絕密★啟用前2021年普通高等學校招生全國統一考試（浙江卷）數學本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共4頁，選擇題部分1至2頁；非選擇題部分3至4頁。滿分150分。考試用時120分鐘。考生注意：1．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規定的位置上。2．答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規范作答，在本試題卷上的作答一律無效。參考公式：如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互獨立，那么如果事件A在一次試驗中發生的概率是p，那么n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率臺體的體積公式其中分別表示臺體的上、下底面積，表示臺體的高柱體的體積公式其中表示柱體的底面積，表示柱體的高錐體的體積公式其中表示錐體的底面積，表示錐體的高球的表面積公式球的體積公式其中表示球的半徑選擇題部分（共40分）一?選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合，，則（）A. B. C. D.2.已知，，(i虛數單位)，則（）A. B.1 C. D.33.已知非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A. B.3 C. D.5.若實數x，y滿足約束條件，則最小值是（）A. B. C. D.6.如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（）A.直線與直線垂直，直線平面B.直線與直線平行，直線平面C.直線與直線相交，直線平面D.直線與直線異面，直線平面7.已知函數，則圖象為如圖的函數可能是（）A. B.C. D.8.已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數的最大值是（）A.0 B.1 C.2 D.39.已知，函數.若成等比數列，則平面上點的軌跡是（）A.直線和圓 B.直線和橢圓 C.直線和雙曲線 D.直線和拋物線10.已知數列滿足.記數列前n項和為，則（）A. B. C. D.非選擇題部分（共110分）二?填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。11.我國古代數學家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則___________.12.已知，函數若，則___________.13.已知多項式，則___________，___________.14.在中，，M是的中點，，則___________，___________.15.袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現從中任取兩個球，記取出的紅球數為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則___________，___________.16.已知橢圓，焦點，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且軸，則該直線的斜率是___________，橢圓的離心率是___________.17.已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.三?解答題：本大題共5小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18.設函數.（1）求函數的最小正周期；求函數在上的最大值.19.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.證明：；求直線與平面所成角的正弦值.20.已知數列前n項和為，，且.（1）求數列的通項；（2）設數列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.21.如圖，已知F是拋物線的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且，求拋物線的方程；（2）設過點F的直線交拋物線與A?B兩點，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.22.設a，b實數，且，函數（1）求函數的單調區間；（2）若對任意，函數有兩個不同的零點，求a的取值范圍；（3）當時，證明：對任意，函數有兩個不同的零點，滿足.(注：是自然對數的底數)絕密★啟用前2021年普通高等學校招生全國統一考試（浙江卷）數學本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共4頁，選擇題部分1至2頁；非選擇題部分3至4頁。滿分150分。考試用時120分鐘。考生注意：1．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規定的位置上。2．答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規范作答，在本試題卷上的作答一律無效。參考公式：如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互獨立，那么如果事件A在一次試驗中發生的概率是p，那么n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率臺體的體積公式其中分別表示臺體的上、下底面積，表示臺體的高柱體的體積公式其中表示柱體的底面積，表示柱體的高錐體的體積公式其中表示錐體的底面積，表示錐體的高球的表面積公式球的體積公式其中表示球的半徑一?選擇題1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意結合交集的定義可得結果.【詳解】由交集的定義結合題意可得：.故選：D.2.已知，，(i為虛數單位)，則（）A. B.1 C. D.3【答案】C【解析】【分析】首先計算左側的結果，然后結合復數相等的充分必要條件即可求得實數的值.【詳解】，利用復數相等的充分必要條件可得：.故選：C.3.已知非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】考慮兩者之間的推出關系后可得兩者之間的條件關系.【詳解】如圖所示，,當時，與垂直，，所以成立，此時，∴不是的充分條件，當時，，∴,∴成立，∴是的必要條件，綜上，“”是“”的必要不充分條件故選：B.4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據三視圖可得如圖所示的幾何體，根據棱柱的體積公式可求其體積.【詳解】幾何體為如圖所示的四棱柱，其高為1，底面為等腰梯形，該等腰梯形的上底為，下底為，腰長為1，故梯形的高為，故，故選：A.5.若實數x，y滿足約束條件，則最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出滿足條件的可行域，目標函數化為，求出過可行域點，且斜率為的直線在軸上截距的最大值即可.【詳解】畫出滿足約束條件的可行域，如下圖所示：目標函數化為，由，解得，設，當直線過點時，取得最小值為.故選：B6.如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（）A.直線與直線垂直，直線平面B.直線與直線平行，直線平面C.直線與直線相交，直線平面D.直線與直線異面，直線平面【答案】A【解析】【分析】由正方體間的垂直、平行關系，可證平面，即可得出結論.【詳解】連，在正方體中，M是的中點，所以為中點，又N是的中點，所以，平面平面，所以平面.因為不垂直，所以不垂直則不垂直平面，所以選項B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項C錯誤，選項A正確.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關系是解題的關鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關系.7.已知函數，則圖象為如圖的函數可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數的奇偶性可排除A、B，結合導數判斷函數的單調性可判斷C，即可得解.【詳解】對于A，，該函數非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除A；對于B，，該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除B；對于C，，則，當時，，與圖象不符，排除C.故選：D.8.已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數的最大值是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個代數式不可能均大于，再結合特例可得三式中大于的個數的最大值.【詳解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個數的最大值為2，故選：C.法2：不妨設，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個數的最大值為2，故選：C.【點睛】思路分析：代數式的大小問題，可根據代數式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進行放縮，注意根據三角變換的公式特征選擇放縮的方向.9.已知，函數.若成等比數列，則平面上點的軌跡是（）A.直線和圓 B.直線和橢圓 C.直線和雙曲線 D.直線和拋物線【答案】C【解析】【分析】首先利用等比數列得到等式，然后對所得的等式進行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得，即，對其進行整理變形：，，，，所以或，其中為雙曲線，為直線.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查軌跡方程，關鍵之處在于由題意對所得的等式進行恒等變形，提現了核心素養中的邏輯推理素養和數學運算素養，屬于中等題.10.已知數列滿足.記數列的前n項和為，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】顯然可知，，利用倒數法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據裂項相消法即可得到，從而得解．【詳解】因為，所以，．由，即根據累加法可得，，當且僅當時取等號，，由累乘法可得，當且僅當時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．【點睛】本題解題關鍵是通過倒數法先找到的不等關系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數，從而通過局部放縮得到的不等關系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．二?填空題11.我國古代數學家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則___________.【答案】25【解析】【分析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計算其比值即可.【詳解】由題意可得，大正方形的邊長為：，則其面積為：，小正方形的面積：，從而.故答案為：25.12.已知，函數若，則___________.【答案】2【解析】【分析】由題意結合函數的解析式得到關于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.13.已知多項式，則___________，___________.【答案】(1).;(2)..【解析】【分析】根據二項展開式定理，分別求出的展開式，即可得出結論.【詳解】，，所以，，所以.故答案為：.14.在中，，M是的中點，，則___________，___________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由題意結合余弦定理可得，進而可得，再由余弦定理可得.【詳解】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.15.袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現從中任取兩個球，記取出的紅球數為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則___________，___________.【答案】(1).1(2).【解析】【分析】根據古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根據隨機變量的分布列即可求出．【詳解】，所以，,所以,則．由于．故答案為：1；．16.已知橢圓，焦點，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且軸，則該直線的斜率是___________，橢圓的離心率是___________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】不妨假設，根據圖形可知，，再根據同角三角函數基本關系即可求出；再根據橢圓的定義求出，即可求得離心率．【詳解】如圖所示：不妨假設，設切點為，，所以,由，所以，，于是，即，所以．故答案為：；．17.已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】設，由平面向量的知識可得，再結合柯西不等式即可得解.【詳解】由題意，設，則，即，又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是由平面向量的知識轉化出之間的等量關系，再結合柯西不等式變形即可求得最小值.三?解答題18.設函數.（1）求函數的最小正周期；（2）求函數在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意結合三角恒等變換可得，再由三角函數最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數的圖象與性質即可得解.【詳解】（1）由輔助角公式得，則，所以該函數的最小正周期;（2）由題意，，由可得，所以當即時，函數取最大值.19.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點，根據題意可知，兩兩垂直，所以以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可根據線面角的向量公式求出．【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標原點，如圖所示，建立空間直角坐標系,則,又為中點，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關系的直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關系可以建立空間直角坐標系，根據線面角的向量公式即可計算得出．20.已知數列的前n項和為，，且.（1）求數列的通項；（2）設數列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，結合與的關系，分討論，得到數列為等比數列，即可得出結論；（2）由結合的結論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數，轉化為與關于的函數的范圍關系，即可求解.【詳解】（1）當時，，，當時，由①，得②，①②得，又是首項為，公比為的等比數列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時不等式恒成立；時，，得；時，，得；所以.【點睛】易錯點點睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數時，要注意變量的正負零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數不等式要變號.21.如圖，已知F是拋物線的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且，（1）求拋物線的方程；（2）設過點F的直線交拋物線與A?B兩點，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出的值后可求拋物線的方程.（2）設，，，聯立直線的方程和拋物線的方程后可得，求出直線的方程，聯立各直線方程可求出，根據題設條件可得，從而可求的范圍.【詳解】（1）因為，故，故拋物線的方程為：.（2）設，，，所以直線，由題設可得且.由可得，故，因為，故，故.又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，則且，故，故即，解得或或.故直線在軸上的截距的范圍為或或.【點睛】方法點睛：直線與拋物線中的位置關系中的最值問題，往往需要根據問題的特征合理假設直線方程的形式，從而便于代數量的計算，對于構建出的函數關系式，注意利用換元法等把復雜函數的范圍問題轉化為常見函數的范圍問題.22.設a，b為實數，且