2024-2025學年第二學期四校聯盟期中聯考試題高一數學一、單選題（40分）1.已知平面向量，，若，則（）A.1 B. C.0 D.2.若為實數，是純虛數，則復數為（）A B. C. D.3.已知向量，，則向量在向量上投影向量為（）A B. C. D.4.在△ABC中，已知角，，則角C=A. B.C. D.或5.一個平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為（）A4 B. C. D.6.某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）.“沙漏”是由一個圓錐體和一個四棱柱相通連接而成.某次計時前如圖1所示，已知圓錐體底面半徑是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面邊長為6cm和2πcm，液體高是6.5cm.計時結束后如圖2所示，此時液體所形成的上底面半徑為2cm，下底面半徑為6cm.求此時“沙漏”中液體的高度為（）A.2cm B.3cm C.4cm D.4.5cm7.如圖1，這是雁鳴塔，位于貴州省遵義婁山關景區，塔身巍然挺拔，直指蒼穹，登塔可眾覽婁山好風光．某數學興趣小組成員為測量雁鳴塔的高度，在點O的同一水平面上的A，B兩處進行測量，如圖2．已知在A處測得塔頂P的仰角為30°，在B處測得塔頂P的仰角為45°，且米，，則雁鳴塔的高度（）A.30米 B.米 C.米 D.米8.已知，，．若點P是△ABC所在平面內一點，且，則的最大值為（）A.13 B. C. D.二、多選題（18分）9.已知平面向量，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.與的夾角為10.對于函數和，下列說法中正確的是（）A.與有相同的零點B.與有相同的最小值C.函數的圖象與的圖象有相同的對稱軸D.的圖象可以由函數的圖象向左平移個單位得到11.已知點在所在的平面內，且，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則為的垂心C.若且（，），則D.若，，，且，則的值為三、填空題（15分）12.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則_______．13.如圖，在△ABC中，，，，，則＝_____14.如圖，已知正三棱柱中，，，若點P從點A出發，沿著正三棱柱的表面，經過棱運動到點，則點P運動的最短路程為______.四、解答題（77分）15.已知復數，．（1）若復數在復平面上對應點在第三象限，求實數的取值范圍．（2）若，求的共軛復數及的模．16.在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，，，若．（1）求的值；（2）若，，求b的值．17.已知長方體中，，求：（1）長方體表面積；（2）三棱錐的體積．18.已知向量，，其中，且.（1）求和的值；（2）若，且，求角.19.已知.（1）求函數的最小正周期；（2）若，求；（3）若對于任意，恒成立，求的取值范圍.

2024-2025學年第二學期四校聯盟期中聯考試題高一數學一、單選題（40分）1.已知平面向量，，若，則（）A.1 B. C.0 D.【答案】D【解析】【分析】根據向量共線的坐標表示計算可得.【詳解】由，，且，得，解得.故選：D.2.若為實數，是純虛數，則復數為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據復數的概念得出的值即可.【詳解】為實數，則，是純虛數，則，則故選：D3.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，先求得的模長，再由投影向量的定義即可得到結果.【詳解】由題意得，向量在向量上的投影向量為．4.在△ABC中，已知角，，則角C=A. B.C. D.或【答案】D【解析】【詳解】由正弦定理：可得：，則角C=或.本題選擇D選項.5.一個平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據斜二測畫法得到原圖，進而求出原圖的面積.【詳解】還原直觀圖為原圖形，如圖所示，因為，所以，還原回原圖形后，，所以原圖形面積為.故選：B6.某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）.“沙漏”是由一個圓錐體和一個四棱柱相通連接而成.某次計時前如圖1所示，已知圓錐體底面半徑是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面邊長為6cm和2πcm，液體高是6.5cm.計時結束后如圖2所示，此時液體所形成的上底面半徑為2cm，下底面半徑為6cm.求此時“沙漏”中液體的高度為（）A.2cm B.3cm C.4cm D.4.5cm【答案】D【解析】【分析】根據體積公式，結合相似即可求解.【詳解】由已知可得：液體的體積為，如圖，易知，、兩個相似的直角三角形，因為圓錐的底面半徑是，高是，所以圓錐的體積為，計時結束后，圓錐中沒有液體的部分體積為，設計時結束后，“沙漏”中液體的高度為，則，，解得，所以計時結束后.“沙漏”中液體高度為.故選：D.7.如圖1，這是雁鳴塔，位于貴州省遵義婁山關景區，塔身巍然挺拔，直指蒼穹，登塔可眾覽婁山好風光．某數學興趣小組成員為測量雁鳴塔的高度，在點O的同一水平面上的A，B兩處進行測量，如圖2．已知在A處測得塔頂P的仰角為30°，在B處測得塔頂P的仰角為45°，且米，，則雁鳴塔的高度（）A.30米 B.米 C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】設，用表示，再利用余弦定理列式計算即得.【詳解】設，依題意，，，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得，所以雁鳴塔的高度為30米.故選：A8.已知，，．若點P是△ABC所在平面內一點，且，則的最大值為（）A.13 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以為原點，建立直角坐標系，利用向量的數量積的坐標運算，以及二次函數的性質，即可求解.【詳解】以A為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，設P（x，y）則，可得，，所以，即，故，，所以，當且僅當即時等號成立．故選：B．二、多選題（18分）9.已知平面向量，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.與的夾角為【答案】ACD【解析】【分析】根據向量坐標運算即可結合選項逐一求解.【詳解】對于A,，A正確，對于B，，故B錯誤，對于C,，故，C正確，對于D，，故與的夾角為，故D正確，故選：ACD10.對于函數和，下列說法中正確的是（）A.與有相同的零點B.與有相同的最小值C.函數的圖象與的圖象有相同的對稱軸D.的圖象可以由函數的圖象向左平移個單位得到【答案】BD【解析】【分析】舉反例令代入可得A錯誤；由正余弦函數的值域可得B正確；由余弦函數的對稱軸方程代入正弦函數可得C錯誤；由函數平行的性質可得D正確.【詳解】對于A，令中，可得，但，故A錯誤；對于B，由正余弦函數的值域可得兩函數具有相同的最小值為，故B正確；對于C，函數的對稱軸方程為，即，所以，故C錯誤；對于D，的圖象向左平移個單位得到，故D正確；故選：BD11.已知點在所在的平面內，且，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則為的垂心C.若且（，），則D.若，，，且，則的值為【答案】BCD【解析】【分析】根據平面向量數量積的幾何意義可判斷；易知點是的中點，從而得，再根據垂心的含義即可判斷；由平面向量基本定理知，，三點共線，再利用三角形的面積公式；將兩邊分別同時乘以和，可得關于和的方程組，解之即可判斷．【詳解】解：因為，所以點是外接圓的圓心，A．，即選項錯誤，不符合題意；B．若，則點是的中點，所以是圓的直徑，即，所以點是的垂心，即選項正確，符合題意；C．由知，，，三點共線，設的以為底邊的高為，則，即，故選項正確，符合題意；D．由知，，所以，即，整理得，由知，，同理可得，聯立解得，，所以，即選項正確，符合題意．故選：BCD．三、填空題（15分）12.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則_______．【答案】或【解析】【分析】根據給定條件，利用正弦定理求出角即可得解.【詳解】在中，，由正弦定理得，而，則或,所以或.故答案為：或13.如圖，在△ABC中，，，，，則＝_____【答案】【解析】【分析】根據給定條件，結合圖形，利用向量線性運算求解.【詳解】△ABC中，，，，，．故答案為：.14.如圖，已知正三棱柱中，，，若點P從點A出發，沿著正三棱柱的表面，經過棱運動到點，則點P運動的最短路程為______.【答案】【解析】【分析】如圖所示：將翻折到與共面，故點P運動的最短路程為，計算得到答案.【詳解】如圖所示：將翻折到與共面，故點P運動的最短路程為.在中，，故.故答案為：.【點睛】本題考查了立體幾何中的最短距離，余弦定理，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.四、解答題（77分）15.已知復數，．（1）若復數在復平面上對應的點在第三象限，求實數的取值范圍．（2）若，求的共軛復數及的模．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由題意求出，結合復數幾何意義和各象限的點的坐標特征即可．（2）利用復數的除法運算法則求出z，進而求出z的共軛復數和模．【小問1詳解】因為，，所以．因為復數在復平面上對應的點在第三象限，所以解得，即實數的取值范圍為．【小問2詳解】因為，所以．．16.在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，，，若．（1）求的值；（2）若，，求b的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由數量積為0得，結合余弦定理即可得解.（2）由平方關系以及兩角和差公式、誘導公式依次求出，結合正弦定理即可得解.【小問1詳解】由題意，整理得，所以由余弦定理有.【小問2詳解】因為，，，所以，所以，所以由正弦定理有.17.已知長方體中，，求：（1）長方體表面積；（2）三棱錐的體積．【答案】（1）10；（2）.【解析】【分析】（1）利用長方體的表面積公式計算即得.（2）利用錐體體積公式計算即得.【小問1詳解】長方體中，，，因此長方體的側面積，所以長方體的表面積.【小問2詳解】的面積，顯然三棱錐的高為，所以三棱錐的體積.18.已知向量，，其中，且.（1）求和值；（2）若，且，求角.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由可得，再由求出的值，然后利用二倍角公式化簡計算即可，（2）由，求出，從而由可求得的值，而，再利用兩角差的正弦公式化簡計算，從而可求出角【詳解】知又（1）（2）又又19.已知.（1）求函數的最小正周期；（2）若，求；（3）若對于任意，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（