PAGE1專題09不等式、推理與證明1．【2024年高考全國I卷文數】古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，聞名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿意上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至頸項下端的長度為26cm，則其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【答案】B【解析】方法一：如下圖所示.依題意可知：，腿長為105cm得，即，，，所以AD>169.89.②頭頂至頸項下端長度為26cm，即AB<26，，，，，所以.綜上，.故選B.方法二：設人體頸項下端至肚臍的長為xcm，肚臍至腿根的長為ycm，則，得．又其腿長為105cm，頭頂至頸項下端的長度為26cm，所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故選B．【名師點睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數學運算素養．實行類比法，利用轉化思想解題．2．【2024年高考全國III卷文數】記不等式組表示的平面區域為D．命題；命題．下面給出了四個命題① ② ③ ④這四個命題中，全部真命題的編號是A．①③ B．①② C．②③ D．③④【答案】A【解析】依據題中的不等式組可作出可行域，如圖中陰影部分所示，記直線，由圖可知，，所以p為真命題，q為假命題，所以為假命題，為真命題，所以為真命題，為假命題，為真命題，為假命題，所以全部真命題的編號是①③.故選A.【名師點睛】本題將線性規劃和不等式，命題推斷綜合到一起，解題關鍵在于充分利用取值驗證的方法進行推斷.3．【2024年高考北京卷文數】在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿意m2?m1=lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1【答案】A【解析】兩顆星的星等與亮度滿意,令,.故選：A．【名師點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數學應用意識?信息處理實力?閱讀理解實力以及指數對數運算.4．【2024年高考天津卷文數】設變量滿意約束條件，則目標函數的最大值為A．2 B．3 C．5 D．6【答案】D【解析】已知不等式組表示的平面區域如圖中的陰影部分.目標函數的幾何意義是直線在軸上的截距，故目標函數在點處取得最大值.由，得，所以.故選C.【名師點睛】線性規劃問題，首先明確可行域對應的是封閉區域還是開放區域，分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最終結合圖形確定目標函數最值或范圍．即：一畫，二移，三求．5．【2024年高考天津卷文數】設，則“”是“”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】等價于，故推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分條件.故選B.【名師點睛】充要條件的三種推斷方法：(1)定義法：依據p?q，q?p進行推斷；(2)集合法：依據由p，q成立的對象構成的集合之間的包含關系進行推斷；(3)等價轉化法：依據一個命題與其逆否命題的等價性，把要推斷的命題轉化為其逆否命題進行推斷．這個方法特殊適合以否定形式給出的問題．6．【2024年高考浙江卷】若實數滿意約束條件，則的最大值是A． B．1C．10 D．12【答案】C【解析】畫出滿意約束條件的可行域如圖中陰影部分所示.因為，所以.平移直線可知，當該直線經過點A時，z取得最大值.聯立兩直線方程可得，解得.即點A坐標為，所以.故選C.【名師點睛】解答此類問題，要求作圖要精確，視察要細致.往往由于由于作圖欠精確而影響答案的精確程度，也有可能在解方程組的過程中出錯.7．【2024年高考浙江卷】若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，當且僅當時取等號，則當時，有，解得，充分性成立；當時，滿意，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【名師點睛】易出現的錯誤有，一是基本不等式駕馭不熟，導致推斷失誤；二是不能敏捷的應用“賦值法”，通過特取的值，從假設狀況下推出合理結果或沖突結果.8．【2024年高考全國II卷文數】若變量x，y滿意約束條件則z=3x–y的最大值是______.【答案】9【解析】畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示，陰影部分表示的三角形ABC區域，依據直線中的表示縱截距的相反數，當直線過點時，取最大值為9．【名師點睛】本題考查線性規劃中最大值問題，滲透了直觀想象、邏輯推理和數學運算素養．實行圖解法，利用數形結合思想解題．搞不清晰線性目標函數的幾何意義致誤，從線性目標函數對應直線的截距視察可行域，平移直線進行推斷取最大值還是最小值．9．【2024年高考全國II卷文數】中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形態多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形態是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現了數學的對稱美．圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的全部頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．（本題第一空2分，其次空3分．）【答案】26，【解析】【答案】26，【解析】由圖可知第一層（包括上底面）與第三層（包括下底面）各有9個面，計18個面，其次層共有8個面，所以該半正多面體共有個面．如圖，設該半正多面體的棱長為，則，延長與交于點，延長交正方體棱于，由半正多面體對稱性可知，為等腰直角三角形，，，即該半正多面體棱長為．【名師點睛】本題立意新奇，空間想象實力要求高，物體位置還原是關鍵，遇到新題別慌亂，題目其實很簡潔，穩中求勝是關鍵．立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象實力，快速還原圖形．10．【2024年高考北京卷文數】若x，y滿意則的最小值為__________，最大值為__________．【答案】；1【解析】依據題中所給約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示.設，則，求出滿意在可行域范圍內z的最大值、最小值即可，即在可行域內，當直線的縱截距最大時，z有最大值，當直線的縱截距最小時，z有最小值.由圖可知，當直線過點A時,z有最大值，聯立，可得，即，所以；當直線過點時，z有最小值，所以.【名師點睛】本題是簡潔線性規劃問題的基本題型，依據“畫、移、解”等步驟可得解.題目難度不大，留意了基礎學問、基本技能的考查.11．【2024年高考天津卷文數】設，則的最小值為__________.【答案】【解析】.因為，所以，即，當且僅當時取等號成立.又因為所以的最小值為.【名師點睛】運用基本不等式求最值時肯定要驗證等號是否能夠成立.12．【2024年高考北京卷文數】李明自主創業，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付勝利后，李明會得到支付款的80%．①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，須要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．【答案】①130；②15.【解析】（1）,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,須要支付元.（2）設顧客一次購買水果的促銷前總價為元,元時,李明得到的金額為,符合要求.元時,有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【名師點睛】本題主要考查不等式的概念與性質?數學的應用意識?數學式子變形與運算求解實力,以實際生活為背景，創設問題情境，考查學生身邊的數學，考查學生的數學建模素養.13．（四川省棠湖中學2025屆高三高考適應性考試數學（理)試題）已知集合，，則A． B． C． D．【答案】C【解析】，，故，故選C.【名師點睛】本題考查集合的交集，屬于基礎題，解題時留意對數不等式的等價轉化.14．【廣東省韶關市2025屆高考模擬測試（4月)數學試題】若，滿意約束條件，則的最大值為A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】變量，滿意約束條件的可行域如圖中陰影部分所示：目標函數是斜率等于1、縱截距為的直線，當直線經過可行域的點時，縱截距取得最小值，則此時目標函數取得最大值，由可得，目標函數的最大值為：5故選：C．【名師點睛】本題考查線性規劃的簡潔應用，考查計算實力以及數形結合思想的應用．15．【山東省試驗中學等四校2025屆高三聯合考試理科數學試題】已知實數，滿意約束條件，則目標函數的最小值為A． B． C． D．【答案】B【解析】作出不等式組對應的平面區域如圖：目標函數的幾何意義為動點到定點的斜率，當位于時，此時的斜率最小，此時．故選B．【名師點睛】本題主要考查線性規劃的應用以及兩點之間的斜率公式的計算，利用z的幾何意義，通過數形結合是解決本題的關鍵．16．【黑龍江省大慶市第一中學2025屆高三下學期第四次模擬（最終一卷)考試數學試題】設不等式組，表示的平面區域為，在區域內任取一點，則點的坐標滿意不等式的概率為A． B． C． D．【答案】A【解析】畫出所表示的區域如圖中陰影部分所示，易知，所以的面積為，滿意不等式的點，在區域內是一個以原點為圓心，為半徑的圓面，其面積為，由幾何概型的公式可得其概率為，故選A.【名師點睛】本題考查由約束條件畫可行域，求幾何概型，屬于簡潔題.17．【山西省2025屆高三高考考前適應性訓練（三)數學試題】設，則A． B．C． D．【答案】A【解析】，,即，故.又，所以.故，所以選A.【名師點睛】本題考查利用作差法、作商法比較大小，考查對數的化簡與計算，考查分析計算，化簡求值的實力，屬中檔題.18．【陜西省2024年高三第三次教學質量檢測數學試題】若正數滿意，則的最小值為A． B． C． D．3【答案】A【解析】由題意，因為，則，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，故選A.【名師點睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問題，其中解答中合理構造，利用基本不等式精確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于基礎題.19．【浙江省三校2024年5月份其次次聯考數學卷】已知log2a-2+logA．3 B．4 C．6 D．9【答案】D【解析】由log2a-2+log2b-1≥1所以2a+b=2a-2當2a-2=b-1且a-2b-1所以2a+b取到最小值時ab=3×3=9.故選D.【名師點睛】本題考查基本不等式取得最值的條件，多次用不等式求最值時要留意不等式取等的條件要同時滿意.20．【北京市東城區2025屆高三其次學期綜合練習（一)數學試題】某校開展“我身邊的榜樣”評比活動，現對3名候選人甲、乙、丙進行不記名投票，投票要求詳見選票.這3名候選人的得票數（不考慮是否有效）分別為總票數的,,，則本次投票的有效率（有效票數與總票數的比值）最高可能為A． B．C．96% D．98%【答案】C【解析】設投1票的有x,2票的y,3票的z，則,則,即,由題投票有效率越高z越小，則x=0時，z=4,故本次投票的有效率（有效票數與總票數的比值）最高可能為96%.故選：C.【名師點睛】本題考查推理的應用，考查推理與轉化實力，明確有效率與無效票之間的關系是解題關鍵,是中檔題.21．【西南名校聯盟重慶市第八中學2025屆高三5月高考適應性月考卷數學試題】甲、乙、丙、丁四個人參與某項競賽，四人在成果公布前做出如下預料：甲說：獲獎者在乙丙丁三人中；乙說：我不會獲獎，丙獲獎；丙說：甲和丁中的一人獲獎；丁說：乙揣測的是對的.成果公布后表明，四人中有兩人的預料與結果相符，另外兩人的預料與結果不相符.已知倆人獲獎，則獲獎的是A．甲和丁 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁【答案】D【解析】乙、丁的預料要么同時與結果相符，要么同時與結果不符，若乙、丁的預料成立，則甲、丙的預料不成立，可知沖突，故乙、丁的預料不成立，從而獲獎的是乙和丁，故選D.【名師點睛】本題考查了邏輯推理實力，假設法是解決此類問題常用的方法.22．【廣東省深圳市深圳外國語學校2025屆高三其次學期第一次熱身考試數學試題】已知實數，滿意，則的最大值是__________．【答案】【解析】由約束條件可知可行域為圖中陰影部分所示：其中，，又，可知的幾何意義為可行域中的點到直線距離的倍可行域中點到直線距離最大的點為.，故填.【名師點睛】本題考查利用線性規劃求解最值的問題，關鍵是能夠明確目標函數所表示的幾何意義，利用數形結合來進行求解．23．【天津市和平區2024-2025學年度其次學期高三年級第三次質量調查數學試題】已知，，且，則最小值為__________．【答案】【解析】，結合可知原式，且，當且僅當時等號成立.即的最小值為.【名師點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽視了某個條件，就會出現錯誤．24．【天津市河北區2025屆高三二模數學試題】已知首項與公比相等的等比數列an中，若m，，滿意aman【答案】1【解析】設等比數列an