PAGEPAGE1課時作業63排列與組合一、選擇題1．從10名高校畢業生中選3個人擔當村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數為(C)A．85 B．56C．49 D．28解析：分兩類：甲、乙中只有1人入選且丙沒有入選，甲、乙均入選且丙沒有入選，計算可得所求選法種數為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＝49.2．4位男生和2位女生排成一排，男生有且只有2位相鄰，則不同排法的種數是(C)A．72 B．96C．144 D．240解析：先在4位男生中選出2位，易知他們是可以交換位置的，則共有Aeq\o\al(2,4)種選法，然后再將2位女生全排列，共有Aeq\o\al(2,2)種排法，最終將3組男生插空全排列，共有Aeq\o\al(3,3)種排法．綜上所述，共有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝144種不同的排法．故選C.3．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數為(D)A．144 B．120C．72 D．24解析：“插空法”，先排3個空位，形成4個空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數為Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24.4．A，B，C，D，E，F六人圍坐在一張圓桌四周開會，A是會議的中心發言人，必需坐在最北面的椅子上，B，C二人必需坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有(B)A．60種 B．48種C．30種 D．24種解析：由題知，可先將B，C二人看作一個整體，再與剩余人進行排列，則不同的座次有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48種．5．(2024·昆明兩區七校調研)某校從8名老師中選派4名同時去4個邊遠地區支教(每地1名老師)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，則不同的選派方案有(B)A．900種 B．600種C．300種 D．150種解析：依題意，就甲是否去支教進行分類計數：第一類，甲去支教，則乙不去支教，且丙也去支教，則滿意題意的選派方案有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(種)；其次類，甲不去支教，且丙也不去支教，則滿意題意的選派方案有Aeq\o\al(4,6)＝360(種)，因此，滿意題意的選派方案共有240＋360＝600(種)，故選B.6．將甲、乙等5名交警安排到三個不同路口疏導交通，每個路口至少一人，則甲、乙在同一路口的安排方案共有(C)A．18種 B．24種C．36種 D．72種解析：不同的安排方案可分為以下兩種狀況：①甲、乙兩人在一個路口，其余三人安排在另外的兩個路口，其不同的安排方案有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(種)；②甲、乙所在路口安排三人，另外兩個路口各安排一個人，其不同的安排方案有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(種)．由分類加法計數原理可知不同的安排方案共有18＋18＝36(種)．7．(2024·安徽黃山二模)我國的第一艘航空母艦“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中，有5架“殲-15”飛機打算著艦，規定乙機不能最先著艦，且丙機必需在甲機之前著艦(不肯定相鄰)，那么不同的著艦方法種數為(C)A．24 B．36C．48 D．96解析：依據題意，分2種狀況探討：①丙機最先著艦，此時只需將剩下的4架飛機全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24種狀況，即此時有24種不同的著艦方法；②丙機不最先著艦，此時須要在除甲、乙、丙之外的2架飛機中任選1架，作為最先著艦的飛機，將剩下的4架飛機全排列，丙機在甲機之前和丙機在甲機之后的數目相同，則此時有eq\f(1,2)×Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(4,4)＝24種狀況，即此時有24種不同的著艦方法．則一共有24＋24＝48種不同的著艦方法．故選C.二、填空題8．現將5張連號的電影票分給甲、乙等5個人，每人一張，若甲、乙分得的電影票連號，則共有48種不同的分法．(用數字作答)解析：電影票號碼相鄰只有4種狀況，則甲、乙2人在這4種狀況中選一種，共Ceq\o\al(1,4)種選法，2張票分給甲、乙，共有Aeq\o\al(2,2)種分法，其余3張票分給其他3個人，共有Aeq\o\al(3,3)種分法，依據分步乘法計數原理，可得共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝48種分法．9．現有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加區分，將這9個球排成一列，有1_260種不同的方法．(用數字作答)解析：第一步，從9個位置中選出2個位置，分給相同的紅球，有Ceq\o\al(2,9)種選法；其次步，從剩余的7個位置中選出3個位置，分給相同的黃球，有Ceq\o\al(3,7)種選法；第三步，剩下的4個位置全部分給4個白球，有1種選法．依據分步乘法計數原理可得，排列方法共有Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(3,7)＝1260(種)．10．(2024·浙江卷)從1,3,5,7,9中任取2個數字，從0,2,4,6中任取2個數字，一共可以組成1_260個沒有重復數字的四位數．(用數字作答)解析：若取的4個數字不包括0，則可以組成的四位數的個數為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)；若取的4個數字包括0，則可以組成的四位數的個數為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3).綜上，一共可以組成的沒有重復數字的四位數的個數為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝720＋540＝1260.11．某班主任打算請2025屆畢業生做報告，要從甲、乙等8人中選4人發言，要求甲、乙兩人至少有一人參與，若甲、乙同時參與，則他們發言中間需恰好間隔一人，那么不同的發言依次共有1_080種．(用數字作答)解析：若甲、乙同時參與，有2Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝120種，若甲、乙有一人參與，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(4,4)＝960種，從而不同的發言依次有1080種．12．(2024·福建福州二模)福州西湖公園花展期間，支配6位志愿者到4個展區供應服務，要求甲、乙兩個展區各支配一個人，剩下兩個展區各支配兩個人，不同的支配方案共有(B)A．90種 B．180種C．270種 D．360種解析：依據題意，分3步進行分析：①在6位志愿者中任選1個，支配到甲展區，有Ceq\o\al(1,6)＝6種狀況；②在剩下的5個志愿者中任選1個，支配到乙展區，有Ceq\o\al(1,5)＝5種狀況；③將剩下的4個志愿者平均分成2組，然后支配到剩下的2個展區，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))×Aeq\o\al(2,2)＝6種狀況，則一共有6×5×6＝180種不同的支配方案，故選B.13．(2024·鄭州質量預料)將數字“124467”重新排列后得到不同的偶數的個數為(D)A．72 B．120C．192 D．240解析：將數字“124467”重新排列后所得數字為偶數，則末位數應為偶數．(1)若末位數字為2，因為其他位數上含有2個4，所以有eq\f(5×4×3×2×1,2)＝60種狀況；(2)若末位數字為6，同理有eq\f(5×4×3×2×1,2)＝60種狀況；(3)若末位數字為4，因為其他位數上只含有1個4，所以共有5×4×3×2×1＝120種狀況．綜上，共有60＋60＋120＝240種狀況．14．(2024·昆明質檢)某小區一號樓共有7層，每層只有1家住戶，已知隨意相鄰兩層樓的住戶在同一天至多一家有快遞，且隨意相鄰三層樓的住戶在同一天至少一家有快遞，則在同一天這7家住戶有無快遞的可能狀況共有12種．解析：分三類：(1)同一天2家有快遞：可能是2層和5層、3層和5層、3層和6層，共3種狀況；(2)同一天3家有快遞：考慮將有快遞的3家插入沒有快遞的4家形成的空位中，有Ceq\o\al(3,5)種插入法，但需減去1層、3層與7層有快遞，1層、5層與7層有快遞這兩種狀況，所以有Ceq\o\al(3,5)－2＝8種狀況；(3)同一天4家有快遞：只有1層、3層、5層、7層有快遞這一種狀況．依據分類加法計數原理可知，同一天7家住戶有無快遞的可能狀況共有3＋8＋1＝12種．eq\a\vs4\al(尖子生小題庫——供重點班學生運用，一般班學生慎用)15．(2024·河南豫北名校聯考)2024年元旦假期，高三的8名同學打算拼車去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各兩名，分乘甲乙兩輛汽車，每車限坐4名同學(乘同一輛車的4名同學不考慮位置)，其中(1)班兩位同學是孿生姐妹，需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學中恰有2名同學是來自同一個班的乘坐方式共有(B)A．18種 B．24種C．48種 D．36種解析：由題意，有兩類：第一類，一班的2名同學在甲車上，甲車上剩下兩個要來自不同的班級，從三個班級中選兩個，有Ceq\o\al(2,3)＝3種，然后分別從選擇的班級中再選擇一個學生，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝4種，故有3×4＝12種．其次類，一班的2名同學不在甲車上，則從剩下的3個班級中選擇一個班級的兩名同學在甲車上，有Ceq\o\al(1,3)＝3種，然后再從剩下的兩個班級中分別選擇一人，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝4種，這時共有3×4＝12種，依據分類計數原理得，共有12＋12＝24種不同的乘車方式，故選B.16．(2024·山西長治二模)某人設計一項單人嬉戲，規則如下：先將一棋子放在如圖所示的正方形ABCD(邊長為3個單位)的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，假如擲出的點數為i(i＝1,2，…，6)，則棋子就按逆時針方向行走i個單位，始終循環下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的全部不同走法共有(C)A．22種 B．24種C．25種 D．36種解析：由題意知正方形ABCD(邊長為3個單位)的周長是12，拋擲三