2023-2024學年滬科新版數學七年級下冊章節培優復習知識講練第8章整式乘法與因式分解（思維導圖+知識梳理+十九大重點考向舉一反三講練）1.掌握正整數冪的運算性質，并能運用它們熟練地進行運算；掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算；2.會推導乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算；3.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算；4.理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運算，掌握提公因式法和公式法（直接運用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解.知識點01：冪的運算【高頻考點精講】1.同底數冪的乘法：(為正整數)；同底數冪相乘，底數不變，指數相加.2.冪的乘方：(為正整數)；冪的乘方，底數不變，指數相乘.3.積的乘方：(為正整數)；積的乘方，等于各因數乘方的積.4.同底數冪的除法：(≠0,為正整數，并且).同底數冪相除，底數不變，指數相減.5.零指數冪：即任何不等于零的數的零次方等于1.6.負指數冪：(，為正整數).任何不等于0的數的－次冪，等于這個數的次冪的倒數.【易錯點剖析】公式中的字母可以表示數，也可以表示單項式，還可以表示多項式；靈活地雙向應用運算性質，使運算更加方便、簡潔.知識點02：整式的乘法【高頻考點精講】1.單項式乘以單項式單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.2.單項式乘以多項式單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即(都是單項式).3.多項式乘以多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.【易錯點剖析】運算時，要注意積的符號，多項式中的每一項前面的“＋”“－”號是性質符號，單項式乘以多項式各項的結果，要用“＋”連結，最后寫成省略加號的代數和的形式．根據多項式的乘法，能得出一個應用比較廣泛的公式：.知識點03：乘法公式【高頻考點精講】1.平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差. 【易錯點剖析】在這里，既可以是具體數字，也可以是單項式或多項式.平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.2.完全平方公式：；兩數和(差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍.【易錯點剖析】公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.知識點04：因式分解【高頻考點精講】把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項法等.【易錯點剖析】落實好方法的綜合運用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項平方或立方，三項完全或十字；四項以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復試，最后須是連乘式；因式分解要徹底，一次一次又一次.重點考向01：科學記數法—表示較小的數重點考向02：同底數冪的乘法重點考向03：冪的乘方與積的乘方重點考向04：同底數冪的除法重點考向05：完全平方公式重點考向06：完全平方公式的幾何背景重點考向07：完全平方式重點考向08：平方差公式重點考向09：平方差公式的幾何背景重點考向10：整式的混合運算—化簡求值重點考向11：因式分解-提公因式法重點考向12：因式分解-運用公式法重點考向13：提公因式法與公式法的綜合運用重點考向14：因式分解-分組分解法重點考向15：因式分解-十字相乘法等重點考向16：實數范圍內分解因式重點考向17：因式分解的應用重點考向18：零指數冪重點考向19：負整數指數冪重點考向01：科學記數法—表示較小的數【典例精講】（2023秋?咸安區期末）嫦娥五號返回器攜帶月球樣品安全著陸，標志著中國航天業向前又邁出了一大步．嫦娥五號返回器在接近大氣層時，飛行1m大約需要0.0000893s．數據0.0000893用科學記數法表示為（）A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣7【思路點撥】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【規范解答】解：0.0000893＝8.93×10﹣5，故選：A．【考點評析】此題考查科學記數法，會確定n的值是解題的關鍵．【變式訓練1-1】（2023秋?隴縣期末）石墨烯是目前世界上最薄卻是最堅硬的納米材料，同時也是導電性最好的材料，其理論厚度僅0.00000034毫米，將0.00000034用科學記數法表示應為3.4×10﹣7．【思路點撥】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【規范解答】解：0.00000034＝3.4×10﹣7．故答案為：3.4×10﹣7．【考點評析】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【變式訓練1-2】．（2023春?和平區校級月考）科學家發現一種病毒的直徑為0.000104毫米，用科學記數法表示為1.04×10﹣4毫米．【思路點撥】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【規范解答】解：0.000104＝1.04×10﹣4，故答案為：1.04×10﹣4．【考點評析】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．重點考向02：同底數冪的乘法【典例精講】（2024?金水區校級開學）下列四個算式：①a6?a6＝2a6；②m3+m2＝m5；③x2?x?x8＝x10；④y2+y2＝y4．其中計算正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【思路點撥】根據同底數冪的乘法：同底數冪的乘法底數不變指數相加，可得答案．【規范解答】解：①a6?a6＝2a6，底數不變指數相加，故①錯誤；②m3+m2＝m5，不是同底數冪的乘法指數不能相加，故②錯誤；③x2?x?x8＝x11，底數不變指數相加，故③正確；④y2+y2＝y4，同類項相加，y2+y2＝2y2，故④錯誤；所以計算正確的有：1個．故選：B．【考點評析】本題考查了同底數冪的乘法，同底數冪的乘法底數不變指數相加．【變式訓練2-1】（2023秋?道縣期末）已知3m＝8，3n＝2，則3m+n＝16．【思路點撥】逆運用同底數冪相乘，底數不變指數相加進行計算即可得解．【規范解答】解：∵3m＝8，3n＝2，∴3m+n＝3m?3n＝8×2＝16．故答案為：16．【考點評析】本題考查了同底數冪的乘法，熟記同底數冪相乘，底數不變指數相加并靈活運用是解題的關鍵．【變式訓練2-2】（2023春?茂名期末）閱讀下列材料：若a，b兩數滿足ax＝b，則稱x為b的“對數”，記作（a，b）＝x，如42＝16，所以（4，16）＝2．請根據以上規定，回答下列問題：（1）根據上述規定要求，請完成填空：（3，27）＝3，（﹣2，16）＝4，（﹣，﹣）＝3．（2）計算（3，2）+（3，4）＝（3，8），并寫出計算過程；（3）直接寫出結果：①（5，10）﹣（5，2）＝1；②（10，4）×（2，10）＝2．【思路點撥】（1）根據題目定義，運用乘方運算求解；（2）運用同底數冪的乘法運算求解；（3）運用同底數冪的除法，冪的乘方運算求解．【規范解答】解：（1）∵33＝27，（﹣2）4＝16，，∴（3，27）＝3，（﹣2，16）＝4，．故答案為：3，4，．（2）設（3，2）＝m，（3，4）＝n，則3m＝2，3n＝4，∴3m×3n＝3m+n＝2×4＝8，∴m+n＝（3，8），∴（3，2）+（3，4）＝（3，8）．故答案為：3，8．（3）①設（5，10）＝p，（5，2）＝q，則5p＝10，5q＝2，∴，∴p﹣q＝1，∴（5，10）﹣（5，2）＝1；故答案為：1．②設（10，4）＝h，（2，10）＝k，則10h＝4，2k＝10，∴（2k）h＝4，∴2kh＝4，∴kh＝2，∴（10，4）×（2，10）＝2．故答案為：2．【考點評析】本題考查同底數冪的乘法，除法，冪的乘方運算法則，掌握相關法則是解題的關鍵．重點考向03：冪的乘方與積的乘方【典例精講】（2024?雁塔區校級開學）已知a＝167，b＝89，c＝413，則a，b，c的大小關系是a＞b＞c．【思路點撥】先利用冪的乘方法則，把已知條件中的三個冪全部化成底數為2的冪，然后比較指數的大小可得答案．【規范解答】解：167＝（24）7＝228，89＝（23）9＝227，413＝（22）13＝226，∵28＞27＞26，∴228＞227＞226，即167＞89＞413，∵a＝167，b＝89，c＝413，∴a＞b＞c，∴a，b，c的大小關系是：a＞b＞c，故答案為：a＞b＞c．【考點評析】本題主要考查了有理數的大小比較，解題關鍵是熟練掌握逆用冪的乘方法則．【變式訓練3-1】（2023春?江都區期中）求值：（1）已知2x+5y+3＝0，求4x?32y的值；（2）已知3x+1﹣3x＝54，求x的值．【思路點撥】（1）先求出2x+5y＝﹣3，再根據4x?32y＝22x+5y進行求解即可；（2）由3x+1﹣3x＝54可得3?3x﹣3x＝54，進而得到3x＝27＝33，則x＝3．【規范解答】解：（1）∵2x+5y+3＝0，∴2x+5y＝﹣3，∴4x?32y＝（22）x?（25）y＝22x?25y＝22x+5y＝2﹣3＝；（2）∵3x+1﹣3x＝54，∴3?3x﹣3x＝54，∴2?3x＝54，∴3x＝27，∴x＝3．【考點評析】本題主要考查了同底數冪乘法和同底數冪乘法的逆運算，冪的乘方和冪的乘方的逆運算，負整數指數冪，熟知相關計算法則是解題的關鍵．【變式訓練3-2】（2023秋?二道區校級月考）比較下列各題中冪的大小：（1）比較255，344，533，622這4個數的大小關系；（2）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比較a、b、c的大小關系；（3）已知，，比較P，Q的大小關系．【思路點撥】（1）根據冪的乘方的逆用進行轉換得255＝3211、344＝8111、533＝12511，622＝3611，比較即可；（2）根據冪的乘方的逆用進行轉換得a＝3124、b＝3123、c＝3122，比較即可；（3）依據積的乘方公式及同底數的冪的除法化簡可得即可得結果．【規范解答】解：（1）∵255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，533＝（53）11＝12511，622＝（62）11＝3611，∵3211＜3611＜8111＜12511，∴255＜622＜344＜533；（2）∵a＝8131＝（34）31＝3124，b＝2741＝（33）41＝3123，c＝961＝（32）61＝3122，∵3122＜3123＜3124，∴961＜2741＜8131，∴c＜b＜a；（3）∵，∴P＝Q．【考點評析】此題考查了冪的乘方的逆用，積的乘方以及同底數冪的除法；解題的關鍵是利用相關公式將底數或指數統一．重點考向04：同底數冪的除法【典例精講】（2023春?欒城區期中）若3m＝5，3n＝4，則32m﹣n等于（）A． B．6 C．21 D．20【思路點撥】先根據同底數冪的除法和冪的乘方的性質的逆用，把23m﹣2n轉化為用已知條件表示，然后代入數據計算即可．【規范解答】解：∵3m＝5，3n＝4，∴32m﹣n＝（3m）2÷3n＝25÷4＝．故選：A．【考點評析】此題主要考查同底數冪的除法和冪的乘方的性質的逆用，熟練掌握運算性質并靈活運用是解題的關鍵．【變式訓練4-1】（2023?寧波模擬）下列計算正確的是（）A．x2+x2＝2x4 B．x8÷x2＝x4 C．（x3）2＝x5 D．x3?x2＝x5【思路點撥】結合選項分別進行同底數冪的乘除法、合并同類項、冪的乘方和積的乘方的運算，然后選擇正確選項．【規范解答】解：A、x2和x2是同類項，能合并x2+x2＝2x2，故本選項錯誤；B、x8÷x2＝x6，原式計算錯誤，故本選項錯誤；C、（x3）2＝x6，原式計算錯誤，故本選項錯誤；D、x3?x2＝x5，計算正確，故本選項正確．故選：D．【考點評析】本題考查了同底數冪的乘除法、合并同類項、冪的乘方和積的乘方等知識，掌握運算法則是解答本題的關鍵．【變式訓練4-2】（2023春?沈河區校級月考）直接寫出計算結果：（ax﹣1）2?ax+1÷a2x﹣1＝ax．【思路點撥】運用冪的乘方法則，同底數冪的乘除法法則進行計算即可．【規范解答】解：（ax﹣1）2?ax+1÷a2x﹣1＝a2x﹣2?ax+1÷a2x﹣1＝a2x﹣2+x+1﹣（2x﹣1）＝ax．故答案為：ax．【考點評析】本題考查同底數冪的乘除法，冪的乘方，熟練掌握各運算法則是解題關鍵．?重點考向05：完全平方公式【典例精講】（2023秋?應城市期末）若x﹣y＝3，xy＝1，則x2+y2＝11．【思路點撥】根據x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，分別代入解答即可．【規范解答】解：因為x﹣y＝3，xy＝1，則x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9+2＝11，故答案為：11【考點評析】此題考查完全平方公式問題，關鍵是根據x2+y2＝（x﹣y）2+2xy代入解答．【變式訓練5-1】（2023秋?浦東新區期末）若|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，則x2+y2＝10．【思路點撥】利用非負數的性質求出x+y與xy的值，利用完全平方公式變形即可求出所求式子的值．【規范解答】解：∵|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，∴x+y﹣4＝0，xy﹣3＝0，即x+y＝4，xy＝3，則x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10．故答案為：10．【考點評析】此題考查了完全平方公式，以及非負數的性質，熟練掌握公式是解本題的關鍵．【變式訓練5-2】（2023秋?安順期末）閱讀下列材料若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．設9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F分別是AD、DC上的點，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF為邊作正方形．①MF＝x﹣1，DF＝x﹣3；（用含x的式子表示）②求陰影部分的面積．【思路點撥】（1）設（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根據已知等式確定出所求即可；（2）①由正方形ABCD邊長為x，即可表示出MF與DF；②根據矩形的面積公式以及正方形的面積公式以及完全平方公式求解即可．【規范解答】解：（1）設5﹣x＝a，x﹣2＝b，則（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，故答案為：x﹣1；x﹣3；②（x﹣1）（x﹣3）＝48，陰影部分的面積＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．設x﹣1＝a，x﹣3＝b，則（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，∴a+b＝±14，又∵a+b＞0，∴a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即陰影部分的面積是28．【考點評析】本題考查了完全平方公式的幾何背景．應從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義；主要圍繞圖形面積展開分析．重點考向06：完全平方公式的幾何背景【典例精講】（2023秋?東城區期末）如圖，正方形ABCD的邊長為x，其中AI＝5，JC＝3，兩個陰影部分都是正方形且面積和為60，則重疊部分FJDI的面積為（）A．28 B．29 C．30 D．31【思路點撥】利用正方形和長方形的性質，將ID與DJ的關系表示出來，再利用陰影部分面積和為60即可求出ID與DJ，從而得到長方形FJDI的長和寬，即可求解．【規范解答】解：設ID＝y，DJ＝z，∵兩個陰影部分都是正方形，∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD，∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ，∴AI+ID＝CJ+DJ，∵AI＝5，CJ＝3，∴5+y＝3+z，∴y＝z﹣2，：∵陰影部分面積和為60，∴y2+z2＝60，方法1：將y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得：（z﹣2）2+z2＝60，解得：z＝1+或z＝1﹣（舍），∴y＝z﹣2＝﹣1，∴ID＝﹣1，DJ＝1+，∴S長方形FJDI＝ID?DJ＝（﹣1）×（1+）＝28；方法2：∵z﹣y＝2，所以（z﹣y）2＝4，∴y2+z2﹣2yz＝4，∴60﹣2yz＝4，yz＝28，∴S長方形FJDI＝ID?DJ＝28．故選：A．【考點評析】本題考查完全平方公式的幾何背景，解題的關鍵是利用圖形面積之間的關系求解，熟練進行公式之間的轉化變形．【變式訓練6-1】（2023秋?光山縣期末）如圖，兩個正方形的邊長分別為a，b，若a+b＝10，ab＝20，則四邊形ABCD的面積為20．【思路點撥】分析圖形可得，四邊形ABCD的面積為兩個正方形面積和減去兩個三角形的面積，據此計算可得關系式；代入a+b＝10，ab＝20，計算可得答案．【規范解答】解：根據題意可得，四邊形ABCD的面積＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝（a2+b2+2ab﹣3ab）＝[（a+b）2﹣3ab]；代入a+b＝10，ab＝20，可得：四邊形ABCD的面積＝（10×10﹣20×3）÷2＝20．故答案為：20．【考點評析】此題考查整式的混合運算，關鍵是利用面積的和差關系求出四邊形的面積，但在計算時要把未知的代數式轉化成已知，代入求值．【變式訓練6-2】（2023秋?青銅峽市期末）動手操作：如圖①是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中的虛線剪開分成四個大小相等的長方形，然后按照圖②所示拼成一個正方形．提出問題：（1）觀察圖②，請用兩種不同的方法表示陰影部分的面積：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；（2）請寫出三個代數式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的一個等量關系：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；問題解決：根據上述（2）中得到的等量關系，解決下列問題：已知x+y＝8，xy＝7，求x﹣y的值．【思路點撥】（1）第一種方法為：大正方形面積﹣4個小長方形面積，第二種表示方法為：陰影部分正方形的面積；（2）可得等量關系為：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；利用（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2可求解．【規范解答】解：（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2（2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2問題解決：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy∵x+y＝8，xy＝7．∴（x﹣y）2＝64﹣28＝36．∴x﹣y＝±6故答案為：（1）（a﹣b）2；（a+b）2﹣4ab；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．【考點評析】本題考查了完全平方公式的幾何背景．解決問題的關鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關系．本題更需注意要根據所找到的規律做題．重點考向07：完全平方式【典例精講】（2023秋?江北區期末）若4x2+20x+a2是一個完全平方式，則a的值是±5．【思路點撥】先根據乘積二倍項確定出這兩個數是2x和5，再根據完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，求出a的值即可．【規范解答】解：∵20x＝2×5×2x，∴這兩個數是2x、5，∴a2＝25，即a＝±5．故答案為：±5．【考點評析】本題是完全平方公式的應用，兩數的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．此題解題的關鍵是利用乘積項來確定這兩個數．【變式訓練7-1】（2023秋?衡山縣期末）數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數學知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們進行推理，獲得結論．初中數學里的一些代數恒等式，很多都可以借助幾何圖形進行直觀推導和解釋．請結合相關知識，解答下列問題：（1）如圖1是由4個大小相同，長為a、寬為b的長方形圍成的邊長為（a+b）的正方形，用含字母a，b的代數式表示出陰影部分的面積．①通過計算陰影部分正方形的邊長，求陰影部分的面積，可列代數式：（a﹣b2）；②通過用較大正方形的面積減去4個小長方形的面積，求陰影部分的面積，可列代數式：a2﹣2ab+b2；（2）根據圖1中的陰影部分的面積關系寫出一個代數恒等式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（3）若a+b＝6，ab＝8，求圖2中陰影部分的面積．【思路點撥】（1）①根據陰影部分正方形的邊長＝長方形的長﹣長方形的寬，求出陰影部分正方形的邊長，進而求出面積；②根據較大正方形的邊長為a+b，陰影部分正方形面積＝較大正方形的面積減去4個小長方形的面積，求出答案；（2）由①②的計算結果可得答案；（3）根據圖2中陰影部分的面積＝大正方形的面積﹣正方形周圍3個直角三角形的面積，算出陰影部分的面積，再把已知條件整體代入即可．【規范解答】解：（1）①由圖形可知：陰影部分正方形的邊長＝長方形的長﹣長方形的寬＝a﹣b，∴面積為（a﹣b）2，故答案為：（a﹣b）2；②∵較大正方形的邊長為a+b，陰影部分正方形面積＝較大正方形的面積減去4個小長方形的面積，∴陰影部分正方形面積＝（a+b）2﹣4ab＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2；故答案為：a2﹣2ab+b2；（2）根據圖1中的陰影部分的面積關系可以寫出一個代數恒等式為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（3）∵圖2中陰影部分的面積＝大正方形的面積﹣正方形周圍3個直角三角形的面積，∴圖2中陰影部分的面積＝＝＝＝＝18﹣4＝14．【考點評析】本題主要考查了整式的混合運算，解題關鍵是熟練掌握應用乘法公式．【變式訓練7-2】（2023秋?鯉城區校級期中）乘法公式的探究及應用：數學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．（1）請用兩種不同的方法表示圖2大正方形的面積．方法1（a+b）2；方法2a2+b2+2ab．（2）觀察圖2，請你寫出下列三個代數式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的數量關系．（3）根據（2）題中的等量關系，解決如下問題：①已知：a+b＝5，a2+b2＝21，求ab的值；②已知：（2023﹣a）2+（a﹣2020）2＝10，求（2023﹣a）（a﹣2020）的值．【思路點撥】（1）方法1，根據邊長為（a+b），求正方形面積，方法2，根據大正方形等于2個小正方形的面積加上2個長方形的面積；（2）由（1）可知，2種方法所求的面積相等，即可求解；（3）①由（2）的結論，代入數值進行計算即可求解；②設2023﹣a＝x，a﹣2020＝y，則x+y＝3，通過換元，利用（2）的結論進行計算即可求解．【規范解答】解：（1）方法1：大正方形的面積S＝（a+b）2；方法2：大正方形的面積S＝a2+b2+2ab，故答案為：（a+b）2，a2+b2+2ab；（2）由（1）可知（a+b）2＝a2+2ab+b2；（3）①∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，又∵a2+b2＝21，∴ab＝2．②設2023﹣a＝x，a﹣2020＝y，則x+y＝3，∵（2023﹣a）2+（a﹣2020）2＝10，∴x2+y2＝10，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴，即．故答案為：（1）（a+b）2，a2+b2+2ab．【考點評析】本題考查了完全平方公式與圖形面積，根據完全平方公式變形計算，掌握完全平方公式是解題的關鍵．重點考向08：平方差公式【典例精講】（2023春?婁星區校級期中）計算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）...（264+1），結果是（）A．264﹣1 B．264 C．232﹣1 D．2128﹣1【思路點撥】添一個（2﹣1），從而和（2+1）湊成平方差，然后再進行計算即可．【規范解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）???（264+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）???（264+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）???（264+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）???（264+1）＝（28﹣1）（28+1）???（264+1）＝（264﹣1）（264+1）＝2128﹣1，故選：D．【考點評析】本題考查了平方差公式的應用，添項是解決此類問題的關鍵．【變式訓練8-1】（2024?雁塔區校級開學）計算：（1）；（2）2042﹣198×202．【思路點撥】（1）根據實數整數冪的性質和逆用積的乘方法則先算乘方，再算乘法，最后算加減即可；（2）先把204寫成200+4，198寫成200﹣2，202寫成200+2的形式，然后利用完全平方公式和平方差公式進行計算即可．【規范解答】解：（1）原式＝＝＝＝＝＝；（2）原式＝（200+4）2﹣（200﹣2）（200+2）＝2002+2×4×200+16﹣2002+4＝2002﹣2002+1600+16+4＝1620．【考點評析】本題主要考查了實數的有關運算，解題關鍵是熟練掌握實數整數冪的性質、積的乘方法則和完全平方公式與平方差公式．【變式訓練8-2】（2023秋?德惠市校級期末）問題1閱讀例題的解答過程，并解答（1）（2）例：用簡便方法計算195×205．解：195×205＝（200﹣5）（200+5）①＝2002﹣52②＝39975（1）例題求解過程中，第②步變形依據是平方差公式；（2）用簡便方法計算：9×11×101．【思路點撥】（1）平方差公式；（2）轉化成（100+1）×（100﹣1），根據平方差公式展開，即可求出答案．【規范解答】解：（1）第②步變形依據是平方差公式；故答案為：平方差公式；（2）9×11×101＝（10﹣1）（10+1）×101＝99×101＝（100﹣1）（100+1）＝10000﹣1＝9999．【考點評析】本題考查了平方差公式的應用，關鍵是把原式轉化成1002﹣1．重點考向09：平方差公式的幾何背景【典例精講】（2023秋?清原縣期末）已知正方形ABCD的邊長為a，正方形FGCH的邊長為b，長方形ABGE和EFHD為陰影部分，將圖1中的長方形ABGE和EFHD剪下來，拼成圖2所示的長方形，比較圖2與圖1的陰影部分的面積，可得等式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab【思路點撥】圖1陰影部分的面積等于正方形ABCD的面積減去正方形FGCH的面積，圖2陰影部分的面積等于AH乘以AE，根據圖1圖2陰影部分的面積相等列等式．【規范解答】解：由圖1得：正方形ABCD的面積是a2，正方形FGCH的面積是b2，∴陰影部分的面積是a2﹣b2，由圖2得：AH＝AB+FH＝a+b，AE＝AD﹣DE＝a﹣b，∴長方形AHDE的面積即陰影部分的面積是（a+b）（a?b），∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故選：A．【考點評析】此題考查了平方差公式與幾何圖形，平方差公式的推導，解題的關鍵是數形結合用代數式分別表示出圖1和圖2中陰影部分面積．【變式訓練9-1】（2023秋?鳳山縣期末）（1）如圖1，若大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，則陰影部分的面積是a2﹣b2；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個長方形，則它的長為a+b；寬為a﹣b；面積為（a+b）（a﹣b）．（2）由（1）可以得到一個公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（3）利用你得到的公式計算：20222﹣2024×2020．【思路點撥】（1）利用正方形的面積公式，圖1陰影部分的面積為大正方形的面積﹣小正方形的面積，圖2長方形的長為a+b，寬為a﹣b，利用長方形的面積公式可得結論；（2）由（1）建立等量關系即可；（3）根據平方差公式進行計算即可．【規范解答】解：（1）根據題意可得：圖1陰影部分的面積＝，圖2長方形的長為：a+b，圖2長方形的寬為：a﹣b，∴面積為：（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）20222﹣2024×2020＝20222﹣（2022+2）（2022﹣2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．【考點評析】本題主要考查平方差公式的推導，利用面積建立等量關系是解答此題的關鍵．【變式訓練9-2】（2022秋?仁化縣期末）實踐與探究，如圖1，邊長為a的大正方形有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗證的公式是B（請選擇正確的一個）．A．a2+ab＝a（a+b）B．a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2（2）請應用上面的公式完成下列各題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝4；②計算：82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣1；③計算：（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+?+42﹣32+22﹣1（n≥1）．【思路點撥】（1）根據陰影部分寫出兩個圖形中陰影部分面積的代數式，再得出二者相等的結論；（2）使用（1）得出的公式對本題中的平方差進行因式分解即可求得結果．【規范解答】解：（1）圖一中的陰影部分面積為：a2﹣b2，圖二中陰影部分面積為：（a+b）（a﹣b），而這兩者面積相等，所以有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：B．（2）①4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）＝24，又2a+b＝6，∴2a﹣b＝4．②82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣1＝（8+7）（8﹣7）+（6+5）（6﹣5）+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝8+7+6+5+4+3+2+1＝4×9＝36．③（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+?+42﹣32+22﹣1（n≥1）＝（2n+2n﹣1）（2n﹣2n+1）+（2n﹣2+2n﹣3）（2n﹣2+2n+3）+……+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝2n+2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+?+4+3+2+1＝＝2n2+n．故答案為：B，4．【考點評析】本題考查平方差公式的證明與使用，考查求和公式，掌握這些是本題關鍵．重點考向10：整式的混合運算—化簡求值【典例精講】（2022秋?沙坪壩區校級期末）關于x的三次三項式A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d（（其中a，b，c，d均為常數）關于x的二次三項式B＝x2+ex+f（e，f均為非零常數），下列說法中正確的個數有（）①當A+B為關于x的三次三項式時，則f＝﹣10；②當多項式A與B的乘積中不含x?項時，則e＝6；③a+b+c＝9；A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【思路點撥】先根據整式的加減求出A+B的值，再根據A+B為關于x的三次三項式即可判斷①；先根據多項式的乘法法則求出A?B的值，再根據乘積中不含x?項即可判斷②；分別求出當x＝1和x＝2時，求出A的值，由此即可判斷③．【規范解答】解：∵A＝5x3﹣6x2+10，B＝x2+ex+f，∴A+B＝5x3﹣6x2+10+x2+ex+f＝5x3﹣5x2+ex+f+10，∵A+B為關于x的三次三項式，且e為非零常數，∴f+10＝0，解得：f＝﹣10，說法①正確；A?B＝（5x3﹣6x2+10）（x2+ex+f）＝5x5+5ex4+5fx3﹣6x4﹣6ex3﹣6fx2+10x2+10ex+10f＝5x5+（5e﹣6）x4+（5f﹣6e）x3+（10﹣6f）x2+10ex+10f，∵多項式A與B的乘積中不含x?項，∴5e﹣6＝0，解得e＝1.2，說法②錯誤；A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，當x＝1時，d＝5﹣6+10＝9，當x＝2時，a+b+c+d＝5×23﹣6×22+10＝26，則a+b+c＝17，說法③錯誤．故選：B．【考點評析】本題考查整式的運算，解題的關鍵是掌握整式運算相關法則．【變式訓練10-1】（2023秋?海口期末）計算：（1）（3x﹣1）（2x+3）﹣（﹣3x）2；（2）（a﹣2b）（﹣2b﹣a）﹣（a﹣2b）2；（3）先化簡，再求值：[2（x﹣y）]2﹣（16x2y4﹣12x3y3）÷（2xy）2，其中，y＝﹣3．【思路點撥】（1）根據多項式乘多項式和積的乘方計算可以解答本題；（2）根據單項式乘多項式和完全平方公式可以解答本題；（3）先據單項式乘多項式和完全平方公式化簡題目中的式子，然后將x、y的值代入即可解答本題．【規范解答】解：（1）（3x﹣1）（2x+3）﹣（﹣3x）2＝6x2﹣2x+9x﹣3﹣9x2＝﹣3x2+7x﹣3；（2）（a﹣2b）（﹣2b﹣a）﹣（a﹣2b）2＝﹣（a2﹣4b2）﹣（a2﹣4ab+4b2）＝﹣a2+4b2﹣a2+4ab﹣4b2＝4ab﹣2a2；（3）[2（x﹣y）]2﹣（16x2y4﹣12x3y3）÷（2xy）2＝4（x﹣y）2﹣（16x2y4﹣12x3y3）÷4x2y2＝4x2﹣8xy+4y2﹣（16x2y4﹣12x3y3）÷4x2y2＝4x2﹣8xy+4y2﹣（4y2﹣3xy）＝4x2﹣8xy+4y2﹣4y2+3xy＝4x2﹣5xy，當，y＝﹣3時，原式＝4×（﹣）2﹣5×（﹣）×（﹣3）＝1﹣＝﹣．【考點評析】本題考查了整式的混合運算和化簡求值，掌握整式的混合運算和化簡求值的方法是關鍵．【變式訓練10-2】（2024?沙坪壩區校級開學）先化簡，再求值：，其中．【思路點撥】先算括號內的乘法，再合并同類項，最后求出x、y的值代入即可．【規范解答】解：原式＝2x2﹣（x2+2xy﹣2y2）+2xy＝2x2﹣x2﹣2xy+2y2+2xy＝x2+2y2，∵，∴x＝，y＝﹣1，原式＝．【考點評析】本題考查了整式的混合運算和求值、絕對值、算術平方根的非負性等知識點，能正確根據整式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵，注意運算順序．重點考向11：因式分解-提公因式法【典例精講】（2023春?新化縣期末）計算：20232﹣2023×2022＝2023．【思路點撥】運用提公因式法進行簡便運算．【規范解答】解：20232﹣2023×2022＝2023×（2023﹣2022）＝2023×1＝2023．故答案為：2023．【考點評析】本題主要考查提公因式法簡便運算，熟練掌握運用提公因式法進行因式分解是解決本題的關鍵．【變式訓練11-1】（2023春?天元區校級期末）因式分解：6a2﹣2a＝2a（3a﹣1）．【思路點撥】利用提公因式法分解因式即可．【規范解答】解：6a2﹣2a＝2a（3a﹣1），故答案為：2a（3a﹣1）．【考點評析】本題考查了因式分解，熟練掌握提公因式法分解因式是解題的關鍵．【變式訓練11-2】（2023春?昌黎縣期末）下面是某同學對多項式（m2﹣4m）（m2﹣4m+8）+16進行因式分解的過程．解：設m2﹣4m＝n，原式＝n（n+8）+16（第一步），＝n2+8n+16（第二步），＝（n+4）2（第三步），＝（m2﹣4m+4）2（第四步），（1）該同學第二步到第三步運用完全平方公式進行因式分解．（2）該同學是否完成了將該多項式因式分解？若沒有完成，請直接寫出因式分解的最后結果．（3）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2﹣2x+4）（x2﹣2x﹣2）+9進行因式分解．【思路點撥】（1）從第三步的結果得出結論；（2）觀察最后結果中的x2﹣4x+4是否還能因式分解，得出結論；（3）設x2﹣2x＝y，然后因式分解，化簡后再代入，再因式分解．【規范解答】解：（1）由n2+8n+16＝（n+4）2得出運用了兩數和的完全平方公式，故答案為：完全平方公式．（2）該同學沒有完成因式分解，（m2﹣4m+4）2＝[（m﹣2）2]2＝（m﹣2）4，（3）設x2﹣2x＝y，則原式＝（y+4）（y﹣2）+9＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．【考點評析】本題考查了因式分解，主要是考查學生對于完全平方公式和換元法進行因式分解的掌握情況，要求學生在換元分解，回代之后還要再觀察是否能夠繼續進行因式分解，很多學生會忘記繼續分解，是一個易錯點．重點考向12：因式分解-運用公式法【典例精講】（2023春?曲陽縣期末）小明在抄分解因式的題目時，不小心漏抄了x的指數，他只知道該數為不大于10的正整數，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作業本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指數），則這個指數可能的結果共有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【思路點撥】能利用平方差公式分解因式，說明漏掉的是平方項的指數，只能是偶數，又只知道該數為不大于10的正整數，則該指數可能是2、4、6、8、10五個數．【規范解答】解：該指數可能是2、4、6、8、10五個數．故選：D．【考點評析】能熟練掌握平方差公式的特點，是解答這道題的關鍵，還要知道不大于就是小于或等于．【變式訓練12-1】（2023春?東城區校級期末）分解因式：（1）4b2+4b+1；（2）﹣x2+2xy﹣y2．【思路點撥】（1）根據完全平方公式即可進行因式分解；（2）先提取公因式﹣1，再根據完全平方公式即可進行因式分解．【規范解答】解：（1）原式＝（2b）2+2×2b×1+12＝（2b+1）2；（2）原式＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2．【考點評析】本題主要考查了利用完全平方公式進行因式分解，解題的關鍵是掌握完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．【變式訓練12-2】（2023春?沙坪壩區校級期中）觀察下列等式的規律，解答下列問題：第1個等式：a2﹣1＝（a﹣1）（a+1）；第2個等式：a3+1＝（a+1）（a2﹣a+1）；第3個等式：a4﹣1＝（a﹣1）（a3+a2+a2+a+1）；第4個等式：a5+1＝（a+1）（a4﹣a3+a2﹣a+1）；…（1）請直接寫出第5個等式：a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1）；第6個等式：a7+1＝（a+1）（a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a+1）；（2）計算；①（3﹣1）（35+33+34+32+3+1）＝728；②36﹣35+34﹣33+32﹣3+1＝547；（3）計算：（410+210）+（49﹣29）+（48+28）+（47﹣27）+…+（42+22）+4．【思路點撥】（1）根據所給的等式的形式，即可寫出答案；（2）利用所給的等式的規律進行求解即可；（3）利用所給的等式的規律進行求解即可．【規范解答】解：（1）根據規律得：第5個等式：a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1），第6個等式：a7+1＝（a+1）（a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a+1）；故答案為：a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1），a7+1＝（a+1）（a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a+1）；（2）根據規律得：①（3﹣1）×（35+33+34+32+3+1）＝36﹣1＝728；②36﹣35+34﹣33+32﹣3+1＝×（3+1）×（36﹣35+34﹣33+32﹣3+1）＝×（37+1）＝547；故答案為：①728，547；（3）（410+210）+（49﹣29）+（48+28）+（47﹣27）+…+（42+22）+4＝410+210+49﹣29+48+28+47﹣27+…+42+22+4＝（410+49+48+47+…+42+4+1）+（210﹣29+28﹣27+…+22﹣2+1）＝×（4﹣1）×（410+49+48+47+…+42+4+1）+×（2+1）×（210﹣29+28﹣27+…+22﹣2+1）＝×（411﹣1）+×（211+1）＝×411+×211．【考點評析】本題主要考查數字的變化規律，解答的關鍵是由所給的等式總結出存在的規律．重點考向13：提公因式法與公式法的綜合運用【典例精講】（2023秋?大同期末）下列因式分解正確的是（）A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y） D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）【思路點撥】根據提公因式法、公式法逐項進行因式分解，再進行判斷即可．【規范解答】解：A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），因此選項A不符合題意；B．x2+2x+1＝（x+1）2，因此選項B不符合題意；C.3mx﹣6my＝3m（x﹣2y），因此選項C不符合題意；D．x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y），因此選項D符合題意；故選：D．【考點評析】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a2±2ab+b2＝（a±b）2是正確應用的前提．【變式訓練13-1】（2023?威遠縣校級二模）因式分解：3a2﹣27＝3（a+3）（a﹣3）．【思路點撥】直接提取公因式3，進而利用平方差公式分解因式即可．【規范解答】解：3a2﹣27＝3（a2﹣9）＝3（a+3）（a﹣3）．故答案為：3（a+3）（a﹣3）．【考點評析】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確掌握公式法分解因式是解題關鍵．【變式訓練13-2】（2023春?鼓樓區校級期中）因式分解：（1）2mx2﹣4mx+2m；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．【思路點撥】（1）先提取公因式2m，再利用完全平方公式繼續進行分解即可得到答案；（2）將式子化為兩個數的平方差，再運用平方差公式進行分解即可得到答案．【規范解答】解：（1）2mx2﹣4mx+2m＝2m（x2﹣2x+1）＝2m（x﹣1）2；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2＝[5（m+n）]2﹣[3（m﹣n）]2＝[5（m+n）﹣3（m﹣n）][5（m+n）+3（m﹣n）]＝（5m+5n﹣3m+3n）（5m+5n+3m﹣3n）＝（2m+8n）（8m+2n）＝4（m+4n）（4m+n）．【考點評析】本題考查了綜合提公因式和完全平方公式進行因式分解，運用平方差公式進行因式分解，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵，注意分解要徹底．重點考向14：因式分解-分組分解法【典例精講】（2022秋?青浦區校級期中）分解因式：7x2﹣3y+xy﹣21x．【思路點撥】將多項式分解為7x2﹣3y+xy﹣21x＝（7x2﹣21x）+（xy﹣3y），進而得出答案即可．【規范解答】解：7x2﹣3y+xy﹣21x＝7x2﹣21x+xy﹣3y＝7x（x﹣3）+y（x﹣3）＝（7x+y）（x﹣3）．【考點評析】此題主要考查了分組分解法因式分解，正確將多項式分組是解題關鍵．【變式訓練14-1】．（2022春?桂平市期中）觀察下列因式分解的過程：（1）x2﹣xy+4x﹣4y＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成兩組）＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）＝（x﹣y）（x+4）（2）a2﹣b2﹣c2+2bc＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成兩組）＝a2﹣（b﹣c）2（直接運用公式）＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（1）請仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：①ad﹣ac﹣bd+bc②x2﹣y2﹣6x+9（2）請運用上述分解因式的方法，把多項式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．【思路點撥】（1）①利用分組后直接提公因式分解；②利用分組后直接運用公式分解；（2）把1+x添加括號，利用分組后直接提取公因式（1+x），反復運算得結論．【規范解答】（1）①原式＝（ad﹣ac）﹣（bd﹣bc）＝a（d﹣c）﹣b（d﹣c）＝（d﹣c）（a﹣b）②原式＝（x2﹣6x+9）﹣y2＝（x﹣3）2﹣y2＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）（2）原式＝1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n﹣1]＝（1+x）（1+x）n＝（1+x）n+1【考點評析】本題主要考查了多項式因式分解的分組分解法．掌握分組后直接提起公因式和分組后直接運用公式，是解決本題的關鍵．【變式訓練14-2】（2019秋?西崗區期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項式只用上述方法就無法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我們細心觀察這個式子就會發現，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了．過程為：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種方法解決下列問題：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀．【思路點撥】（1）首先將前三項組合，利用完全平方公式分解因式，進而利用平方差公式分解因式得出即可；（2）首先將前兩項以及后兩項組合，進而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的關系，判斷三角形形狀即可．【規范解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，∴△ABC的形狀是等腰三角形．【考點評析】此題主要考查了分組分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正確分組分解得出是解題關鍵．重點考向15：因式分解-十字相乘法等【典例精講】（2023秋?陽信縣期末）下列因式分解錯誤的是（）A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） B．x2+xy＝x（x+y） C．x3+6x2+9x＝x（x+3）2 D．x2﹣7x+12＝x（x﹣7）+12【思路點撥】利用提公因式法、公式法逐個分解每個選項，根據分解結果得結論．【規范解答】解：A、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合題意；B、原式＝x（x+y），不符合題意；C、原式＝x（x+3）2，不符合題意；D、原式＝（x﹣3）（x﹣4），符合題意．故選：D．【考點評析】此題考查了因式分解﹣十字相乘法等以及提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．【變式訓練15-1】（2023春?句容市期末）若x2﹣mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），則m+n＝8．【思路點撥】已知等式右邊利用多項式乘以多項式法則計算，利用多項式相等的條件求出m與n的值，即可確定出m+n的值．【規范解答】解：∵x2﹣mx+6＝（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（n+2）x+2n，∴n+2＝m，6＝2n，解得：m＝5，n＝3，則m+n＝8．故答案為：8．【考點評析】此題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式訓練15-2】（2023春?岳陽期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法（如圖）．第一步：二次項2x2＝x?2x；第二步：常數項﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），畫“十字圖”驗算“交叉相乘之和”；第三步：發現第③個“交叉相乘之和”的結果等于一次項﹣x．即2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）；像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運用結論：（1）將多項式x2﹣x﹣2進行因式分解，可以表示為x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）；（2）若3x2+px+5可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數p的所有可能值．【思路點撥】根據材料來把二次項寫成相乘形式，常數項也寫成相乘的形式，再交叉相乘之和得到一次項，最后進行因式分解．【規范解答】解：（1）將多項式因式分解，可以表示為x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）（2）根據畫好的“十字圖”，求出p的所有可能值：16，8，﹣8，﹣16.【考點評析】本題考查了用十字相相乘法對一元二次方程進行因式分解．重點考向16：實數范圍內分解因式【典例精講】（2023春?工業園區期中）若x2+k在實數范圍內可以因式分解，則k的值可以為﹣1．（只填一個）．【思路點撥】利用平方差公式先確定k的范圍，再給出一個k的值即可．【規范解答】解：當k＜0時，x2+k可利用平方差公式因式分解．例如k＝﹣1時，x2+k＝x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．故答案為：﹣1【考點評析】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的平方差公式是解決本題的關鍵．【變式訓練16-1】（2021春?宿豫區校級期中）閱讀理解：定義：如果一個數的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數i叫做虛數單位，把形如a+bi（a，b為實數）的數叫做復數，其中a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部，它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似．例如計算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；根據以上信息，完成下列問題：（1）填空：i3＝﹣i；i4＝1；i5＝i；i+i2+i3+…+i2021＝i．（2）計算：①（1+i）×（3﹣4i）；②（2+i）2；（3）在復數范圍內分解因式：①a2+4＝（a+2i）（a﹣2i）；②a4﹣625＝（a+5）（a﹣5）（a+5i）（a﹣5i）．．【思路點撥】（1）把i2＝﹣1代入計算即可求出i3，i4，i5的值，設S＝i+i2+i3+…+i2021，則iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，即可求出S＝；（2）①根據多項式乘多項式的法則展開，把i2＝﹣1代入計算，即可得出結果；②根據完全平方公式展開，把i2＝﹣1代入計算，即可得出結果；（3）①把a2+4寫成a2﹣4i2，利用平方差公式進行分解即可；②利用平方差公式逐步分解即可．【規范解答】解：（1）i3＝i2?i＝﹣1×i＝﹣i，i4＝i2?i2＝﹣1×（﹣1）＝1，i5＝i2?i2?i＝﹣1×（﹣1）×i＝i，設S＝i+i2+i3+…+i2021，則iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，∴（1﹣i）S＝i+i2+i3+…+i2021﹣i2﹣i3﹣…﹣i2021﹣i2022＝i﹣i2022，∴S＝＝＝＝i，故答案為：﹣i，1，i，i；（2）①（1+i）×（3﹣4i）＝3﹣4i+3i﹣4i2＝3﹣i+4＝7﹣i；②（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i+（﹣1）＝3+4i；（3）①a2+4＝a2﹣4i2＝（a+2i）（a﹣2i），故答案為：（a+2i）（a﹣2i）；②a4﹣625＝（a2﹣25）（a2+25）＝（a+5）（a﹣5）（a+5i）（a﹣5i），故答案為：（a+5）（a﹣5）（a+5i）（a﹣5i）．【考點評析】本題考查了復數的計算及在復數范圍內分解因式，掌握復數的定義是解決問題的關鍵．【變式訓練16-2】（2019春?西湖區校級期中）在實數范圍內因式分解（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）（2）x4﹣81（3）（4）x7y7﹣16x4y4+64xy【思路點撥】（1）根據提取公因式的方法分解即可；（2）根據平方差公式分解因式即可；（3）首先提取公因式，然后利用公式法分解即可；（4）首先提取公因式，然后利用公式法分解即可．【規范解答】解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝（a﹣b）（2m+3n）；（2）x4﹣81＝（x2+9）（x2﹣9）＝（x2+9）（x+3）（x﹣3）；（3）＝[（3m﹣n）2﹣4（m+3n）2]＝[（3m﹣n）+2（m+3n）][（3m﹣n）﹣2（m+3n）]＝（m+n）（m﹣7n）；（4）x7y7﹣16x4y4+64xy＝xy（x6y6﹣16x3y3+64）＝xy（x3y3﹣8）2＝xy（xy﹣2）2（x2y2+2xy+4）2．【考點評析】本題考查了實數范圍內因式分解：利用完全平方公式或平方差公式在實數范圍內進行因式分解．重點考向17：因式分解的應用【典例精講】（2023?漣源市一模）已知a、b、c是△ABC的三條邊，且滿足a2+bc＝b2+ac，則△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【思路點撥】將等式移項整理后，將左邊分解因式，利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0得到a＝b，即可確定出三角形形狀．【規范解答】解：已知等式變形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵a+b﹣c≠0，∴a﹣b＝0，即a＝b，則△ABC為等腰三角形．故選：A．【考點評析】此題考查了因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．【變式訓練17-1】（2023秋?淮陽區期末）我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式．例如圖①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．請回答下列問題：（1）寫出圖②中所表示的數學等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）猜測（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．（3）利用（1）中得到的結論，解決下面的問題：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的條件下，若a、b、c分別是一個三角形的三邊長，請判斷該三角形的形狀，并說明理由．【思路點撥】（1）直接求得正方形的面積，然后再根據正方形的面積＝各個矩形的面積之和求解即可；（2）根據（1）中等式，猜想得出；（3）將a+b+c＝12，ab+bc+ac＝48代入（1）中得到的關系式，然后進行計算；（4）根據（2）得到等式，再對等式進行轉化，進而進行因式分解，最后根據非負數的性質得到三邊的關系．【規范解答】解：（1）（a+b+