第03講一元一次不等式組【題型1一元一次不等式組的定義】【題型2解一元一次不等式組】【題型3一元一次不等式組的整數(shù)解】【題型4一元一次不等式組的應用-盈不足問題】【題型5一元一次不等式組的應用-方案問題】考點1：一元一次不等式組的定義一般地，由幾個同一未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式。【題型1一元一次不等式組的定義】【典例1】（2022?豐順縣校級開學）下列不等式組為一元一次不等式組的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A．是一元一次不等式組，故本選項符合題意；B．是二元一次不等式組，不是一元一次不等式組，故本選項不符合題意；C．是一元二次不等式組，不是一元一次不等式組，故本選項不符合題意；D．是二元一次不等式組，不是一元一次不等式組，故本選項不符合題意；故選：A．【變式1-1】（2022春?高新區(qū)校級月考）下列不等式組是一元一次不等式組的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、是二元一次不等式組，故本選項不符合題意；B、是一元一次不等式組，故本選項符合題意；C、是一元二次不等式組，故本選項不符合題意；D、是二元一次不等式組，故本選項不符合題意；故選：B．【變式1-2】（2022春?磁縣期末）下列選項中是一元一次不等式組的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、含有三個未知數(shù)，不符合題意；B、未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不符合題意；C、含有兩個未知數(shù)，不符合題意；D、符合一元一次不等式組的定義，符合題意；故選：D考點2：一元一次不等式組的解集考點3：解一元一次不等式組的步驟：（1）求分解，分別解不等式組中的每一個不等式，并求出它們的解；（2）畫公解，將每一個不等式的解集畫在同一數(shù)軸上，并找出它們的公共部分；（3）寫組解，將（2）步中所確定的公共部分用不等式表示出來，就是原不等式組的解集。【題型2解一元一次不等式組】【典例2】（2023秋?鹿城區(qū)校級期中）解不等式組，并在數(shù)軸上表示該不等式組的解集．【答案】﹣1＜x＜3，數(shù)軸見解答．【解答】解：，解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x＜3，∴原不等式組的解集為：﹣1＜x＜3，∴該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：．【變式2-1】（2023秋?大興區(qū)期中）解不等式組：．【答案】1＜x≤5．【解答】解：，由①得：x≤5，由②得：x＞1，則不等式組的解集為1＜x≤5．【變式2-2】（2023秋?海曙區(qū)期中）解不等式組，并將其解集表示在數(shù)軸上．【答案】﹣4＜x＜2，數(shù)軸見解答．【解答】解：解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x＞﹣4，∴原不等式組的解集為：﹣4＜x＜2，∴該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：．【變式2-3】（2023春?興義市校級期末）求下列不等式組的解集：（1）；（2）．【答案】（1）3＜x＜；（2）0＜x＜2．【解答】解：（1）由3x＞x+6得：x＞3，由x＜﹣x+5得：x＜，則不等式組的解集為3＜x＜；（2）由2x﹣1＜5﹣2（x﹣1）得：x＜2，由＞1得：x＞0，則不等式組的解集為0＜x＜2．【題型3一元一次不等式組的整數(shù)解】【典例3】（2022秋?北海期末）解不等式組，把它的解集在是數(shù)軸上表示出來，并寫出不等式組的非負整數(shù)解．【答案】，在數(shù)軸上表示見解析，0，1，2，3．【解答】解：，由①解得：，由②解得：x＜4，所以，不等式組的解集為，將解集在數(shù)軸上表示出來如下：故不等式組的非負整數(shù)解為：0，1，2，3．【變式3-1】（2022秋?來賓期末）解不等式組：，并指出它的所有的非負整數(shù)解．【答案】﹣2＜x＜5，0，1，2，3，4．【解答】解：，解不等式①，得x＜5，解不等式②，得x＞﹣2，所以不等式組的解集是﹣2＜x＜5，將該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖1所示由數(shù)軸可知，它的所有的非負整數(shù)解為0，1，2，3，4．【變式3-2】（2022秋?鶴城區(qū)校級期末）對于不等式組．（1）求這個不等式組的解集，并在數(shù)軸上表示出來；（2）寫出這個不等式組的整數(shù)解．【答案】（1）＜x≤4．見數(shù)軸；（2）3，4．【解答】解：把原不等式組簡化為，由①得x＞，由②得x≤4，解得＜x≤4，這個不等式組的解集為＜x≤4．在數(shù)軸上表示：（2）這個不等式組的整數(shù)解是：3，4．【變式3-3】（2023秋?朝陽區(qū)校級期中）解不等式組，并寫出其所有整數(shù)解．【答案】﹣≤x＜2；x＝﹣2，﹣1，0，1．【解答】解：由①得：x＜2，由②得：x≥﹣，故不等式組的解集是﹣≤x＜2，它的所有整數(shù)解有x＝﹣2，﹣1，0，1．考點3：一元一次不等式組的應用步驟如下：（1）審：審清題意，找出已知量和未知量；（2）設：設出適當?shù)奈粗獢?shù)（只能設一個未知數(shù)）；（3）找：找出反映題目數(shù)量關系的不等關系；（4）列：用代數(shù)式表示不等關系中的量，列不等式組；（5）解：解不等式組，并用數(shù)軸上表示它的解集；（6）寫出答案（包括單位名稱）。【題型4一元一次不等式組的應用-盈不足問題】【典例4】（2022春?郫都區(qū)期末）一群女生住x間宿舍，每間住4人，剩下18人無房住，每間住6人，有一間宿舍住不滿，但有學生住．（1）用含x的代數(shù)式表示女生人數(shù)．（2）根據(jù)題意，列出關于x的不等式組，并求不等式組的解集．（3）根據(jù)（2）的結論，問一共可能有多少間宿舍，多少名女生？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵一群女生住x間宿舍，每間住4人，剩下18人無房住，∴女生人數(shù)為（4x+18）（人）．（2）依題意得：，解得：9＜x＜12．（3）由（2）知9＜x＜12，∵x為正整數(shù)，∴x＝10或x＝11．當x＝10時，女生人數(shù)為4x+18＝58（人）；當x＝11時，女生人數(shù)為4x+18＝62（人）．答：可能有10間宿舍，女生58人；或者有11間宿舍，女生62人．【變式4-1】（2023春?鹽山縣期末）安排學生住宿，若每間住4人，則還有17人無房可住；若每間住6人，則還有一間不空也不滿，則宿舍的房間數(shù)量可能為9或10或11．【答案】9或10或11．【解答】解：設共有x間宿舍，則共有（4x+17）個學生，依題意得：，解得：．又∵x為正整數(shù)，∴x＝9或10或11．故答案為：9或10或11．【變式4-2】（2022春?平潭縣期末）把一些書分給幾名同學，如果每人分4本，那么余9本；如果前面的每名同學分6本，那么最后一人就分得不超過2本，則這些書有37本．【答案】37本．【解答】解：設共有x名同學分書，則這批書共有（4x+9）本，依題意，得：，解得：≤x＜，又∵x為正整數(shù)，∴x＝7，∴4x+9＝37．∴這些書有37本．故答案為：37本．【變式4-3】（2023春?宜陽縣期末）某校有若干女生住校，若每個房間住4人，則還剩20人未住下；若每個房間住8人，則僅有一間房未住滿，求該校女生宿舍的房間數(shù)．（提示：用不等式組求解）【答案】該校女生宿舍的房間數(shù)為6．【解答】解：設該校有x間女生宿舍，則有女生（4x+20）人，依題意得：，解這個不等式組得：5＜x＜7，∵x為整數(shù)，∴x＝6，答：該校女生宿舍的房間數(shù)為6．【變式4-4】（2023春?長嶺縣期中）把若干個蘋果分給幾名小朋友，如果每人分給3個，則余下8個；每人分給5個，則最后一個分得的蘋果不足5個，問共有多少名小朋友？多少個蘋果？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設共有x名小朋友，根據(jù)題意得：，解得：4＜x＜6.5，∵x只能取整數(shù)，∴x＝5，3x+8＝15+8＝23；或x＝6，3x+8＝18+8＝26．答：共有5名小朋友，23個蘋果；或共有6名小朋友，26個蘋果．【題型5一元一次不等式組的應用-方案問題】【典例5】（2022秋?港北區(qū)期末）在北京進行的2022年冬季奧運會和冬季殘奧會備受世界人士關注．吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具隨之大賣，購買8個“冰墩墩”和4個“雪容融”玩具共需960元，購買6個“冰墩墩”和8個“雪容融”玩具共需1020元．（1）分別求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的銷售單價．（2）若每個“冰墩墩”玩具制作成本為60元，每個“雪容融”玩具成本為40元，準備制作兩種吉祥物玩具共100個，總成本不超過5000元，且銷售完該批次吉祥物玩具，利潤不低于2480元，請問有哪幾種制作方案？【答案】（1）“冰墩墩”的銷售單價為90元，“雪容融”的銷售單價為60元；（2）有3種制作方案：①制作48個“冰墩墩”，52個“雪容融”；②制作49個“冰墩墩”，51個“雪容融”；③制作50個“冰墩墩”，50個“雪容融”．【解答】解：（1）設“冰墩墩”的銷售單價為x元，“雪容融”的銷售單價為y元，依題意得：，解得：，答：“冰墩墩”的銷售單價為90元，“雪容融”的銷售單價為60元．（2）設制作m個“冰墩墩”，則制作（100﹣m）個“雪容融”，依題意得：，解得：48≤m≤50，∵m為正整數(shù)，∴m的值為48、49、50，∴有3種制作方案：①制作48個“冰墩墩”，52個“雪容融”；②制作49個“冰墩墩”，51個“雪容融”；③制作50個“冰墩墩”，50個“雪容融”．【變式5-1】（2022秋?北侖區(qū)期末）疫情防控期間，政府為人民提供了充足的物資保障．根據(jù)物資品類不同，可分為A類物資和B類物資．已知1箱A類物資和2箱B類物資價值280元，2箱A類物資和1箱B類物資價值260元．（1）求1箱A類物資和1箱B類物資各價值多少元？（2）某小區(qū)共需準備200箱物資，其中B類物資的數(shù)量不少于118箱，且不多于A類物資數(shù)量的1.5倍，請問有哪幾種準備物資的方案？哪種方案的總價值最少？【答案】（1）1箱A類物資價值80元，1箱B類物資價值100元；（2）該小區(qū)共有3種準備物資的方案，方案1：準備80箱A類物資，120箱B類物質(zhì)；方案2：準備81箱A類物資，119箱B類物質(zhì)；方案3：準備82箱A類物資，118箱B類物質(zhì)，方案3的總價值最少．【解答】解：（1）設1箱A類物資價值x元，1箱B類物資價值y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：1箱A類物資價值80元，1箱B類物資價值100元；（2）設該小區(qū)需準備m箱A類物資，則需準備（200﹣m）箱B類物質(zhì)，根據(jù)題意得：，解得：80≤m≤82，又∵m為正整數(shù)，∴m可以為80，81，82，∴該小區(qū)共有3種準備物資的方案，方案1：準備80箱A類物資，120箱B類物質(zhì)；方案2：準備81箱A類物資，119箱B類物質(zhì)；方案3：準備82箱A類物資，118箱B類物質(zhì)．方案1的總價值為80×80+100×120＝18400（元），方案2的總價值為80×81+100×119＝18380（元），方案3的總價值為80×82+100×118＝18360（元）．∵18400＞18380＞18360，∴方案3的總價值最少．【變式5-2】（2022秋?余姚市期末）在我市中小學標準化建設工程中，某學校計劃購進一批電腦和電子白板，經(jīng)過市場考察得知，購買1臺電腦和2臺電子白板需要3.5萬元，購買2臺電腦和1臺電子白板需要2.5萬元．（1）求每臺電腦、每臺電子白板各多少萬元？（2）根據(jù)學校實際，需購進電腦和電子白板共30臺，總費用不超過30萬元，但不低于28萬元，該校有幾種購買方案？（3）上面的哪種方案費用最低？按費用最低方案購買需要多少錢？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設每臺電腦x萬元，每臺電子白板y萬元，根據(jù)題意得：解得：，答：每臺電腦0.5萬元，每臺電子白板1.5萬元．（2）設需購進電腦a臺，則購進電子白板（30﹣a）臺，則，解得：15≤a≤17，即a＝15、16、17．故共有三種方案：方案一：購進電腦15臺，電子白板15臺；方案二：購進電腦16臺，電子白板14臺；方案三：購進電腦17臺，電子白板13臺．（3）方案一：總費用為15×0.5+1.5×15＝30（萬元）；方案二：總費用為16×0.5+1.5×14＝29（萬元），方案三：17×0.5+1.5×13＝28（萬元），∵28＜29＜30，∴選擇方案三最省錢，即購買電腦17臺，電子白板13臺最省錢．需要28萬元．【變式5-3】（2023春?碑林區(qū)校級期末）某體育館計劃從一家體育用品商店一次性購買若干個氣排球和籃球（每個氣排球的價格都相同，每個籃球的價格都相同）．經(jīng)洽談，購買1個氣排球和2個籃球共需210元；購買2個氣排球和3個籃球共需340元．（1）每個氣排球和每個籃球的價格各是多少元？（2）該體育館決定從這家體育用品商店一次性購買氣排球和籃球共50個，總費用不超過3200元，且購買氣排球的個數(shù)少于30個，有哪幾種購買方案？【答案】（1）每個氣排球的價格是50元，每個籃球的價格是80元；（2）購買方案三種：①購買排球29個，籃球21個，②購買排球28個，籃球22個，③購買排球27個，籃球23個．【解答】解：（1）設每個氣排球的價格是x元，每個籃球的價格是y元．根據(jù)題意得：，解得：，所以每個氣排球的價格是50元，每個籃球的價格是80元．（2）設購買氣排球n個，則購買籃球（50﹣n）個．根據(jù)題意得：，解得，又∵n為正整數(shù)，∴排球的個數(shù)可以為27，28，29，∴購買方案三種：①購買排球29個，籃球21個，②購買排球28個，籃球22個，③購買排球27個，籃球23個．【變式5-4】（2023春?曲阜市期末）為了慶祝建黨102周年，學校準備舉辦“我和我的祖國”演講比賽．學校計劃為比賽購買A、B兩種獎品．已知購買1個A種獎品和4個B種獎品共需120元；購買5個A種獎品和6個B種獎品共需250元．（1）求A，B兩種獎品的單價．（2）學校準備購買A，B兩種獎品共60個，且B種獎品的數(shù)量不少于A種獎品數(shù)量的，購買預算不超過1285元，請問學校有哪幾種購買方案．【答案】（1）A種獎品的單價為20元，B種獎品的單價為25元；（2）學校有三種購買方案：方案一、購買A種獎品43個，購買B種獎品17個；方案二、購買A種獎品44個，購買B種獎品16個；方案三、購買A種獎品45個，購買B種獎品15個．【解答】解：（1）設A種獎品的單價為x元，B種獎品的單價為y元，由題意得：，解得：．答：A種獎品的單價為20元，B種獎品的單價為25元；（2）設購買A種獎品m個，則購買B種獎品（40﹣m）個，由題意得：，解得：43≤m≤45，∵m為整數(shù)，∴m可取43或44或45，∴60﹣m＝17或16或15，∴學校有三種購買方案：方案一、購買A種獎品43個，購買B種獎品17個；方案二、購買A種獎品44個，購買B種獎品16個；方案三、購買A種獎品45個，購買B種獎品15個．一．選擇題（共8小題）1．（2024?北流市一模）不等式組的解集是（）A．x≥3 B．﹣2＜x＜3 C．﹣2＜x≤3 D．x＜﹣2【答案】A【解答】解：，由①得：x＞﹣2，由②得：﹣x≤2﹣5，﹣x≤﹣3，x≥3，∴不等式組的解集為：x≥3，故選：A．2．（2023秋?衢州期末）小明為了估算玻璃球的體積，做了如下實驗：在一個容量為600cm3的杯子中倒入420cm3的水；再將同樣的玻璃球逐個放入水中，發(fā)現(xiàn)在放第5個時水未滿溢出，但當放入第6個時，發(fā)現(xiàn)水滿溢出．根據(jù)以上的過程，推測這樣一顆玻璃球的體積范圍是（）A．25cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，33cm3以下 C．30cm3以上，36cm3以下 D．33cm3以上，36cm3以下【答案】C【解答】解：根據(jù)題意，設一顆玻璃球的體積為xcm3，則有：，解得：30＜x＜36，∴一顆玻璃球的體積在30cm3以上，36cm3以下，故選：C．3．（2024?朝陽區(qū)一模）如圖表示的是一個不等式組的解集，則這個不等式組的解集是（）A．1＜x＜2 B．1≤x＜2 C．1＜x≤2 D．1≤x≤2【答案】C【解答】解：不等式組的解集是1＜x≤2．故選：C．4．（2024春?高州市月考）若不等式組的解集為x＜4，則a的取值范圍為（）A．a(chǎn)≤﹣4 B．a(chǎn)≥﹣4 C．a(chǎn)＞﹣4 D．a(chǎn)＝﹣4【答案】A【解答】解：由不等式x+a＜0得x＜﹣a，由不等式x﹣4＜0得x＜4，∵不等式組的解集為x＜4，∴﹣a≥4，解得：a≤﹣4，故選：A．5．（2023秋?西湖區(qū)期末）甲乙兩人去超市購物，超市正在舉辦摸彩活動，單次消費金額每滿100元可以拿到1張摸彩券．已知甲一次購買5盒餅干拿到3張摸彩券；乙一次購買5盒餅干與1個蛋糕拿到4張摸彩券，若每盒餅干的售價為x元，每個蛋糕的售價為120元，則x的取值范圍是（）A．56≤x＜76 B．56≤x＜80 C．60≤x＜76 D．60≤x＜80【答案】C【解答】解：由題意得：，解得：60≤x＜76，故選：C．6．（2024春?埇橋區(qū)校級期中）不等式組的整數(shù)解的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：解不等式2x+3＞0，得：x＞﹣，解不等式﹣3x+5≥0，得：x≤，則不等式組的解集為﹣＜x≤，∴不等式組的整數(shù)解有﹣1、0、1這3個，故選：C．7．（2023?眉山）關于x的不等式組的整數(shù)解僅有4個，則m的取值范圍是（）A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣3【答案】A【解答】解：解不等式組得：m+3＜x＜3，由題意得：﹣2≤m+3＜﹣1，解得：﹣5≤m＜﹣4，故選：A．8．（2023春?仁壽縣校級期中）下面是一個運算程序圖，若需要經(jīng)過三次運算才能輸出結果y，則輸入的x的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：根據(jù)題意，得，解得，則不等式組的解集為，故選：D．二．填空題（共4小題）9．（2024春?蓮湖區(qū)期中）不等式組2＜x﹣3≤7的解集是5＜x≤10．【答案】5＜x≤10．【解答】解：由x﹣3＞2，得：x＞5；由x﹣3≤7，得：x≤10，∴不等式組的解集為：5＜x≤10．故答案為：5＜x≤10．10．（2023秋?邵陽縣期末）疫情期間，有一批患者要入住邵陽市中心醫(yī)院的某棟大樓，若每間住4人，則有38人無法入住；若每間住5人，則最后一間沒住滿．若設房間數(shù)為x間，則可列不等式組為：或或（答案不唯一）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：若設房間數(shù)為x間，由題意可得：或或．故答案為：或或（答案不唯一）．11．（2024春?青島期中）若不等式組有解，則k的取值范圍是k＜4．【答案】k＜4．【解答】解：∵不等式組有解，∴k＜4，故答案為：k＜4．12．（2024?洛陽模擬）不等式組的所有整數(shù)解的和為2．【答案】2．【解答】解：，解不等式①得x＞﹣2，解不等式②得，∴不等式組的解集是，∴不等式組所有整數(shù)解是：﹣1，0，1，2，∴不等式組所有整數(shù)解的和為﹣1+0+1+2＝2．故答案為：2．三．解答題（共4小題）13．（2024?榆次區(qū)一模）解不等式組：，并把它的解集表示在數(shù)軸上．【答案】1＜x≤3．【解答】解：解不等式2（x+2）＞4，得：x＞1，解不等式，3x≤x+