21.3實際問題與一元二次方程

第3課時實際問題與一元二次方程(3)

一、導學

1.導入課題：如圖，要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，

正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形.如果要使四周的彩色邊

襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，

應如何設計四周邊襯的寬度(結果保留小數點后一位)？

2.學習目標：列一元二次方程解決圖形的面積問題.

3.學習重、難點：

重點：會列一元二次方程解決圖形的面積問題.

難點：會恰當設未知數列出方程.

4.自學指導：

(1)自學內容：教材第20頁到第21頁“探究3”.

(2)自學時間：10分鐘.

(3)自學方法：充分利用圖形尋找等量關系，再根據等量關系列出方程.

(4)探究提綱：

①根據題目的已知條件，得出上下邊襯與左右邊襯的寬度之比是27∶21=9∶7，你知道

是怎樣得出來的嗎？請你推一推.

設中央的矩形的長和寬分別是9acm和7acm.

由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是(27-9a)∶(21-7a)=9(3-a)∶7(3-a)=

9∶7

②書上設上、下邊襯的寬均為9xcm，而不是設為xcm，這樣做有什么好處？

列出的方程為整數式，方便計算

③解方程時課本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更簡便解法

嗎？

原方程可化為9(3-2x)·7(3-2x)=×27×21，

∴(3-2x)2=，∴x=.

④方程的哪個根符合實際意義？為什么？

x=x=符合實際意義，因為取x=，上、下邊襯的寬度之和會超過封面的長度，

不符合實際.

⑤如果設中央矩形的長為9x，根據課本上的等量關系，請你列方程求解.

設中央矩形的長為9xcm,則寬為7xcm.

⑥練習：要為一幅長29cm,寬22cm的照片配一個鏡框，要求鏡框的四條邊寬度相等，

且鏡框所占面積為照片面積的四分之一，鏡框的寬度應是多少厘米(結果保留小數點后一

位)？

設鏡框的寬度為xcm.

二、自學學生可參考自學指導進行自學.

三、助學

1.師助生：

(1)明了學情：教師深入課堂了解學生的自學進度，觀察學生是否能獨立推出上下邊襯

與左右邊襯的寬度比為9∶7.

(2)差異指導：根據學情進行個別指導或分類指導.

2.生助生：生生互動，交流研討.

四、強化

1.點學生板演探究提綱第⑤、⑥題，并點評.

2.幾何問題中設未知數的方法及等量關系.

3.“面積、體積問題”常用公式：

(1)直角三角形的面積公式，一般三角形的面積公式；

(2)正方形的面積公式，長方形的面積公式；

(3)梯形的面積公式；

(4)菱形的面積公式；

(5)平行四邊形的面積公式；

(6)圓的面積公式.

五、評價

1.學生的自我評價(圍繞三維目標)：在這節課的學習中你有什么收獲？還有哪些不足？

2.教師對學生的評價：

(1)表現性評價：點評學生的學習主動參與性、小組交流合作情況、學習方法和效果等.

(2)紙筆評價：課堂評價檢測.

3.教師的自我評價(教學反思)：

(1)面積問題的設置,力求以點帶面,了解列一元二次方程的步驟并能解答簡單的實際問

題，訓練題是對前面問題的延伸，使學生靈活運用解題的能力有很大的提高，對學生思維能

力的拓展、發散有很大的幫助.

(2)列一元二次方程解決實際問題是讓數學回歸生活，是對一元二次方程解法的延伸，

同時又是一元二次方程或二元一次方程組解決實際問題步驟的總結和內容的升華，列一元二

次方程解決實際問題是下章中學習用二次函數解決問題的基礎.

(時間：12分鐘滿分：100分)

一、基礎鞏固(60分)

1.(20分)從正方形鐵片的邊截去2cm寬的一個長方形，余下的面積是48cm2，則原來的

正方形鐵片的面積是(D)

A.8cmB.64cmC.8cm2D.64cm2

2.(20分)直角三角形的兩條直角邊的和是14cm,面積是24cm2.則其兩條直角邊長分別是

6cm、8cm.

3.(20分)在長方形鋼片上沖去一個長方形，制成一個四周寬相等的長方形框.已知長方

形鋼片的長為30cm，寬為20cm,要使制成的長方形框的面積為400cm2，求這個長方形框的

邊框寬.

解：設長方形框的邊框寬為xcm.

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依題意，得(30-2x)(20-2x)=600-400.整理，得x-25x+100=0,解得x1=5,x2=20(舍去).

∴x=5.

答：這個長方形框的邊框寬為5cm.

二、綜合應用(20分)

4.(20分)小林準備進行如下操作實驗；把一根長為40cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段

各圍成一個正方形.

(1)要使這兩個正方形的面積之和等于58cm2，小林該怎么剪？

(2)小峰對小林說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2.”他的說法對嗎？請說

明理由.

解：(1)設其中一個小正方形的邊長為xcm,則另一個小正方形的邊長為=(10-x)cm.

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依題意x+(10-x)=58，解得x1=3,x2=7.

當x=3時，小正方形周長為12cm；當x=7時，小正方形周長為28cm.

∴小林應把長為40cm的鐵絲剪為28cm和12cm的兩段.

(2)對.兩個正方形的面積之和為：

x2+(10-x)2=2x2-20x+100=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50

∵無論x取何值，2(x-5)2總是不小于0的.

∴2(x-5)2+50≥50.即這兩個正方形的面積之和總是不小于50cm2的，所以不可能等于

48cm2.

小峰的說法是對的.

三、拓展延伸(20分)

5.(20分)如圖，要設計一幅寬20cm，長30cm的圖案，其中有兩