高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省2025屆高三模擬預測數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故選：B.2.已知向量，，若，則（）A.2 B.1 C.2或 D.1或【答案】A【解析】由已知得，解得.故選：A3.已知等差數列的前項和為，對任意，“數列為遞增數列”是“數列為遞增數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】對于充分性：當時，單調遞增，但不是單調遞增的，所以“數列為遞增數列”不能推出“數列為遞增數列”，充分性不成立；對于必要性：當時，單調遞增，但不是單調遞增的，所以“數列為遞增數列”不能推出“數列為遞增數列”，必要性不成立；所以“數列為遞增數列”是“數列為遞增數列”的既不充分也不必要條件.故選：D.4.已知某籃球運動員每次在罰球線上罰球命中的概率為，該籃球運動員某次練習中共罰球3次，已知該運動員沒有全部命中，則他恰好命中兩次的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令事件為“該運動員沒有全部命中”，令事件“恰好命中兩次”，則，，由條件概率知所求概率為，故選：B.5.下列函數是奇函數且在上單調遞增的為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于選項A，易知的定義域為，關于原點對稱，又函數，所以是奇函數，但在上單調遞減，故選項A不正確；對于選項B，函數的定義域為，關于原點對稱，又，所以奇函數，當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，故選項B不正確，對于選項C，，因為，所以的定義域為，又，所以是奇函數，又在上單調遞增，在定義域上單調遞增，所以在上單調遞增，故選項C正確，對于選項D，函數的定義域為，且，所以是偶函數，故選項D不正確，故選：C.6.若函數在上恰有兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，令得：，因為，所以，則在軸右側方程的相鄰三根依次為，解得，由題意可知，即，故得，即的取值范圍是.故選：B.7.已知底面半徑為的圓錐其軸截面面積為，過圓錐頂點的截面面積最大值為，若，則該圓錐的側面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】軸截面不是最大面積，軸截面頂角為鈍角，設母線長為，即，所以該圓錐的側面積.故選：A.8.已知分別為橢圓的左、右焦點，過點向圓引切線交橢圓于點（不在軸上），若的面積為，則橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，設圓與軸切于點，與切于點，設橢圓與軸正半軸交于點，下面證明，重合，設，，，而，與重合，即點是短軸的端點，，，則，所以，故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知集合，則下列結論正確是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】已知集合，當時，；當時，；當時，，對于A，由對集合分析知，故A不正確，對于C，由對集合分析知，故C正確；對于B，當時，，此時，故B正確；對于D，當時，，故D正確.故選：BCD.10.已知拋物線的焦點為，是拋物線上異于頂點的兩點，則下列結論正確的是（）A.若，則拋物線的準線方程為B.若是正三角形，則C.若點是垂心，則直線的方程為D.點可以是的外心【答案】BC【解析】對于A，將點代入中得，，可知拋物線的準線方程為，故A不正確；對于B，若是正三角形，設點在第一象限，直線的方程為，代入中得，，，故B正確；對于C，由題意可知軸，設，則，又，∵，∴，解得直線的方程為，故C正確；對于D，當點是的外心時，以為圓心，以為半徑的圓交于三點，聯立與，解得或，顯然不成立，故D不正確，故選：BC.11.已知函數，當時，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.最小值為14【答案】ACD【解析】對于A，的圖象是由的圖象向右平移2個單位長度而得到，如圖：，顯然A正確；對于B，，所以，即，故B不正確；對于C，由選項B可知，即，解得，當且僅當時取等號，，，故C正確；對于D，，當且僅當，即時取等號，故D正確故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在處的切線斜截式方程為__________.【答案】【解析】因為，，所以切線方程為，即.故答案為：13.若甲、乙等6人隨機排一排照相，則甲、乙不在兩端也不相鄰的概率為__________.【答案】【解析】6人排一排的總數為，甲，乙不在兩端也不相鄰有種排法，故所求概率為.故答案為：14.已知均為銳角，且，則__________.【答案】【解析】，即，由題可知，且，即，解得或（舍去），.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某初級中學為了響應國家提倡的素質教育，積極組織學生參加體育鍛煉，并定期進行成績測試.在某次測試中，該校隨機抽取了初二年級名男生的立定跳遠成績和米短跑成績，在立定跳遠成績大于等于的名男生中，米短跑成績小于等于的有人，在立定跳遠成績小于的男生中，米短跑成績大于的有人.單位：人立定跳遠成績米短跑成績合計小于等于大于大于等于小于合計（1）完成上面列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，分析立定跳遠成績是否與米短跑成績有關；（2）“立定跳遠成績小于”且“米短跑成績小于等于”的人數為，已知這人中有人喜愛運動，若從中任取人進行調研，設表示取出的喜愛運動的人數，求的分布列和數學期望.下面附臨界值表及參考公式：解：（1）列聯表如圖.單位：人立定跳遠成績米短跑成績合計小于等于大于大于等于小于合計零假設為：立定跳遠成績與米短跑成績無關，計算得，根據小概率的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為立定跳遠成績與米短跑成績有關，此推斷犯錯誤的概率不大于.（2）由（1）可知的可能取值為，則，，，其分布列為：所以數學期望為.16.如圖，在梯形中，分別是的中點，以為折痕將折起使到達的位置，得到四棱錐是的重心.（1）證明：平面；（2）當在底面上的射影落在上時，求平面和平面夾角的余弦值.（1）證明：是的中點，是正三角形，四邊形與是菱形，連接，則，延長交于點是的重心，是的中點，連接是的中點，，又不在平面內，平面平面.（2）解：取的中點，連接，由題可知點在底面上的射影為的中點，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，設平面的法向量為，則，令，則，設平面的法向量為，則，令，則，設平面和平面的夾角為，則，平面和平面夾角的余弦值為.17.在中，三個內角所對的邊分別為是的三等分點，且.（1）當的面積時，求的長；（2）當時，求邊上的高.解：（1），由余弦定理得，由，得，解得或，由題知，當時，由余弦定理得，則，即；同理當時，，綜上所述，或.（2），，即，聯立，可得，即，解得邊上的高為.18.求導是研究函數性質的一種方法，特別是利用導數的幾何意義來研究切線的斜率，這種方法也適用于圓錐曲線，我們可以將圓錐曲線方程視為復合函數，仿照復合函數的求導法則來進行，例如：圓的方程，為了求對的導數，可將看作的復合函數，將上式兩邊逐項對求導，則有：，于是得.已知直線與雙曲線相切于點的右焦點為，直線與直線交于點.（1）證明：直線的方程為；（2）證明：以為直徑的圓過點；（3）若，直線與兩條漸近線交于兩點，求的面積.（1）證明：因點在雙曲線上，可得即.對雙曲線的方程兩邊求導得，解得則在點處的切線斜率為，其切線方程為，整理得，即直線的方程為.（2）解：如圖，因直線與直線交于點.故，，則，，，，以為直徑的圓過點.（3）解：由（1）知直線的方程為，即，直線，.如圖，設，直線和漸近線聯立消元得，，又原點到直線的距離，的面積.19.洛必達法則對導數的研究產生了深遠的影響.洛必達法則：給定兩個函數，當時，.已知函數，.（1）證明：在區間上單調遞減；（2）對于恒成立，求實數的取值范圍；（3），證明：（附：）.（1）證明：，令，則，令，