第=page11頁，共=sectionpages11頁江西省萍鄉市2025屆高三下學期二模考試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知一組數據為：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，則這組數據的75%分位數是(

)A.114 B.115 C.120.5 D.1212.過點P(3,1)作圓C:x2+y2+2x+4y?4=0的切線，記其中一個切點為A.16 B.4 C.21 D.3.已知等差數列{an}滿足：a3+aA.1 B.2 C.13 D.4.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=π2，AA.π4 B.π3 C.π25.已知點P(?4,0)及拋物線C:y2=4x上一點Q，若線段PQ的垂直平分線經過C的焦點，則Q的橫坐標為A.3 B.4 C.5 D.66.將六個連續的整數隨機排成一行，則從左到右先遞增再遞減的排列方式有(

)A.720種 B.120種 C.32種 D.30種7.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，5sinA1+cosA+A.3 B.32 C.3 8.已知定義在R上的函數f(x)滿足：f(π2)=12e，且?x，y∈R，都有esinA.12e B.1e C.e 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A?U，B?U，且滿足：A∩B={3,5}，(?UA)∩(?A.4∈A B.6∈A∪B

C.集合A可能是{1,3,5,6} D.(10.已知定義在R上的函數f(x)滿足：f(x)+f(x+1)=1，且當x∈[0,1)時，f(x)=2x?3A.f(x)的最小正周期為2

B.f(x)在(2024,2025)上單調遞增

C.f(x)在(2025,2026)上單調遞增

D.對?n∈Z，都有f(4n)=f(4n?3)+111.若數列{an}的前n項中，最大項為An，最小項為Bn，則稱數列{An?A.若數列{an}是等差數列，則它的極差數列{An?Bn}也是等差數列

B.若數列{an}的極差數列{An?Bn}三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若復數z滿足：(z+2i)(2+i)=3?i，其中i為虛數單位，則|z|=

．13.若隨機事件A，B滿足：P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(B|A)=0.5，則P(B|A)=

．14.已知三棱錐A?BCD外接球的球心O為棱AB的中點，若AB=4，CD=3，則該三棱錐體積的最大值為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)DeepSeekApp于2025年1月11日正式發布并上線，它憑借創新的功能和極富吸引力的用戶體驗，在社交媒體上引發了廣泛的討論和分享，形成了強大的口碑效應.DeepSeek公司最近開發了一款新的推薦算法，為了測試該算法在不同年齡段用戶群體中的效果，公司進行了一項調查，調查樣本的統計結果如下表所示(單位：人)．效果18?30歲用戶人數31?50歲用戶人數有效120x無效y70總計150150(1)求出x，y的值，并在顯著性水平為0.005的情況下，判斷推薦算法的效果是否與用戶年齡段有關;(2)以頻率估計概率，在所有效果為有效的人群中抽取3人，求恰有2人為31?50歲用戶年齡段的概率．附：χ2=n(ad?bcα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小題15分)

如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，FA=FC，且∠DAB=∠DBF=60°．

(1)求證：平面ABCD⊥平面BDEF;(2)設點P滿足BP=λBF(λ>0)，直線AE與平面APC所成角的正弦值為3017.(本小題15分)已知函數f(x)=(1)證明：函數g(x)=(x?1)[f(x)?1]有且只有一個極值點;(2)若關于x的方程f(x)=bx2?bx在區間[1,2]上恰有兩個實數根，求實數18.(本小題17分)已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求橢圓Γ的標準方程;(2)若點G在橢圓Γ上，點H在圓C:x2+y2=12上，直線GH為Γ(3)直線l:y=k(x?3)交橢圓Γ于M，N兩點，交y軸于點D.T為直線l上一點，滿足2OT=OM+ON，其中O為坐標原點，過點D作直線OT的垂線交OT于點Q，問是否存在一點R，使得QR的長度為定值?若存在，求出點19.(本小題17分)已知x∈R，n為正整數，對于函數fn(x)=anxn+an?1xn?1+?+a1x+(1)求f(2)證明：對任意正整數n，都有f(3)若函數g(x)=12[f6(x)+1]+k有一個絕對值不大于1的零點，證明：參考答案1.D

2.B

3.D

4.C

5.B

6.D

7.A

8.A

9.BCD

10.ACD

11.AD

12.13.0.2514.715.(1)由題意得：x=80，y=30;

計算χ2=300×(120×70?30×80)2200×100×150×150=24>7.879，

所以在顯著性水平為0.005的情況下，認為推薦算法的效果與用戶年齡段有關;

(2)樣本的推薦算法有效的群體中抽到為31?50歲用戶年齡段的頻率為80200=25，

以頻率估計概率，即推薦算法有效的群體中抽到為31?50歲用戶年齡段的概率為2516.解：(1)證明：連接AC交BD于點O，因為ABCD為菱形，所以AC⊥BD?①，

且AO=OC，又FA=FC，則AC⊥FO?②，且BD∩FO=O?③，

由?①?②?③可知，AC⊥面BDEF，又AC?面ABCD，故平面ABCD⊥平面BDEF;

(2)以O為原點，OA，OB，OF方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系O?xyz，

設AB=2，則A(3,0,0)，E(0,?2,3)，B(0,1,0)，F(0,0,3)，P(0,1?λ,3λ)，

AE=(?3,?2,3)，OA=(3,0,0)，AP=(?3,1?λ,3λ)，

設平面APC的法向量為n=(x,y,z)，17.(1)證明：由題意知，g(x)=(x?1)(lnx?1)，所以g′(x)=lnx?1x，

顯然g′(x)在(0,+∞)上單調遞增，

且g′(1)=?1<0，g′(2)=ln2?12=ln4?12>0，

故g′(x)在(0,+∞)上有且只有一個零點x0，

且g(x)在(0,x0)上單調遞減，在(x0,+∞)上單調遞增，

即g(x)在(0,+∞)上有且只有一個極值點;

(2)解：因為x∈[1,2]，當x=1時，方程lnx=bx2?bx成立，

故只需方程lnx=bx2?bx在x∈(1,2]上有且只有一個實數根，

而當x∈(1,2]時，x2?x>0，所以只需方程b=lnxx2?x在x∈(1,2]上有且只有一個實數根，

令φ(x)=lnxx2?x(x∈(1,2])，

則φ′(x)=(x?1)?(2x?1)lnx(x2?x)2(x∈(1,2])，

再令m(x)=(x?1)?(2x?1)lnx(x∈(1,2])，

得m′(x)=1x?1?2lnx，

顯然m′(x)在x∈(1,2]上單調遞減，

所以m′(x)<m′(1)=0，即m′(x)<0，

所以m(x)在x∈(1,2]上單調遞減，

所以m(x)<m(1)=0，即φ′(x)<0，

所以φ(x)在x∈(1,2]上單調遞減，

當x→1時，φ(x)→1，所以φ(x)∈[ln22,1)，

即實數b的取值范圍為[ln22,1)．

18.解：.(1)因為P(c,94)在Γ上，則c2a2+8116b2=1???①，

又離心率ca=74???②，且a2=b2+c2???③，

聯立?①?②?③解得：a=4，b=3，c=7，故橢圓Γ的標準方程為：x216+y29=1;

(2)設G(xG,yG)，H(xH,yH)，由對稱性，不妨設直線GH:y=kx+m(k>0,m>0)19.解：(1)因為cos3θ=cosθcos2θ?sinθsin2θ=cosθ(2cos2θ?1)?2sin2θcosθ=4cos3θ?3cosθ，

所以f3(x)=4x3?3x;

(2)因為cos?(n+2)x=cos?[(n+1)x+x]=cos?(n+1)x?cosx?sin?(n+1)x?sinxcos?(nx)=cos?[(n+1)x?x]=cos?(n+1)x?