2.3直線、平面垂直判定及其性質2.3.1直線與平面垂直判定1/34目標導航課標要求1.了解線面垂直定義和判定定理.2.能利用線面垂直判定定理證實一些空間位置關系簡單命題.3.能在簡單幾何體中計算線面角.素養達成經過線面垂直定義和判定定理學習,鍛煉了學生邏輯思維能力、空間想象能力,促進直觀想象、邏輯推理等關鍵素養達成.2/34新知探求課堂探究3/34新知探求·素養養成點擊進入情境導學知識探究1.直線與平面垂直概念假如直線l與平面α內

都垂直,就說直線l與平面α相互垂直,記作

,直線l叫做平面α

,平面α叫做直線l

,直線與平面垂直時,它們唯一公共點叫做

.探究1:若直線a⊥平面α,直線b?α,則a與b相互垂直嗎?答案:垂直.任意一條直線l⊥α垂線垂面垂足4/342.直線與平面垂直判定定理文字語言圖形語言符號語言一條直線與一個平面內都垂直,則該直線與此平面垂直兩條相交直線a∩b=P探究2:若直線a⊥b,直線a⊥c,且b?α,c?α,直線a⊥平面α嗎?答案:不一定垂直,當b與c相交時,a⊥平面α.5/343.直線與平面所成角(1)如圖,一條直線PA和一個平面α相交,但不和這個平面

,這條直線叫做這個平面斜線,斜線和平面交點A叫做

,過斜線上

一點向平面引垂線PO,過垂足O和

直線AO叫做斜線在這個平面上射影,平面一條斜線和它在平面上射影所成

,叫做這條直線和這個平面所成角.垂直斜足以外斜足斜足A銳角6/34(2)一條直線垂直于平面,稱它們所成角是

;一條直線在平面內或一條直線和平面平行,稱它們所成角是

角,于是,直線與平面所成角θ范圍是0°≤θ≤90°.直角0°7/34自我檢測1.(線面垂直性質)已知直線a⊥平面α,直線b∥平面α,則a與b關系為(

)(A)a∥b(B)a⊥b(C)a,b相交不垂直

(D)a,b異面不垂直B2.(線面垂直定理了解)以下條件中,能使直線m⊥α是(

)(A)m⊥b,m⊥c,b?α,c?α (B)m⊥b,b∥α(C)m∩b=A,b⊥α (D)m∥b,b⊥αD3.(線面垂直判定)若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于(

)(A)平面OAB (B)平面OAC(C)平面OBC (D)平面ABCC8/344.(直線與平面所成角)空間四邊形ABCD四邊相等,則它兩對角線AC,BD關系是(

)(A)垂直且相交 (B)相交但不一定垂直(C)垂直但不相交 (D)不垂直也不相交C解析:取BD中點O,連接AO,CO,則BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC,又BD,AC異面,故選C.9/345.(直線與平面所成角)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC1與底面ABCD所成角正弦值為

.

答案:10/34題型一線面垂直概念與定理了解【例1】列說法中正確個數是(

)①若直線l與平面α內一條直線垂直,則l⊥α;②若直線l與平面α內兩條直線垂直,則l⊥α;③若直線l與平面α內兩條相交直線垂直,則l⊥α;④若直線l與平面α內任意一條直線垂直,則l⊥α;⑤若直線l與平面α內無數條直線垂直,則l⊥α.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4課堂探究·素養提升解析:由直線與平面垂直判定定理和定義知正確是③④,故選B.11/34方法技巧線面垂直判定定理中,直線垂直于平面內兩條相交直線,“相交”兩字必不可少,不然,就是換成無數條直線,這條直線也不一定與平面垂直.12/34即時訓練1-1:以下說法中錯誤是(

)①假如一條直線和平面內一條直線垂直,該直線與這個平面必相交;②假如一條直線和平面一條平行線垂直,該直線必在這個平面內;③假如一條直線和平面一條垂線垂直,該直線必定在這個平面內;④假如一條直線和一個平面垂直,該直線垂直于平面內任何直線.(A)①② (B)②③④ (C)①②④ (D)①②③解析:由線面垂直判定定理可得①②③錯誤,④正確.故選D.D13/34【備用例1】

以下命題中,正確命題序號是

.

①若l不垂直于α,則在α內沒有與l垂直直線;②過一點和已知平面垂直直線有且只有一條;③若a∥α,b⊥α,則a⊥b;④若a∥b,a⊥α,則b⊥α.解析:當l與α不垂直時,l可能與α內無數條相互平行直線垂直,故①不正確;因為過一點有且只有一條直線與已知平面垂直.故②正確;③,④顯然正確.答案:②③④14/34題型二直線與平面垂直判定【思索】1.若把定理中“兩條相交直線”改為“兩條直線”,直線與平面一定垂直嗎?提醒:當這兩條直線平行時,直線可與平面相交但不一定垂直.2.假如兩條平行線中一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面嗎?提醒:垂直.15/34【例2】(12分)在三棱錐P-ABC中,H為△ABC垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求證:PH⊥平面ABC.16/34變式探究:在三棱錐P-ABC中,H為△ABC垂心,且PH⊥平面ABC,求證:AB⊥PC,BC⊥AP.17/34方法技巧利用直線與平面垂直判定定理證實線面垂直關鍵是在這個平面內找到兩條相交直線,證實它們都和這條直線垂直.18/34證實:因為∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.又AC∩SA=A,所以BC⊥平面SAC.因為AD?平面SAC,所以BC⊥AD.又SC⊥AD,SC∩BC=C,所以AD⊥平面SBC.即時訓練2-1:如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求證:AD⊥平面SBC.19/34【備用例2】如圖,在錐體P-ABCD中,ABCD是菱形,且∠DAB=60°,PA=PD,E,F分別是BC,PC中點.證實:AD⊥平面DEF.20/3421/34題型三直線與平面所成角22/34(1)證實:如圖,連接A1B.在△A1BC中,因為E和F分別是BC和A1C中點,所以EF∥BA1.又因為EF?平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.(1)求證:EF∥平面A1B1BA;23/34(2)求證:直線AE⊥平面BCB1;24/34(3)求直線A1B1與平面BCB1所成角大小.25/34方法技巧求平面斜線與平面所成角普通步驟:(1)確定斜線與平面交點(斜足);(2)經過斜線上除斜足以外某一點作平面垂線,連接垂足和斜足即為斜線在平面上射影,則斜線和射影所成銳角即為所求角;(3)求解由斜線、垂線、射影組成直角三角形.26/34即時訓練3-1:(·福州一中高一測試)已知正三棱錐S-ABC全部棱長都相等,則SA與平面ABC所成角余弦值為

.

27/34【備用例3】(·浙江卷)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC射影為BC中點,D是B1C1中點.28/34(1)證實:設E為BC中點,連接A1E,AE.由題意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE.因為AB=AC,所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.連接DE,由D,E分別為B1C1,BC中點,得DE∥B1B且DE=B1B,從而DE∥A1A且DE=A1A,所以AA1DE為平行四邊形.于是A1D∥AE.又因為AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(1)證實:A1D⊥平面A1BC;29/34(2)求直線A1B和平面BB1C1C所成角正弦值.30/34題型四

易錯辨析——忽略條件限制而致誤【例4】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是AB,B1B,C1C中點,求證:B1E⊥平面A1FGD1.31/34錯解:因為F,G分別為棱B1B,C1C中點,所以BC∥FG.因為BC⊥AB,BC⊥B1B,且B1B∩AB=B,所以BC⊥平面A1ABB1.又因為B1E?平面A1ABB1,所以BC⊥B1E,即FG⊥B1E.同理A1D1⊥B1E,所以B1E⊥平面A1FGD1.糾錯:本題錯誤在于只證實了直線和平面內兩條平行直線垂直,不符合判定定理要求.依據線面垂直判定定理,直線要垂直于平面內兩條相交直線時才能垂直于這個平面.32/34正解:因為E,F分別為AB,B1B中點,且AB=B1B,所以B1F=BE.所以Rt△A1B1F≌Rt△B1BE,所以∠B1A1F=∠BB1E.因為∠B1A1F+∠B1FA1=90°,所以∠B1FA