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文檔簡介
4.2指數函數的圖象和性質(第一課時)學習目標1.運用描點法畫指數函數的圖象,運用圖象來研究指數函數的性質,達到直觀想象和數學抽象核心素養學業質量水平一的層次。2.結合實例,體會從一般到特殊研究問題的方法,達到邏輯推理核心素養學業質量水平二的層次。3.能通過數形結合,解決定點、單調性等問題,達到直觀想象、邏輯推理核心素養學業質量水平二的層次。指數函數圖象和性質的探索與概括的過程。學習重難點學習重點學習難點指數函數的定義、圖象、性質。追問1:判斷這兩個函數分別是什么類型的函數(一)創設情境、引出課題活動1:把一張普通的A4紙的面積記為1,沿其中線對折,對折的次數不斷增加,其層數和面積與對折次數有什么關系呢?假設折紙x次,能不能分別列出層數和紙張面積作為變量y與折紙次數x的相應式子?指數函數
指數函數的定義
一般地,函數叫做指數函數,其中x叫自變量,函數的定義域是實數集R.次數12345678910...x層數
面積
追問2:如何來定義指數函數?隨機點名
問題1:類比冪函數的學習過程,你能說說研究函數的一般思路是什么嗎?二、自主合作,質疑提問
實際生活中很多問題都是通過建立函數模型來解決,前面我們已經學習了冪函數,指數函數的概念.
追問1:那么得到函數的圖象一般用什么方法?
追問2:我們研究函數的性質,通常通過函數圖象來研究函數的哪幾個性質?
1.背景2.概念3.函數圖象4.函數性質5.函數的應用
1.列表2.描點3.連線
1.定義域2.值域3.單調性4.奇偶性等
(二)
探索指數函數的圖象-2-1.5-1-0.500.511.520.350.250.71422.8311.410.5一、列表二、描點、連線
活動2:
請同學們用描點法對照表格作出指數函數的圖象。計時器
(三)
探索指數函數的圖象和性質由于點(x,y)與點(-x,y)關于y軸對稱追問:觀察這兩個圖象,分別還有哪些性質?有什么相同點和不同點嗎?
由此可知,底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于y軸對稱.根據這種對稱性,就可以利用一個函數的圖象,畫出另一個函數的圖象,比如利用函數的圖象,畫出的圖象(圖4.2-5).函數圖像
性質定義域值域
奇偶性
定點
單調性在R上是
函數在R上是
函數
(0,1)(0,+∞)R
非奇非偶減增
(三)
探索指數函數的圖象和性質活動3:為了得到指數函數的性質,只有一組函數圖象,不便于觀察。請在在同一直角坐標系下,快速作出幾個底數不同的指數函數的圖象,共同總結函數
的性質
。追問:觀察這幾個具體的函數圖象的位置、公共點和變化趨勢,它們有哪些共性?圖象的共同特征:當0<a<1時,圖象自左至右逐漸下降:當a>1時,圖象自左至右逐漸上升.圖象可向左、右兩邊無限延伸:圖象都在x軸上方:都經過坐標為(0,1)的點選取底數a的若干不同的取值,我們發現指數函數的圖象按a的取值,可分為0<a<l和a>1兩類那么,指數函數的性質,我們也可以分為0<a<1和a>1兩種情況來進行研究.分類0<a<1
a>1圖像
性質定義域
值域
奇偶性定點
單調性在R上是
函數在R上是
函數x,y取值情況活動4:分組討論,根據圖象概括指數函數的圖象和性質,完成下列表格。
(三)
探索指數函數的圖像和性質
(0,1)(0,+∞)減增R
非奇非偶思考:隨著底數a的變化,你們還能觀察出指數函數圖象有什么規律嗎?1.指數函數在y軸右側的第一象限內圖象中底數越大圖象越高.簡稱:底大圖高.2.①當a>1且x>0時,y>1;3.指數函數圖像下端與x軸無限接近,但永不相交.②當a>1且x<0時,0<y<1;③當0<a<1且x>0時,0<y<1;④當0<a<1且x<0時,y>1.(四)知識應用例1比較下列各題中兩數值的大小1、①
;
②1.72.5,1.73
而2.5<3
所以1.72.5<1.73(四)知識應用
同底比較大小2、
1.70.3,0.93.11、0.60.4,0.70.4不同底但同指數底不同,指數也不同例1比較下列各題中兩數值的大小解:2、①因為在y軸右側函數的圖象在函數的圖象的下方
∴0.60.4<0.70.4方法總結:對同指數冪大小的比較用的是指數函數圖象的變化規律,必須要明確所對應的兩個函數圖象的位置關系;也可以用冪函數的單調性比較大小(四)知識應用(四)知識應用解:xyo1231(2)利用函數圖象:f(x)=1.7xg(x)=0.9x...0.33.11.70.30.93.1.由圖象我們可以看出,1.70.3>1,0<0.93.1<1所以1.70.3>0.93.1解:方法總結:底不同,指數也不同——利用函數圖像或中間變量進行比較2、
1.70.3,0.93.11、0.60.4,0.70.4例1比較下列各題中兩數值的大小
利用函數圖像或引入中間變量,如“1”判斷大小.
思考:根據我們剛才的經歷,你能說說如何比較兩個指數冪的大小嗎?(1)底數相同,指數不同(或可化相同)時:利用指數函數的單調性進行比較;(2)底數不同,指數相同(或可化相同)時:方法一:利用不同底的指數函數圖象的高低來比較;(3)底數和指數都不相同時:返回方法二:利用冪函數的單調性判斷大小.16例3.如圖,某城市人口呈指數增長.(1)根據圖象,估計該城市人口每翻一番所需的時間(倍增期);(2)該城市人口從80萬人開始,經過20年會增長到多少萬人?解:(1)由圖象可知經過20年,該城市人口為10萬人,經過40年,該城市人口為20萬人,經過60年,該城市人口為40萬人.∴該城市人口倍增期約為20年.(2)該城市人口倍增期約為20年
∴經過20年該城市人口會增長1倍,即160萬人.思考:你知道該城市開始有多少人嗎?5萬人練習(五)歸納總結知識升華1.通過這節課的學習,你學到了那些知識?2.你掌握了那些學習方法?1、指數函數概念:2、指數函數的圖像與性質;
函數y=ax(a
0,且a
1)叫做指數函數,其中x是自變量.函數的定義域是R◆方法指導:
利用函數圖像研究函數性質是一種直觀而形象的方法,記憶指數函數性質時可以聯想它的圖像。3、指數式比較大小的方法:構造函數法:同底不同指、同指不同
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