微專題：數(shù)列求和2025/4/27重點題型強化（五）

函數(shù)單調(diào)性的綜合問題鄒文婷知識要點回顧1.f′(x)正負(fù)與f(x)的單調(diào)性的關(guān)系：在區(qū)間I內(nèi),若f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間I內(nèi)單調(diào)遞增；若f'(x)<0，則f(x)在區(qū)間I內(nèi)單調(diào)遞減.2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：①求f(x)的定義域;②求f'(x);

③判斷f'(x)的正負(fù)得f(x)的單調(diào)性.3.導(dǎo)數(shù)圖象與函數(shù)圖象的關(guān)系：①給f(x)找f'(x)：看f(x)的增減得f'(x)的正負(fù)；②給f'(x)找f(x)：看f'(x)的正負(fù)得f(x)的增減；典例解析：題型一

求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（一次型）典例解析：題型一

求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（一次型）典例解析：題型一

求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（一次型）練習(xí)：典例解析：題型一

求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（類一次型）典例解析：題型一

求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（類一次型）由于x>0，該問題本質(zhì)是判斷ax-1的符號.求導(dǎo)化簡分類討論判斷導(dǎo)函數(shù)符號確定單調(diào)區(qū)間下結(jié)論題型一求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ax2＋(a＋2)x＋1，其中a∈R.求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．例1解：f(x)＝lnx＋ax2＋(a＋2)x＋1，定義域為(0，＋∞)，綜上，當(dāng)a≥0時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；，討論f(x)的單調(diào)性.典例解析：題型一

求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（二次可分解因式型）變式探究解：當(dāng)a≤1時，因為ex>1，所以ex－a>0恒成立，所以當(dāng)x>1時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<1時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．當(dāng)a>1時，由ex－a＝0，得x＝lna.當(dāng)0<lna<1，即1<a<e時，由f′(x)>0得，x>1，或0<x<lna，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；由f′(x)<0得，lna<x<1，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．當(dāng)lna＝1，即a＝e時，f′(x)≥0在x>0上恒成立，所以函數(shù)f(x)在x>0上單調(diào)遞增．當(dāng)lna>1，即a>e時，由f′(x)>0得，x>lna，或0<x<1，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；由f′(x)<0得，1<x<lna，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．綜上可知，當(dāng)a≤1時，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減．當(dāng)1<a<e時，函數(shù)f(x)在(0，lna)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(lna，1)上單調(diào)遞減．當(dāng)a＝e時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)a>e時，函數(shù)f(x)在(0，1)和(lna，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，lna)上單調(diào)遞減．規(guī)律方法用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟第一步：確定函數(shù)f(x)的定義域；第二步：求導(dǎo)數(shù)f′(x)；第三步：分析參數(shù)對區(qū)間端點、最高次項的系數(shù)的影響，以及不等式解集的端點與定義域的關(guān)系，恰當(dāng)確定參數(shù)的不同范圍，并進(jìn)行分類討論；第四步：在不同的參數(shù)范圍內(nèi)，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．注意：在研究函數(shù)的單調(diào)性時，當(dāng)f′(x)為二次函數(shù)型時，要特別關(guān)注如下思考路徑：f′(x)是否為偽二次；開口方向；因式分解(Δ)；比較根的大小．并且始終要關(guān)注函數(shù)的定義域．典例解析：題型一

求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（三次函數(shù)）解：f′(x)＝－ax2＋2x＝－x(ax－2)，①當(dāng)a＝0時，f(x)＝x2＋1，f′(x)＝2x，其單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．②當(dāng)a<0時，令f′(x)>0，(－ax＋2)x>0，綜上所述，當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)；例題

設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在區(qū)間(1,＋∞)內(nèi)是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍．解：f

′(x)＝3x2＋a.∵f

(x)在(1,＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，∴3x2＋a≥0對x∈(1,＋∞)恒成立，

即a≥－3x2對x∈(1,＋∞)恒成立.又當(dāng)x∈(1,＋∞)時，－3x2<－3，

∴a≥－3.典例解析：分離參數(shù)法（題型二

由單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍）∴實數(shù)a的取值范圍是[－3,＋∞)分離參數(shù)法重要方法∵函數(shù)在(0,1]上單調(diào)遞增小試牛刀題型二由單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝x3－ax＋b.(1)若函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；例2解：f′(x)＝3x2－a.若函數(shù)f(x)＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．則f′(x)＝3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，則a≤(3x2)min.因為x>1，所以3x2>3.所以a≤3，即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，3]．(2)若函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，求a的值．此時，函數(shù)f(x)＝x3－ax＋b在R上單調(diào)遞增，與題意不符；因為(1，＋∞)是函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間，變式探究1．(變條件)若函數(shù)f(x)＝x3－ax＋b的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，1)，求實數(shù)a的值．解：由題意得f′(x)＝3x2－a，函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)．①當(dāng)a≤0時，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，與已知矛盾，不符合題意；又函數(shù)f(x)＝x3－ax＋b的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，1)，2．(變條件)若函數(shù)f(x)＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍又如何？解：f′(x)＝3x2－a，當(dāng)a≤0時，f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上不單調(diào)，即f′(x)＝3x2－a＝0在區(qū)間(1，＋∞)上有實根．所以a>3，所以實數(shù)a的取值范圍為(3，＋∞)．規(guī)律方法1．已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應(yīng)注意參數(shù)的取值是f′(x)不恒等于0的參數(shù)的范圍，然后檢驗參數(shù)取“＝”時是否滿足題意．2．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為f′(x)＝0在(a，b)上有解(需驗證解的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號)．對點練2.

若函數(shù)f(x)＝2x2＋lnx－ax是定義域上的增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．解：因為f(x)＝2x2＋lnx－ax的定義域為(0，＋∞)，且是(0，＋∞)上的增函數(shù)，所以g(x)min＝4.所以a≤4.所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，4]．題型三已知函數(shù)的單調(diào)性比較大小(或解不等式)例3A．{x|x>－2020} B．{x|x<－2020}C．{x|－2024<x<0} D．{x|－2024<x<－2020}√構(gòu)造g(x)＝x2f(x)，則g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，因為定義域為(0，＋∞)，且xf′(x)＋2f(x)>0，所以g′(x)>0，所以函數(shù)g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不等式

可化為(x＋2024)2f(x＋2024)<42f(4)，即g(x＋2024)<g(4)，所以有0<x＋2024<4，解得－2024<x<－2020.即不等式的解集為{x|－2024<x<－2020}．故選D.規(guī)律方法已知不等式構(gòu)造函數(shù)，常利用乘積或商的導(dǎo)數(shù)，然后對構(gòu)造的函數(shù)判斷單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性比較大小或解不等式即可．對點練3.