山西省呂梁市部分學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．若是正整數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．10 B．24 C．35 D．454．現(xiàn)有5個(gè)編號(hào)不同的小球和3個(gè)不同的盒子，若將小球全部放入盒子中，不同的方法有（

）A．243種 B．125種 C．60種 D．20種5．由0，1，2，3，4，5所組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．360 B．280 C．156 D．1506．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．40 B．60 C．80 D．1208．已知直線的斜率為正，且a，b，，則符合上述條件的不同的直線條數(shù)為（

）A．40 B．20 C．17 D．15二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)，，則下列命題正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．已知，則（

）A．曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．1是函數(shù)的極大值點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)， D．不等式的解集為11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為棱AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列命題正確的有（

）

A．存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得B．存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得C．若，則點(diǎn)到平面的距離的最大值為2D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知為正整數(shù)，若，則．13．若，則的值被4除的余數(shù)為．14．某環(huán)保局派遣包括張三，李四，王五在內(nèi)的12名工作人員到A，B，C三個(gè)鎮(zhèn)開(kāi)展環(huán)境保護(hù)的宣傳工作，每個(gè)鎮(zhèn)至少派遣3人，因工作需要，張三，李四，王五3人要派遣到同一個(gè)鎮(zhèn)，則不同的派遣方案共有種．（結(jié)果用數(shù)字表示）四、解答題（本大題共5小題）15．已知在展開(kāi)式中第二?三?四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，且(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．16．已知數(shù)列滿足，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，且為遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．現(xiàn)從一副撲克牌中抽取紅桃A、紅桃2、紅桃3到紅桃10、小王和大王共12張牌(1)從這12張牌中隨機(jī)抽取3張，求紅桃A被抽到，且小王和大王只有一個(gè)被抽到的抽取方法共有多少種？(2)從這12張牌中隨機(jī)抽取3張，求小王和大王2張中至少有1張被抽到，且紅桃A沒(méi)有被抽到的不同抽取方法共有多少種？(3)將紅桃5到紅桃10這6張撲克牌擺成一排，使得紅桃9和紅桃10相鄰，且紅桃5、紅桃6、紅桃7恰有兩張相鄰，求不同的擺放方法共有多少種？18．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線的左，右焦點(diǎn)均為，，且的離心率為，直線與交于A，B兩點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若直線過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)為線段BC的中點(diǎn)，求直線的方程；(3)若直線OA與直線OB的斜率之積為，證明：的面積為定值．19．用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．（1）已知函數(shù)，求曲線在處的曲率的值；（2）已知函數(shù)，求曲線在點(diǎn)處的曲率的最大值；（3）對(duì)（2）中的，記，證明：在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．

參考答案1．【答案】D【詳解】由，得，則，所以．故選D.2．【答案】B【詳解】由，且都為正整數(shù)，故．故選B.3．【答案】C【詳解】，則展開(kāi)式中項(xiàng)為，即項(xiàng)的系數(shù)為35．故選C．4．【答案】A【詳解】由題知，每個(gè)小球有3種放法，所以5個(gè)小球的放置方式共有種．故選A.5．【答案】C【詳解】若個(gè)位上的數(shù)字為0，可以組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)的偶數(shù)，若個(gè)位上的數(shù)字為2或4，可以組成，故可以組成個(gè)符合條件的數(shù)．故選C6．【答案】B【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減，可知在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選B．7．【答案】D【詳解】展開(kāi)式中的項(xiàng)可以看成在5個(gè)因式中，有1個(gè)因式中取，剩下的4個(gè)因式中2個(gè)取個(gè)取相乘而得，即,所以展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為120．故選D．8．【答案】C【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為正，則，當(dāng)時(shí)，的取值有2種取法，的取值有2種取法，的取值有5種取法，共有種取法，其中和和和表示同一條直線，故符合條件的直線共有條．當(dāng)時(shí)，此時(shí)所得直線與時(shí)所得直線相同．故選C．9．【答案】BC【詳解】對(duì)于A，取，顯然滿足，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋裕蔅正確；對(duì)于C，因?yàn)椋裕蔆正確；對(duì)于D，取，滿足，但，所以，故D錯(cuò)誤．故選BC.10．【答案】ACD【詳解】由題意得曲線是由奇函數(shù)的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度而得，故曲線的對(duì)稱中心為，故A正確；，易得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以為的極大值點(diǎn)，1為的極小值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，故C正確；由上知，易求，所以，所以，故D正確．故選ACD．11．【答案】ACD【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)椋瑒t動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（含邊界）．設(shè)，則，，若存在，使得，

則，所以，即存在唯一點(diǎn)滿足條件，故A正確；

易知與均垂直于平面，連接，則，若，則，所以點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，同理可得，則點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上（均為側(cè)面內(nèi)部分），兩圓的圓心距，故兩圓弧相交（如圖所示），故符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)，對(duì)應(yīng)的有兩組，故B錯(cuò)誤；若，則點(diǎn)與三點(diǎn)共線，即在線段上，故當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，到平面的距離最遠(yuǎn)，可求平面的法向量，故到平面的距離，故C正確；易求，所以，所以，故點(diǎn)在線段上（如圖所示，其中分別為上靠近的四等分點(diǎn)），所以，故D正確．故選ACD．

12．【答案】3或7【詳解】因?yàn)椋瑒t，解得，由組合數(shù)性質(zhì)可知：或，解得或．13．【答案】3【詳解】令，得，因?yàn)椋援?dāng)為奇數(shù)時(shí)，展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，即，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正，即，所以，又，故被4除余3．14．【答案】【詳解】先分類討論人員分組情況：當(dāng)張三?李四?王五所在組恰有3人時(shí)，余下9人分成2組，有210種方法；當(dāng)張三?李四?王五所在組恰有4人時(shí)，先從其他9人中選1人到這組，再將余下8人分成2組，有種方法；當(dāng)張三?李四?王五所在組恰有5人時(shí)，先從其他9人中選2人到這組，余下7人分成2組，有種方法；當(dāng)張三?李四?王五所在組恰有6人時(shí)，先從其他9人中選3人到這組，余下6人分成2組，有種方法．再將三組人員分配到三個(gè)鎮(zhèn)：因?yàn)檫@三組分配到三個(gè)地區(qū)有種方法，所以安排方法總數(shù)為．15．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)檎归_(kāi)式中第二?三?四項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，所以，解得．（2）由（1）知，令，可得．（3）由題意知，為的系數(shù)，所以．16．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由，得，所以，所以，所以是以3為公比的等比數(shù)列，又，所以．（2）由（1）知，所以，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以恒成立，所以，即對(duì)任意正整數(shù)恒成立，即，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．17．【答案】(1)種(2)種(3)種【詳解】（1）若小王和大王有且只有一個(gè)被抽到，其抽取方法有2種，又紅桃被抽到，則在剩余的9張牌中隨機(jī)抽取1張，其抽取方法有9種，則不同的抽取方法共有種．（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：①小王和大王2張都被抽到，且紅桃A沒(méi)有被抽到，不同的抽取方法有種，②小王和大王2張中有且只有1張被抽到，且紅桃A沒(méi)有被抽到，不同的抽取方法有種．則共有種不同的抽取方法．（3）第一步：將紅桃9和紅桃10捆綁在一起有種方法，第二步：將紅桃5，紅桃6，紅桃7抽出2張捆綁在一起有種方法，第三步：將紅桃9，10組成的整體與紅桃8排，共有中排法，第四步：將紅桃種組成的兩部分插空到第三步排列形成的三個(gè)空中，有種，故共有種．18．【答案】(1)；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)殡p曲線的方程為，即，所以，所以．又，所以，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以．聯(lián)立，解得或，所以或，因?yàn)椋氲淖鴺?biāo)得，所以直線的方程為，即．（3）當(dāng)軸時(shí)，，由，得，所以，又，則，所以的面積為．當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線，由，得，即①，聯(lián)立，消去并整理，得所以，即，代入①，得，所以又點(diǎn)到直線的距離，所以的面積為，綜上，的面積為定