全國高中數學說課大賽教學設計一等獎

作品合輯

目錄

3全國高中數學說課大賽教學設計T獎作品：《函數的概念》.doc

“全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品《幾類不同增長函數模型》.doc

,全國高中數學說課大賽教學設計T獎作品《空間中直線與直線的位置關系》.doc

回全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品《球面距離》.doc

口全國高中數學說課大賽教學設計T獎作品《同角三角函數的基本關系》,doc

區全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品《正弦定理》,doc

"全國高中數學說課大賽教學設計T獎作品《直線的傾斜角和斜率》.doc

X全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品1《方程的根與函數的零點》.doc

“全國高中數學說課大賽教學設計T獎作品3用二分法求方程的近彳嫄.doc

全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品4向量的加法.doc

H全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品5向里加法運算及其幾何意義doc

“全國高中數學說課大賽教學設計T獎作品6tts沃小.doc

“全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品7^TE一次不等式.doc

,全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品8分步原理與分類原理.doc

“全國高中數學說課大賽教學設計T獎作品9等比數列.doc

“全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品10獨立性檢驗的基本思想.doc

“全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品11導數的綜合應用.doc

但全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品12會的gdoc

全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品13等比數列的前n項和公式.doc

口全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品14函數的表示法.doc

“全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品15歸納推理.doc

全國高中數學說課大賽教學設計T獎作品16函數y=Asin（3X+cp）.doc

口全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品17函數的單調性.doc

?全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品18幾何概型的教學設計.doc

“全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品19函數的奇偶性.doc

“全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品20對數函數二.doc

?全國高中數學說課大賽教學設計T獎作品21《古.doc

"全國高中數學說課大賽教學設計T獎作品22《平面向墾（第一課）》.doc

全國高中數學說課大賽教學設計T獎作品23《曲線與方程》.doc

“全國高中數學說課大褰教學設計T獎作品24《橢圓及其標準方程》.doc

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《函數的概念》教學設計

【三維目標】

了解：通過豐富實例讓學生了解函數是非空數集到非空數集的一個對應；了解構成函數的

三要素；

理解：函數概念的本質；抽象的函數符號/(x)的意義；/(a)(。為常數)與/(x)的區別

與聯系；會求一些簡單函數的定義域；

經歷：讓學生經歷函數概念的形成過程，函數的辨析過程，函數定義域的求解過程以及求

函數值的過程；滲透歸納推理、發展學生的抽象思維能力；

體驗：通過經歷以上過程，讓學生體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，

在此基礎上學會用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中

的作用，體驗函數思想；通過師生互動、生生互動，讓學生在民主、和諧的課堂氛

圍中，感受數學的抽象性和簡潔美.

【教學重點】函數概念的形成，正確理解函數的概念.

【教學難點】發展學生的抽象思維能力，對函數概念本質的理解.

【教法選擇】問題式教學法：本堂課的特點是概念教學，根據學生的心理特征和認

知規律，我采取問題式教學法；以問題串為主線，通過設置幾個具體問題情景，發現問題中

兩個變量的關系，讓學生歸納、概括出函數概念的本質，這也符合建構主義的教學理論.

【學法選擇】探究式學法：新課程要求課堂教學的著力點是尊重學生的主體地位,

發揮學生的主動精神，培養學生的創新能力，使學生真正成為學習的主體，結合本堂課的特

點，我倡導的是探究式學法；讓學生在探究問題的過程中，通過老師的引導歸納概括出函數

的概念，通過問題的解決，達到熟練理解函數概念的目的,從而讓學生由“被動學會”變成

“主動會學”.

【教學媒體選擇】教學中使用多媒體來輔助教學，其目的是充分發揮快捷、生動、

形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于適當增加課堂容量，提高課堂效率；同時

與黑板板書相結合.

【教學過程設計】

(-).結構分析

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，我把教學過程設計為七個階段:

回憶舊知，引出困惑—?創設情境，形成概念—?質疑解惑，剖析概念

討論研究，深化理解f即時訓練，鞏固新知一總結反思，提高認知

分層作業，自主探究

（-）.教學過程

課題引入

2010年9月5日。時14分，我國在西昌衛星發射中心用“長征三號乙”運載火箭，成功將

“鑫諾六號”通信廣播衛星送入太空.在“鑫諾六號”飛行期間，我們時刻關注著“鑫諾六

號”離地面的距離隨時間是如何變化的，數學上可以用來描述這種運動變化中的數量

關系.（函數）

1.回憶舊知，引出困惑

問題一：請舉出初中學過的一些函數.

,1

y=2x,y=x,y=一等.

x

問題二：請同學們回憶初中函數的定義是什么？

在一個變化過程中，有兩個變量x與y,如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值

和它對應，那么就說y是x的函數，x叫自變量.

問題三：y=0（無€/?）是函數嗎？

學生活動：先由學生思考回答，對產生的兩種意見展開小組討論.

由于受認知能力的影響，利用初中所學函數知識很難回答這些問題，形成認知沖突，從

而引出本堂課的課題（用幻燈片打出課題）.讓學生帶著懸念、帶著認知沖突學習后面的知

識，這樣有利于激發學生的學習欲望.

2.創設情境，形成施念

實例一：一枚炮彈發射后，經過26s落到地面擊中目標.炮彈的射高為845機，且炮彈距地

面的高度力（單位：m）隨時間f（單位：s）變化的規律是：h=\30t-5t2.

問題四：1」的范圍是什么？〃的范圍是什么？

2」和人有什么關系？這個關系有什么特點？

（實例一由師生共同完成）

事實上生活中這樣的實例有很多，隨著改革開放的深入，我們的生活水平越來越高，需

求越來越大，對環境的影響也越來越重，下面請同學們自學有關臭氧層空洞的問題和恩格爾

系數的問題：

實例二：近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現了臭氧層空洞問題.圖L2—1中

的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979~2001年的變化情況.

實例三：國際上常用恩格爾系數反映一個國家人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活

質量越高.表1—1中恩格爾系數隨時間（年）變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城

鎮居民的生活質量發生了顯著變化.

時間

19911992199319941995199619971998199920002001

（年）

恩格爾

53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9

系數(％)

通過先對兩個實例的學生自學，然后請學生談感受，老師提問，學生回答，師生共同完

成.

問題五：實例一、實例二、實例三的對應關系在呈現方式上有什么不同？

問題六：以上三個實例有什么相同的特征？

學生活動：讓學生分組討論交流，總結歸納出：

共同特點：①都有兩個非空數集A、B,②兩個數集之間都有--種確定的對應關系；③對

于數集A中的每一個x,按照某種對應關系了,在數集3中都有唯一確定的y值和它對應.

問題七：滿足以上共同特點的兩個數集的對應關系，我們把它叫做什么呢？(先讓學生說,

老師再做補充)

引導學生思考：在三個實例中，大家用集合與對應的語言分別描述了兩個變量之間的

依賴關系，其中一個變量都是另一個變量的函數.

你能否用集合與對應的語言來刻畫函數，抽象樓括出函數的概念呢？

函數概念：

設4、8是非空的數集，如果按某種確定的對應關系/,使對于集合A中的任意一個數x,

在集合3中都有唯一確定的數/(幻和它對應，那么就稱/:A98為集合A到集合8的

一個函數，記作y=/(x),》eA.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y的值叫做

函數值，函數值的集合｛/(x)|xeA｝叫做函數的值域.顯然，值域是集合8的子集.

問題八:請同學們根據現在函數的定義說說前面三個實例是否表示兩個集合的函數關系？

問題九:y=0(%eR)是函數嗎？

問題十:用幾何畫板在平面直角坐標系中畫出一段弧，并作平移和旋轉，同時讓學生判斷這

些平移和旋轉中的弧是否表示函數圖象.

方法引導：如何判斷給定的兩個變量間是否具有函數關系？

可依據定義，依據定義中的哪幾個要點？要注意函數概念中的哪些關鍵詞？

3.質疑解惑，剖析概念

問題十一:請同學們勾畫出概念中的關鍵詞，并用簡潔的語言說明.

通過交流得出以下幾點：

①A、B都是非空的數集；

②任意性與唯一性；

③確定的對應關系，對應關系/可以是解析式、圖象、表格.

問題十二:函數由幾部分組成？

三要素：定義域、值域、對應法則，缺一不可.

問題十三:怎樣理解符號/(X)?

在法則一下，X所對應的函數值，并結合生活實例說明.

4.討論研究，深化理解

【例1】已知函數/*)=475+」一，

x+2

(1)求函數的定義域；

2

<2)求/(一3),/(§)的值；

(3)當”>0時，求/(a)J(a—1)的值.

想一想：函數的定義域該怎么求？符號/(a)(。為常數)與/(x)有哪些區別與聯系？

(學生先思考、計算，老師提問，師生共同完成)

5.即時訓練，鞏固新知

練習1.求函數/(幻=的定義域：

練習2.已知函數f(x)=3/+2x,求/(2)+/(-?)的值.

學生活動:抽兩位學生到講臺在黑板上分別完成(其他同學在下面完成)，完成后，師生共同

評價完善.

6.總結反思，提高認識

今天，我們在初中函數定義的基礎上，運用集合與對應的語言重新刻畫了函數，比較兩個函

教的定義，同學們有什么新的認識.

引導學生思考回答，老師作適當補充.

7.分層作業，自主探究

作業：一、舉出生活中函數的例子(兩個以上)，并用集合與對應的語言來描述函數；

二、A組學生做：P241、2、3、4；

B組學生做：必做A組學生所做，選做P251題.

附板書設計(提綱式)

函數的概念

三個實例的共同點：

練習：2①例1練習：1

②

③

各位專家，以上就是我對這節課的教學設想，不足之處懇請各位專家批評指正.

謝謝！

3.2.1幾類不同增長的函數模型（第一課時）

一.內容和內容解析

本節是高中數學必修1（人教A版）第三章《函數的應用》的起始課.該課將經歷運用

和選擇函數模型解決實際問題的過程，從而認識在同為增函數的函數模型中，各種函數存在

增長的差異；理解直線上升、指數爆炸、對數增長的含義；認識研究函數增長（衰減）差異

的方法；感受數學建模的思想.

對不同函數模型在增長差異上的研究，教材圍繞函數模型的應用這一核心，結合具體實

例展開討論，讓學生在應用函數模型的過程中，體驗到指數函數、對數函數、基函數等函數

模型在描述客觀世界變化規律時各自的特點.

教材運用自選投資方案和制定獎勵方案這兩個問題，引出函數模型增長情況比較的問

題，接著運用信息技術從數值和圖象兩個角度比較了指數函數、對數函數、塞函數的增長情

況的差異，說明不同函數類型增長的含義.

在必修1前兩章，教材安排了函數的性質以及基本初等函數.本節內容是幾類不同增長

的函數模型，在此之后是研究函數模型的應用，因此，從內容上看，本節課是對前面所學習

的幾種基本初等函數以及函數的性質的綜合應用，從思想方法上講，是對研究函數的方法的

進一步鞏固和深化，同時，也在為后面繼續學習各種不同的函數模型的應用舉例奠定基

礎，.因此本節內容，既是第二章基本初等函數知識的延續，又是函數模型應用學習的基礎,

起著承前啟后的作用.

本節內容所涉及的數學思想方法主要包括：由實際問題抽象為函數模型這一過程中蘊涵

的符號化、模型化的思想；在解決問題過程中函數與方程的思想.

二.目標和目標解析

本節課的教學任務為：

(1)創設一個投資方案的問題情境，讓學生通過函數建模、列數據表、研究函數圖象

和性質，體會直線上升和指數爆炸；

(2)創設一個選擇獎勵模型的問題情境，讓學生在觀察和探究的過程中，體會對數增

長模型的特點；

(3)通過建立和運用函數基本模型，讓學生初步體驗數學建模的基本思想，發展學生

的創新意識和數學應用意識.

根據內容解析和教學任務，本節課的教學目標確定為：

(1)通過實例的解決，運用函數表格、圖象，比較一次函數、指數型函數以及對數函

數模型等的增長，認識它們的增長差異，體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同增長的

函數模型的意義；

(2)通過恰當地運用函數的三種表示方法(解析法、列表法、圖象法)，表達實際問題

中的函數關系的操作，認識函數問題的研究方法：觀察一歸納一猜想一證明；

(3)經歷建立和運用函數基本模型的過程，初步體驗數學建模的基本思想，體會數學

的作用與價值，培養分析問題、解決問題的能力.

這部分內容教科書在處理上，以函數模型的應用這一內容為主線，以幾個重要的函數

模型為對象，將前面己經學習過的內容以及處理問題的思想方法緊密結合起來，使之成為一

個整體.因此教學中應當注意貫徹教材的設計意圖，讓學生經歷函數模型應用的全過程，能

在這一過程中認識不同增長的差異，認識知曉函數增長差異的作用，認識研究差異的思想方

法.

結合以上分析本節課的教學重點為：將實際問題轉化為數學模型，在比較常數函數、一

次函數、指數函數、對數函數模型增長差異的過程中，體會直線上升、指數爆炸、對數增長

等不同類型函數增長的含義.

三.教學問題診斷

學生在前面已學過函數概念、指數函數、對數函數、幕函數，但由于指數函數、對數函

數和事函數的增長變化復雜，這就使得學生在研究過程中可能遇到困難.因此本節課教學難

點確定為：如何結合實際問題讓學生體會不同函數模型的增長差異，以及如何利用這種增長

差異來解決一些實際問題.

為了解決這一難點，教科書分三個步驟，創設問題情境，并通過恰點恰時而又層層遞進

的問題串，讓學生在不斷的觀察、思考和探究的過程中，弄清幾個函數間的增長差異，并培

養分析問題解決問題的能力.第一步，教科書先創設了一個選擇投資方案的問題情境，在解

決問題的過程中給出了解析式、數表和圖象三種表示，然后提出了三個思考問題，讓學生一

方面從中體會直線上升和指數爆炸，另一方面也學會如何選擇恰當的表示形式對問題進行分

析.第二步，教科書又創設了一個選擇公司獎勵模型的問題情境，讓學生在觀察和探究的過

程中，體會到對數增長模型的特點.第三步，教科書提出了三種函數存在怎樣的增長差異的

問題.先讓學生從不同角度觀察指數函數和嘉函數的增長圖象，從中體會二者的差異；再通

過兩個探究問題，讓學生對基函數和對數函數的增長差異，以及三種函數的衰減情況進行自

主探究.這樣的安排內容上層次分明，可以引導學生從不同的方面積極地開展觀察、思考和

探究活動，對典型的問題，多視點寬角度地進行了研究.對學生分析問題、解決問題能力的

培養將有積極的推動.由于本節內容比較豐富，而且研究問題的方法和途徑也比較多，所以

本節課我們只能重點解決其中的前兩個問題.

四.教學支持條件分析

要讓學生較為全面地體會函數模型的思想，特別是本節例題中用函數模型研究實際問題

有許多數據、圖象等方面處理上的困難，而利用信息技術工具，就可以在不同的范圍觀察到

指數函數、對數函數和基函數的增長差異.這樣，就使學生有機會接觸到一些過去難以接觸

到的數學知識和思想方法.因此在本節內容教學的處理上，通過學生收集數據并建立函數模

型，利用計算器和計算機，比較指數函數、對數函數以及幕函數間的增長差異；結合實例

體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義.

五.教學過程設計

一、創設情境，引入課題

1.介紹第三章章頭圖，提出問題.

問題1：澳大利亞的兔子為什么能在短短的幾十年中由5只發展到5億只？

澳大利亞兔子的急劇增長反映了自然界中一種增長現象：指數增長.

問題2：在生活中，你還能舉出其它增長的例子嗎？

2.在學生回答問題的基礎上引出各種不同類型的函數增長模型.

3.揭示課題：幾類不同增長的函數模型.

【設計意圖】運用章頭圖，形成問題情境，產生應用函數的需要，激發學生的學習愿望.

二、分析問題，建立模型

(-)提出問題

例1.假如你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的

回報如下：

方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；

方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.

請問：你會選擇哪種投資方式？

(-)分析問題

1.引導審題，抓住關鍵詞“回報”

問題3：你選擇的是什么樣的回報？怎樣比較回報資金的大小？

從解決問題的角度看：

(1)比較三種方案的每日回報；

(2)比較三種方案在若干天內的累計回報.

2.引導分析數量關系，建立函數模型

僅從日回報的角度引導學生根據數量關系，歸納概括出相應的函數模型，寫出每個方案

的函數解析式.

【設計意圖】引發學生思考，經歷建立函數基本模型的過程.

【備注】累計回報的本質是數列求和問題，由于學生目前的知識儲備還不夠，現在僅限

于通過對函數模型通過列表計算、圖象觀察來作出判斷和選擇.

三、組織探究，感性體驗

1.教師提出問題

問題4：你會選擇哪種投資方案？請用數學語言呈現你的理由.

2.學生分組操作，比較不同增長

從解決問題的方式上：

（1）用列表方法來比較；

（2）畫出函數圖象來分析.

【設計意圖】保成學生合作探究、動手實踐，能借助計算器，利用數據表格、函數圖象

對三種模型進行比較、分析，初步感受直線上升和指數爆炸的意義，初步體驗研究函數增

長差異的方法.

四、成果交流，階段小結

（-）學生交流

讓學生交流小組探究的成果（表格、圖象、結論）

（二）師生互動

L閱讀教材上例題解答中的數據表格與圖象（突出散點圖），引導學生關注增長量，感

受增長差異.

2.通過教師多媒體動態演示，讓學生進一步體會增長差異.

在不同的函數模型下，雖然都有增長，但增長態勢各具特點.他們的增長不在同一個“檔

次”上，當自變量變得很大時，指數型函數比一次函數增長的速度要快得多.

（三）歸納小結

1.通過教師的小結，增強學生對增長差異的認識.

常數函數（沒有增長），直線上升（勻速增長），指數爆炸（急劇增長）.

2.上述問題的解決，是通過考慮其中的數量關系，把它抽象概括成一個函數問題，用解

析式、數據表格、圖象這三種函數的表達形式來研究的.

【設計意圖】分享學生成果，達到生生互動、師生互動；借助多媒體展示，幫助學生理

解不同增長的函數模型的增長差異，并且初步體驗數學建模的基本思想，認識函數問題的

研究方法.

五、深入探究，理性分析

（-）提出問題

例2.某公司為了實現1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：

在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單

位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%.現有三

個獎勵模型：y=0.25xy=log7x+ly=1.002,.其中哪個模型能符合公司的要

求？

（-）引導分析

問題5：你能立刻做出選擇嗎？選擇的依據是什么？

問題6：公司的要求到底意味著怎樣的數學關系？

問題7：我們提供的三個增長型函數哪一個符合限制條件？

（三）解決問題

1.通過多媒體演示，發現增長差異；

2.結合限制條件，初步作出選擇；

3.通過計算，進一步確認，驗證所得結論；

4.體會對數增長模型的增長特征：當自變量變得很大時平緩增長；

5.揭示函數問題的研究方法（觀察一歸納一猜想一證明）.

【設計意圖】讓學生在觀察和探究的過程中，學會理性分析，體會對數增長模型的特點.

【備注】對判斷模型二yulog,x+l是否滿足限制條件"log7X+l40.25x”，考慮到

學生現在知識儲備和接受水平，只能采用了直觀教學，通過構造新函數，觀察新函數的圖象

來解決（因為該函數單調性的判定，必須運用高二數學中的導數知識與方法才能解決）.

六、拓展延伸，創新設計

這個獎勵方案實施以后，立刻調動了員工的積極性，企業發展蒸蒸日上，但隨著時間

的推移，又出現了新的問題，員工缺乏創造高銷售額的積極性.

問題8：我們的獎勵方案有什么弊端？

問題9：你能否設計出更合理的獎勵模型？

【創新設計】為了實現1000萬元利潤的目標，在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤

進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨著銷售利洞x（單位：萬元）的增加而增加，要求如下：

10萬?50萬，獎金不超過2萬；50萬?200萬，獎金不超過4萬；200萬?1000

萬，獎金不超過20萬.請選擇適當的函數模型，用圖象表達你的設計方案.（四人一組，合

作完成）

【設計意圖】設計開放性問題對例2拓展延伸，既檢測了學生對幾類不同模型增長差異

的掌握情況，又鼓勵學生學以致用，用以致優，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再

創造”過程.

七、歸納總結，提煉升華

問題10：通過本節課的學習，你有哪些收獲？請你從知識、方法、思想方面作一個小結.

1.知識：對函數的性質有了進一步的了解，我們體會到同是增長型函數，但其增長差

異卻很大：常數函數（沒有增長）；一次函數（直線上升）；指數函數（爆炸增長）；對數函

數（平緩增長）.

2.方法：函數有三種表示方法（解析法、列表法、圖象法）；函數問題的一般研究方法

（觀察一歸納一猜想一證明）

3.思想：兩個例題都體現了數學建模的思想，即把實際問題數學化：面對實際問題，

我們要讀懂問題，運用所學知識，將其轉化成數學模型，最終得到實際問題的解.

【設計意圖】理解幾類不同增長的函數模型的增長差異，提煉數學思想方法，認識數學

的應用價值.

八、布置作業，鞏固提高

1.課本98頁課后練習1,2；課本107頁習題3.2（A組）第1題；

2.收集一些社會生活中遞增的一次函數、指數函數、對數函數的實例，對它們的增長

速度進行比較，了解函數模型的廣泛應用.

【設計意圖】進一步體驗函數是描述客觀世界變化規律的基本數學模型，不同的變化規

律需要用不同的函數模型來描述；培養學生對數學學科的深刻認識，體會數學的應用價值.

“空間中直線與直線的位置關系”教學設計

教學目標

［知識與技能］

通過學習能知道空間直線的三種位置關系；

初步理解異面直線的概念，會判斷兩直線的異面關系，初步理解異面直線的

襯托畫法，初步理解異面直線所成角的概念，運用平移的方法求異面直線所成的

角；

初步理解與運用公理4解決問題，初步了解等角定理.

［過程與方法］

通過學習經歷異面直線的概念的形成過程，借助平面的襯托，體會異面直線

的直觀畫法，通過對等角定理的溫故知新的探究，解決了異面直線的定義，并能

求簡單的異面直線所成的角；借助長方體的模型，發現與感知平行線的傳遞性質.

［情感、態度與價值觀］

經歷師生的教與學的互動活動，讓學生初步體會化歸思想與空間想象能力的

養成意義，通過學習讓學生獲得對空間直線的位置關系有一個清晰的認識，把

問題交給學生解決，讓學生自主發現問題與解決問題，養成獨立思考的習慣.

重點、難點與關鍵點

重點：異面直線的概念、異面直線所成的角與簡單角的求法；公理4的運用.

難點：異面直線概念的理解與求法.

關鍵點：異面直線的襯托畫法，找異面直線的角.

教學準備：空間四邊形模型、長方體模型，直線、平面教具，教學課件.

教學過程設計：

思考問題：空間直線與直線的位置關系有幾種？

設計意圖：由教科書第44頁“思考”中的問題，引起學生注意，誘發學生探

知的欲望，養成思考問題的習慣.

師生活動：（虛擬）教師放課件圖片，引導學生觀察：日光燈所在直線與黑板

左右兩側所在直線的位置關系，讓學生發現，直線與直線有既不平行又不相交的

位置關系.我們今天上課的內容是：

板書：空間中直線與直線的位置關系

觀察：如圖2.1-13,長方體血力"/BCD中，線段43所在直線與線段比

所在直線的位置關系如何？

（虛擬）學生：既不相交，又不平行.教5

師：這種關系我們定義為異面直線.

板書：1.異面直線的定義：

把不同在任何一個平面內的兩直線叫做

異面直線.（關鍵點：不同在任何一個平面內）.

概念辨析：

A

下列說法是否正確？請同學思考后回答：

如圖，陽U平面AMCQ,比匕平面ABC。，問的，況1是否是異面關系。

教師：同學們要理解定義中關鍵詞“不同在任何一個平面內”，雖然直線

況'是不在同一底面上，但它們卻在對角面46切內，因此，它們不是異面直線。

（虛擬）由學生歸納空間直線的位置關系有且僅有三種：

（幻燈片）:

2.空間直線的位置關系：

板書：

‘相交直線,

＞共面

■平行直線.

異面直線:不同在任何一個平面內的兩條直線

板書：

3.異面直線畫法：（幻燈片給出圖形及小標題）：

（1）.一個平面襯托畫法：（2）.兩個平面襯托畫法:

動畫設置：（教師與學生互動）（虛擬）把襯托平面移走，再看直線a與直線

b的位置的異面關系是否直觀？很顯然，當把襯托平面移走后，異面直線很不明

顯，所以異面直線的平面襯托是很重要的，注意下列關鍵點：

強調關鍵點：1）.（一個平面襯托法）直線b與平面a交點在直線a外；

2）.（兩個平面襯托法）直線a,8與棱都相交，且交點不重合.

師生活動：如圖，長方體用笫TBCD中，AAJ/BB,,CC、〃BB”那么小與

CG平行嗎？咒

（虛擬互動）：由幻燈片閃爍AAVBB”CC,/71%

〃BB“再閃爍AA/CG,由學生觀察得到結論............Z

板書（幻燈片）：

4.公理4平行于同一直線的兩直線互相------------71c

平沅

即若CC\〃BB\,則超〃S.

教師與學生共同探出：公理是判斷空間直線平行的依據；平行線的性質是具

有傳遞性.

學以致用（1）：

例2如圖2.1-17,空間四邊形儂刀中，E,F,G,〃分別是陰BC,CD,

力的中點.求證：四邊形皮詡是平行四邊形.

師生互動：（虛擬）教師先給學生觀察空間四邊

形的教具，分析與回顧平行四邊形定義，三角形中

位線的性質，平行線與等式的傳遞性，要證明四邊

形是平行四邊形，需要什么條件？請學生口述，教

師寫板書.

（板書）：證明：連結初，

,/陽是△板的中位線，

/.EH//BD,且阱為D,

2

同理，FG//BD,且除,BO,

2

...EH//FG,且E用FG,

...四邊形斯陽是平行四邊形.

更上一層樓，變式探究：在例2中，若加條件/用物，那么四邊形顏陽又是

什么圖形？

溫故而知新：”如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角

相等或互補”.空間中，結論是否成立？教師提供圖形，由學生在課后完成.

5.等角定理

相等

互補

完善體系：探究刻畫異面直線的位置關系，引入異面直線所成的角的概念.

6.異面直線所成角的定義

引入：由幻燈片閃爍異面直線AAi和BC,B.D,

和BC它們都是異面關系，但又有明顯的區別，可

以引入異面直線所成的角來刻畫這種區別。

（幻燈片）：如圖，已知兩異面直線a,b,空

間任取一點0,經過點0作直線優//a,b'//b,

把a'與b'所成的銳角或直角叫做異面直線a與6所

成的角（或稱夾角）.

特殊情形，若兩異面直線成直角，則稱兩異面

直線互相垂直，記作a_L"

bb'

0

教師與學生共同探討，得到結論：異面直線所成的角可以通過平移變換，把

異面直線成角化歸成相交直線成角.

學以致用（2）：（由幻燈給出）

例3如圖，已知正方體ABC。-A/CA中.

(1)哪些棱所在的直線與直線84是異面直線？

(2)求棱A4,和所成角;

(3)求AR和CG所成的角。

（虛擬互動）先由學生獨立思考，再讓學生舉手發言，教師作補充、訂正和結

論（按三維方向或三對面分類進行分析）.

課堂練習：

在例3中,

課后思考：

1.若a.a,b<^a,則直線a

2.如圖，則直線a和匕是異面］

3.若a-Lb,a±c,則匕〃c.

教科書第48頁練習

課堂小結

1.異面直線的定義:不同在任何一個平面內的兩條直線

’相交直線

2.空間兩直線的位置關系平行直線

異面直線

3.異面直線的畫法：平面襯托

4.公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行

5.等角定理：如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么它們相等或

互補

6.異面角的求法：一作（找）二說三求。

課后練習：

1.舉出你生活環境中異面直線的實例兩例；

2.完成教科書第48頁上練習；

3.第47頁探究問題：如圖2.1T8,觀察長方體

四處4BCD中，

（1）有沒有兩條棱所在的直線是互相垂直的異面

直線？

（2）如果兩條平行直線中的一條與另一條直線垂直，那么，另一條直線是否

也與這條直線垂直？

（3）垂直于同一直線的兩條直線是否垂直？

設計意圖：1.讓學生養成借助長方體模型的判斷問題的習慣；2.克服平面

內兩直線定勢思維的影響.

課后研究：

（用泡沫紙做成教具）圖2.1-15是一個正方體的展開圖，如果將它還原成

正方體，那么48,CD,EF,即這四條線段所在直線是異面直線的有一對.

（互動）：由一名學生上臺把（教具）展開圖還原成正方體，二名學生上臺畫

還原圖；教師與學生共同歸納規律：1.選取一個正對面，然后確定左右兩側面,

上下底面，最后定對面；2.這些線段都是面對角線.

板書設計.

空間中直線與直線的位置關系

‘相交直線'

共面直線

1.?平行直線,

異面直線：不同在任何一個平面內的兩條直線

2.公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行

3.異面直線的畫法

4.

例2證明：連結加，

防是△板的中位線，

/.EH//BD,且阱LBD,

2

同理，FG〃BD,月.F/BD,

2

，EH//FG,旦E卞FG,

四邊形明第是平行四邊形.

“空間中直線與直線的位置關系”教學設計說明

（1）本課數學內容的本質'地位'作用分析

本課數學內容是空間直線與直線的位置關系的分類，異面直線的定義、畫

法、成角定義，平行公理和等角定理。本課地位是體現公理化思想的基礎,

作用在空間線面平行（垂直）、面面平行（垂直）的轉化的基礎。設計以

長方體為載體，讓學生直觀認識空間直線的位置關系和異面直線成角的定

義，用空間四邊形的模型來應用平行公理。

（2）教學目標分析

了解空間兩直線的三種位置關系，理解異面直線的定義，掌握平行公理和

等角定理，掌握兩條異面直線成角的定義與垂直。

（3）教學問題診斷，應在具體說明本課內容的認知準備基礎上，分析學習新知

識中可能存在的困難

異面直線畫法與成角問題上學生的認知上存在誤區，可以借長方體模型突

破難點。

（4）本節課的教法特點以及預期效果分析

借助長方體模型，發現和感知新知，也利用模型鞏固新知，預期效果較好。

《球面距離》的教學設計說明

課題：球面距離

教材：上海市高級中學課本數學高三年級（上海教育出版社出版）

教師：上海市市西中學劉嵐

一.教學內容的地位、作用分析

球是我們在日常生活中經常見到的熟悉而特殊的一種旋轉體。在學生已經掌

握圓柱、圓錐的概念和性質后進一步探究球的相關性質，使學生擺脫旋轉體的母

線只能是線段的狹隘理解，也是對旋轉體知識體系的完善。

球面距離是在學生了解了球的有關概念及性質基礎上的一節內容，它既是

教材中關于球的最后一個知識點，也是立體幾何中繼“異面直線間的距離”、“點

到平面的距離”、“直線到平面的距離”、“平面到平面的距離”之后又一距離概

念,是高中階段研究的最后一種距離。區別于其他距離的是“球面距離”是一段

圓弧的長度。學習球面距離，有助于學生空間想象能力的培養，有助于學生思

維能力的訓練與提高。它不但能加深學生對球面及球的截面的理解，而且在求

其解過程中，可以幫助學生運用扇形、弧長、解三角形等眾多數學知識，并且

溝通了立體幾何中兩個重要的角（直線和平面所成的角、二面角）的概念，具有

實質的教學意義。另外，“球面距離”具有一定的實際應用意義。通過學習，使

學生認識到數學源于實踐又作用于實踐，同時數學中的球面距離與地理中的經

緯度等知識的綜合運用，體現二期課改中學科整合的思想。

二.教學目標和重點、難點分析

“球面距離”是上海市高中數學教材中高三年級的教學內容，《上海市中小

學數學課程標準》對“球面距離”的教學要求是：知道球面距離和經度、緯度等

概念，進一步認識數學和實際的聯系。結合課程標準，我將這節課的教學目標和

重點難點定為：

教學目標：1.知道球面距離的概念，會在簡單情形下計算兩點間的球面距離。

2.體驗將空間中的計算轉換為平面上的問題的求解方法。

3.會求地球上同經度和同緯度兩點間的球面距離，感受數學知識在

實際問題中的應用價值。

教學重點：會計算簡單情形下球面上兩點間的球面距離。

教學難點：地球上同緯度的兩點間的球面距離的求法。

三.教學問題診斷

這節課的授課對象是上海市示范性高中的學生，他們有較好的學習習慣，

有一定的口頭和書面表達能力。學生已經知道球的相關概念、球的截面的性質、

球大圓的定義，具備了理解球面距離概念的基礎，并能運用相關三角知識解三

角形。

本節課的教學難點是地球上同緯度的兩點間的球面距離的求法。對教學難

點的突破我采取了三個策略：

1.教材在引出球面距離的概念后，直接進入了地球上同經度、同緯度兩點間的

球面距離的求法（例1、例2）,從概念到應用之間的跨度較大。為此，我設計

了一組過渡性的練習，為難點的突破作鋪墊。

2.學生在高一地理課上已初步了解經度和緯度的定義，但由于時間相隔較長，

可能已生疏。所以在講解例題前我運用教具和多媒體演示對地球經緯度知識作

了簡單回顧，以喚起學生的記憶。

3.在例題2的講解中通過師生、生生互動利用分析法引導學生尋找解決問題的

途徑。

另外，由于球面不能展開成平面圖形，教學中學生在認知上可能產生的困

難及其應對策略是：

1.對球面距離概念的理解一一按照課程標準的規定，本節內容對球面距離概念

的引入采用直接告知的做法，不要求對“通過球面上兩點的大圓劣弧是這兩點

在球面上的最短路徑”作出證明或說明。并且在給出概念后我設置了一組相關

的辨析題來強化概念中的“大圓”和“劣弧”等關鍵詞，同時在作業中加強訓

練。

2.球面距離計算公式的推導一一通過教師設問，以問題推進的方式引導學生得

到公式。

3.球小圓上兩點間線段長度的計算一一課本在例2中求AB的長度是把它投影到

赤道平面上，但實施過程中AB的長也可以利用緯度圈這個小圓來解決，所以我

預設了兩種途徑。同時在求AB長的方法上，我也預設了區別于教材的另一種解

法，即通過解直角三角形求得。

四.教學過程

教學過程設計說明

一.引入：

教師演示圓柱、棱柱表面上兩點間的最短路徑；

通過實驗和類比使學生感

9□-e受和了解球面距離的概念。

由學生動手探索球面上兩點間的最短路徑。

二.新知構建由于對此定義合理性的證

1.球面距離定義的給出：明教材中沒有提及，課程標準

可以證明，通過球面上兩點的大圓劣弧是這兩點在球面中沒有要求，也不是學生在高

上的最短路徑，我們把它的長度定義為兩點間的球面距離。中時必須掌握的能力，故沒有

由于證明“通過球面上兩點的大圓劣弧是這兩點在球面納入這節課的教學目標。這里

上的最短路徑”需要更多數學知識，學生的基礎不夠，所以采取和教材中相同的描述即

課本表述為“可以證明”但沒有給出證明。“可以證明”的處理方式，對

于感興趣或者學有余力的學

2.強化定義，落實關鍵詞：生，可在課后進一步探討。

練習：判斷圖中聯結A、B兩點的紅色曲線的長度是否A、

B間的球面距離？加深對定義中的關鍵詞：

“大圓”、“劣弧”的理解。

$B三

AA

3.球面上兩點的球面距離具有唯一性

在定義中指出球面距離是大圓上一段劣弧的長度，所以

該定義有沒有涉及A、B、。三點共線的情況？

在不涉及A、B、0三點共線的情況下，通過A、B分析教材邊欄中提出的問題。

兩點的球的大圓是否唯一？

大圓上A、B間的劣弧是否唯一？

所以兩點的球面距離具有唯一性。

4.球面距離的計算：

復習扇形的弧長公式，得到兩點間球面距離的計算方法：

s=aR（其中a為NAOB的弧度，R為球半徑）

練習：

1.已知球。的半徑為R,A、B是球面上兩點。

NAOB=f,求A、B兩點的球面距離。

通過一組練習使學生初步

2.已知球0的半徑為R,A、B是球面上

掌握球面距離的計算方法，并

兩點。AB=R,求A、B兩點的球面距離。

為之后的例題解答進行鋪墊。

3.已知球。的半徑為R=4V2,A、B是球

面上兩點。A、B所在的小圓0,的半徑r=4,

ZA0'B=-,求A、B兩點的球面距離。

2

三.應用：（由玉樹地震發生后的兩條新聞報道引出例題）

1.例1：己知地球的半徑約為6371千米，玉門的位置約為東選擇與課本例題要求一致

經97°北緯40°；玉樹的位置約為東經97°北緯33。，求又較貼近現實生活的例題，將

兩地之間的球面距離。教材中的例題作為課后作業安

（結果精確到1千米）排。

a）從數學角度對經度和緯度知識作簡單回顧。由于學生高一時已經學過

相關地理知識，故這里只做簡

3.例2：已知地球的半徑約為6371千米，西寧的位置約為東單回顧，喚起學生記憶。

經101°北緯36°2"；濟南的位置約為東經117°,北緯

36024,。求兩地之間的球面距離。（結果精確到1千米）

（思考〉若在北緯36°24,緯線上另有一點C的位置為西經

99°北緯36°24,,則在求西寧和C點之間的球面距離時如何

計算ZAOC?

四.小結

這節課學習了兩點間的球面距離，即通過球面上A、B兩點

的大圓劣弧的長度。

我們把空間中的邊、角計算轉換為平面上的問題，在扇形

AOB中求出NAOB的大小，并利用弧長公式求得兩點的球面距離。

并且我們運用數學知識來解決地理中的實際應用問題，計算了

地球表面同經度或同緯度的兩點間的球面距離。

五.作業布置

1.在北緯60°緯線上有甲、乙兩地，他們在緯線上的弧長為

—,R是地球半徑，求這兩點的球面距離。

2

2.已知上海的位置約為東經121。，北緯31°；大連的位置約

為東經121°,北緯39°,試求上海和大連之間的球面距離。

（結果精確到1千米）

b）已知北京的位置約為東經116°,北緯40°；紐約的位置約

為西經74°,北緯40°,

試求北京和紐約之間的球面距離。（結果精確到1千米）

4*.球。半徑為1,點A、B、C在球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，

E、F分別為大圓圓弧AB與AC的中點，求點E、F在該球上的

球面距離。

5★.思考題：已知上海的位置約為東經121°,北緯31°；巴西

里約熱內盧的位置約為西經43°,南緯23°；試求上海和

里約熱內盧之間的球面距離。（結果精確到1千米）

五.教學設計說明

學生在以前的學習中經歷過將“平面上兩點間的最短路徑是連接這兩點的線

段”這一概念直接引入的過程，所以我設計了通過實驗和類比來了解球面距離概

念的環節，并借用多媒體技術，使球面距離更直觀化，讓學生更好地