d,3)，由洛倫茲力供應向心力得qvB＝meq\f(v2,R)，同理區域Ⅰ中qvB1＝meq\f(v2,r)，聯立得B1＝3B.(2)由(1)及圖知區域Ⅰ磁場的最小寬度L＝r－rcosθ＝eq\f(d,6).(3)在區域Ⅰ中r＝eq\f(mv,qB1).可得v＝eq\f(qB1·\f(d,3),m)＝eq\f(qBd,m)，由圖知粒子在區域Ⅰ中的運動時間為t1＝eq\f(2θ,360°)·eq\f(2πm,qB1)＝eq\f(2πm,9qB)，在區域Ⅱ中的運動時間為t2＝eq\f(2d,vsinθ)＝eq\f(4\r(3)d,3v)＝eq\f(4\r(3)m,3qB)，在區域Ⅲ中的運動時間為t3＝eq\f(240°,360°)·eq\f(2πm,qB)＝eq\f(4πm,3qB)，所以粒子從離開A點到第一次回到A點的時間t＝t1＋t2＋t3＝eq\f(14πm＋12\r(3)m,9qB).答案：(1)3B(2)eq\f(d,6)(3)eq\f(14πm＋12\r(3)m,9qB)3．如圖所示，質量為m的由絕緣材料制成的球與質量為M＝19m的金屬球并排懸掛．現將絕緣球拉至與豎直方向成θ＝60°的位置自由釋放，下擺后在最低點與金屬球發生彈性碰撞．在平衡位置旁邊存在垂直于紙面的磁場．已知由于磁場的阻力作用，金屬球將于再次碰撞前停在最低點處．求經過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°.解析：設小球m的擺線長度為l小球m在下落過程中與M相碰之前滿意機械能守恒：mgl(1－cosθ)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，①m和M碰撞過程是彈性碰撞，故滿意：mv0＝MVM＋mv1，②eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)MVeq\o\al(2,M)，③聯立②③得：v1＝eq\f(m－M,m＋M)v0，④說明小球反彈，且v1與v0成正比，而后小球又以反彈速度和小球M再次發生彈性碰撞，滿意：mv1＝MVM1＋mv2，⑤eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)＋eq\f(1,2)MVeq\o\al(2,M1)，⑥解得：v2＝eq\f(m－M,m＋M)|v1|，⑦整理得：v2＝－(eq\f(m－M,m＋M))2v0.⑧故可以得到發生n次碰撞后的速度：vn＝|(eq\f(m－M,m＋M))nv0|，⑨而偏離方向為45°的臨界速度滿意：mgl(1－cos45°)＝eq\f(1,2)mveq\o\al