人教版八年級數學上冊13.3

等腰三角形

（第1課時）第1頁學習目標：

1．探索并證實等腰三角形兩個性質．

2．能利用性質證實兩個角相等或兩條線段相等．

3．結合等腰三角形性質探索與證實過程，體會軸對稱在研究幾何問題中作用．學習重點：探索并證實等腰三角形性質．第2頁活動（一）：細心觀察第3頁活動（一）：細心觀察第4頁活動（一）：細心觀察第5頁活動（一）：細心觀察第6頁共同特點活動（一）：細心觀察等腰三角形第7頁ABC等腰三角形:有兩條邊相等三角形,

叫做等腰三角形.等腰三角形的概念相等兩條邊叫做腰,另一條邊叫做底邊,底邊與腰夾角叫做底角.兩腰所夾角叫做頂角,腰腰底邊頂角底角回顧第8頁

1、等腰三角形一腰為3cm,底為4cm,則它周長是

；

2、等腰三角形一邊長為3cm,另一邊長為4cm,則它周長是

；

3、等腰三角形一邊長為3cm,另一邊長為8cm,則它周長是

。

10cm10cm或11cm19cm小試牛刀第9頁

把剪出等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合線段和角.找一找

等腰三角形是軸對稱圖形嗎？等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在直線。

溫故知新第10頁如圖,把一張長方形紙按圖中虛線對折,并剪去綠色部分,再把它展開,得到△ABC有什么特點?ABCAB=AC等腰三角形活動（二）：動手操作第11頁上面剪出等腰三角形是軸對稱圖形嗎？ABCD把剪出等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合線段和角，填入下表：重合線段重合角

等腰三角形除了兩腰相等以外,你還能發覺它其它性質嗎?AB=ACBD=CDAD=AD∠B=∠C∠ADB=∠ADC∠BAD=∠CAD活動（三）：細心觀察大膽猜測第12頁已知：△ABC中，AB=AC求證：∠B=C分析：1.怎樣證實兩個角相等？

活動（四）：猜測與論證等腰三角形兩個底角相等。

2.怎樣結構兩個全等三角形？第13頁已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABC等腰三角形兩個底角相等。D證實：作底邊中線AD，則BD=CDAB=AC(已知)BD=CD(已作)AD=AD(公共邊)∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形對應角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底邊上中線第14頁已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABC等腰三角形兩個底角相等。D證實：作頂角平分線AD，則∠1=∠2AB=AC(已知)∠1=∠2(已作)AD=AD(公共邊)∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形對應角相等).方法二：作頂角平分線在△BAD和△CAD中12第15頁已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABC等腰三角形兩個底角相等。D證實：作底邊高線AD，則∠BDA=∠CDA=90°AB=AC(已知)AD=AD(公共邊)∴Rt△BAD≌Rt△CAD(HL).∴∠B=∠C(全等三角形對應角相等).方法三：作底邊高線在Rt△BAD和Rt△CAD中第16頁用符號語言表示為：在△ABC中，∵AC=AB（已知）∴∠B=∠C（等邊對等角）等腰三角形性質1：等腰三角形兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）ABCD

歸納總結第17頁想一想:

剛才證實除了能得到∠B＝∠C你還能發覺什么?重合線段重合角

AB＝ACBD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD

∠ADB＝∠ADC=90°第18頁等腰三角形底邊上高、底邊上中線、頂角平分線互為重合.猜測（1）如圖，AD⊥BC，AB＝AC.求證：BD＝CD，∠1＝∠2.ABCD12（2）如圖，BD＝CD，AB＝AC.求證：AD⊥BC，∠1＝∠2.（3）如圖，∠1＝∠2，AB＝AC.求證：AD⊥BC，BD＝CD.

大膽猜測第19頁（1）如圖，AD⊥BC，AB＝AC.求證：BD＝CD，∠1＝∠2.ABCD12證實：在Rt△ABD和Rt△ACD中AB＝ACAD＝AD∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴BD＝CD，∠1＝∠2第20頁（2）如圖，BD＝CD，AB＝AC.求證：AD⊥BC，∠1＝∠2.ABCD12證實：在△ABD和△ACD中AB＝ACBD＝CDAD＝AD∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠ADB＝∠ADC，∠1＝∠2又∵∠ADB＋∠ADC＝180°∴∠ADB＝∠ADC＝90°即AD⊥BC第21頁（3）如圖，∠1＝∠2，AB＝AC.求證：AD⊥BC，BD＝CD.ABCD12證實：在△ABD和△ACD中AB＝AC∠1＝∠2AD＝AD∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠ADB＝∠ADC，BD＝CD又∵∠ADB＋∠ADC＝180°∴∠ADB＝∠ADC＝90°即AD⊥BC第22頁(簡寫成三線合一)ABCD性質2

等腰三角形頂角平分線與底邊上中線，底邊上高相互重合

性質3等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角平分線（底邊上中線、底邊上高）所在直線就是等腰三角形對稱軸。

歸納總結第23頁1、等腰三角形頂角平分線，既是底邊上中線，又是底邊上高。應用格式：∵AB＝AC∠1＝∠2（已知）∴BD＝DCAD⊥BC（等腰三角形三線合一）2、等腰三角形底邊上中線，既是底邊上高，又是頂角平分線。應用格式：∵AB＝ACBD＝DC（已知）∴AD⊥BC∠1＝∠2

（等腰三角形三線合一）3、等腰三角形底邊上高，既是底邊上中線，又是頂角平分線。應用格式：∵AB＝ACAD⊥BC（已知）∴BD＝DC∠1＝∠2

（等腰三角形三線合一）性質2可分解成下面三個方面來了解：

歸納總結第24頁畫出任意一個等腰三角形底角平分線、這個底角所正確腰上中線和高，看看它們是否重合？不重合！三線合一“三線合一”應該對應等腰三角形頂角平分線，底邊上中線和底邊上高第25頁1.依據等腰三角形性質2填空,在△ABC中，AB=AC，小試牛刀(1)∵AD⊥BC，∴∠_____=∠_____，____=____.(2)∵AD是中線，∴____⊥____，∠_____=∠_____.(3)∵AD是角平分線，∴____⊥____，_____=_____.ABCDBADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD

知一線得二線

“三線合一”能夠幫助我們處理線段垂直、相等以及角相等問題。第26頁2、等腰三角形一個底角為70°,它頂角為______.小試牛刀3、等腰三角形一個角為70°,它另外兩個角為__________________.4、等腰三角形一個角為110°,它另外兩個角為___________.①頂角度數+2×底角度數=180°②0°＜頂角度數＜180°③0°＜底角度數＜90°結論:

在等腰三角形中,40°35°，35°70°,40°或

55°,55°第27頁例1、如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角度數。1、圖中有哪幾個等腰三角形？ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x△ABC△ABD△BDC2、有哪些相等角？∠ABC=∠ACB=∠BDC∠

A=∠ABD3、這兩組相等角之間還有什么關系？∠BDC=2∠A∠ABC+∠ACB+∠A=180°

應用新知第28頁已知：如圖，房屋頂角∠BAC=100o,過屋頂A立柱AD

BC,屋椽AB=AC.求頂架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD度數.ABDC應用新知，體驗成功。∴∠BAD=∠CAD=50°∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形頂角平分線與底邊上高相互重合）.又∵AD⊥BC，∴∠B=∠C=180°－∠BAC=40°(三角形內角和定理)解：在△ABC中∵AB=AC，∴∠B=∠C（等邊對等角）又∵∠BAC=100o第29頁

(1)猜測一下，等腰三角形底邊中點到兩腰距離相等嗎？如圖將等腰三角形ABC沿對稱軸折疊，觀察DE與DF關系，并證實你結論。ABCDEF(2)假如DE、DF分別是AB,AC上中線或∠ADB,∠ADC平分線，它們還相等嗎？由等腰三角形是軸對稱圖形，利用類似方法，還能夠得到等腰三角形中哪些相等線段？已知：在△ABC中，AB=AC.點D是BC中點，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F求證：DE＝DF活動（五）：拓展提升第30頁1、等腰三角形頂角一定是銳角。2、等腰三角形底角可能是銳角或者直角、鈍

角都能夠。3、等腰三角形頂角平分線一定垂直底邊。4、等腰三角形角平分線、中線和高相互重合。5、等腰三角形底邊上中線一定平分頂角（X）（X）（√）（X）（√）明辨是非第31頁例1、如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角度數。xx2x2x2x解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等邊對等角)設∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，ABC=∠C=72°第32頁如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上中點，∠B=30。求∠１和∠ADC度數．∵AB=AC，D是BC邊上中點∠ADC＝90。∵∠BAC=180。-30。-30。=120

。（三線合一）課堂練習：第33頁第34頁談談你收獲！第35頁再見第36頁你細心加你耐心等于成功！

如圖：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它們相交于點H，且AE=BE。求證：AH=2BD證實1：∵AB=AC，AD是高，∴BC=2BD又∵BE是高，∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90°在△AEH和△BEC中∴△AEH≌△BEC(ASA)∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°∴∠1=∠2

︸∠AEH=∠BECAE=BE∠1=∠2

∴