第第頁廣東省韶關市2025屆高三上學期綜合測試（一）數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若復數z滿足zi=1+i，則z?zA．1 B．2 C．2 D．42．已知數列an是等比數列，若a1=A．6364 B．3132 C．15163．已知向量a=1,0,b=1,1，若A．?1 B．1 C．?2 D．24．眾數?平均數和中位數都描述了數據的集中趨勢，它們的大小關系和數據的分布形態有關.根據某小區1000戶居民的月均用水量數據（單位：t），得到如圖所示的頻率分布直方圖，記該組數據的眾數為p，中位數為m，平均數為x，則（）A．m<p<x B．p<x<m C．m< 第4題圖 第6題圖5．已知函數fx=x2?2ax?1,x<1A．?∞,2 B．1,2 C．1,+∞6．已知函數fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π2的部分圖象如圖，A,B是相鄰的最低點和最高點，直線A．fx=2sin1C．fx=2sinπ7．已知tanα,tanβ為方程x2+6x?2=0的兩個實數根，則A．?12 B．52 C．18．橢圓C:x2a2+y2b2A．62,+∞ B．1,62 二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知某批產品的質量指標ξ服從正態分布N25,σ2，且Pξ≥26=0.2，現從該批產品中隨機取3件，用XA．Eξ=25 C．PX=0=0.064 10．已知圓錐的頂點為P,AB為底面圓O的直徑，∠APB=120°,PA=2，點C在圓O上，點G為AC的中點，PGA．該圓錐的側面積為3B．該圓錐的休積為πC．AC=D．該圓錐內部半徑最大的球的表面積為1211．若f'x為函數fx的導函數，對任意的x,y∈R，恒有2fA．f0=1 C．f'x為偶函數 D．若f三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知集合A={?2,0,2,a},B={x∣x?1≤3},A∩B=A，寫出滿足條件的整數a的一個值13．已知log4a+2loga14．小明參加一項籃球投籃測試，測試規則如下：若出現連續兩次投籃命中，則通過測式；若出現連續兩次投籃不中，則不通過測試.已知小明每次投籃命中的概率均為23，則小明通過測試的概率為四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文子說明?證明過程或演算步驟.15．已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊，且bcosC+ccosB=2acosA.（1）求A；（2）若a=2，求△ABC周長的最大值.16．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=PD=2，平面PAD⊥平面ABCD,E為AD（1）求證：平面PAB⊥平面PCD；（2）求平面PBE與平面PAB夾角的余弦值.17．已知拋物線x2=8y的焦點為F，其準線與y軸相交于點M.動點P滿足直線PF,PM的斜率之積為?12，記點（1）求Γ的方程；（2）過點A0,1且斜率為k的直線l與x軸相交于點B，與Γ相交于C,D兩點，若BC=DA18．已知函數fx（1）當a=0時，求函數fx的圖象在點1,f（2）討論函數fx（3）設gx=lnx?ex?19．設數列an的前n項和為Sn，且（1）求數列an（2）在a1和a2之間插入1個數x11，使a1,x11,a2成等差數列；在a2和a3之間插入2個數x21（i）若Tn=x（ii）對于（i）中的Tn，是否存在正整數m,n,p(n<p)，使得Tm=

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：方法1：因為zi=1+i，所以z=1+ii=1?i,z=1+i方法2：因為zi=1+i，所以zi=1+i，

即故答案為：C.【分析】利用兩種方法求解.

方法1：根據復數除法運算法則求出復數z，再利用共軛復數的定義結合復數乘法運算法則，從而可得復數z?z.

方法2：利用復數的模的性質求出z的值，再由共軛復數的性質z?z=|z2．【答案】A【解析】【解答】解：設數列an的公比為q，

依題意，得出a4=a1q3故答案為：A.【分析】根據已知條件和等比數列的通項公式得出公比的值，再結合等比數列的前n項和公式，從而得出等比數列an3．【答案】A【解析】【解答】解：由題意，則向量a=1,0,b=因為a+λb⊥a，所以a+λb?a=1+λ+0=0，

故答案為：A.【分析】根據已知條件和向量的坐標運算，從而得到a+λb=4．【答案】D【解析】【解答】解：觀察頻率分布直方圖，發現是屬于右邊“拖尾”，

所以平均數x大于中位數為m，由于第一個小矩形面積為4×0.060=0.24<0.50，前2個小矩形面積之和為4×0.060+0.080所以中位數位于5,9之間，

故可得0.240+m?5×0.080=0.5，解得由頻率分布直方圖可知眾數p=5+9故p<m<x故答案為：D.【分析】由頻率分布直方圖求眾數、中位數和平均數的方法，從而比較出p，m，x5．【答案】B【解析】【解答】解：因為當x≥1時，fx又因為fx在R上單調，

所以，當x<1時，f則a≥1?2a≥?4，解得1≤a≤2故答案為：B.【分析】由分段函數的解析式可知當x≥1時，fx=2x?6x是減函數，則函數f6．【答案】C【解析】【解答】解：連接AB，函數fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π由圖象的對稱性，可知點C也在函數fx的圖象上，所以點C的坐標為?設BxB,2，由k=所以fx的最小正周期T滿足T解得T=4，即2πω=4，解得ω=π2，所以fx=2sinπ所以f13=2sin解得φ=π故答案為：C.【分析】連接AB，函數fx與x軸交于點C，從而得出點C的坐標，則點C也在函數fx的圖象上，再由兩點求斜率公式得出點B的坐標，從而可得函數fx的周期，再根據正弦型函數的最小正周期公式求得ω的值，利用點B13,2是fx7．【答案】C【解析】【解答】解：因為tanα,tanβ為方程x2由韋達定理，得tanα+tanα=?6tanα?tanβ=?2則cosα?β故答案為：C.【分析】根據韋達定理求出tanα+tanβ,tanα?tanβ的值，再利用兩角差的余弦公式和兩角和的正弦公式以及同角三角函數基本關系式，從而得出cosα?β8．【答案】D【解析】【解答】解：以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=a2?b2由a>b，得e=1+b2a2<1+故答案為：D.【分析】設出以F1F2為直徑的圓的方程為x2+9．【答案】A,C【解析】【解答】解：由正態分布的概念可知Eξ由正態分布的性質得P(24<ξ<26)=1?2Pξ≥26因為1件產品的質量指標值ξ位于區間24,26的概率為p=0.6，所以X～B3,0.6因為DX故答案為：AC.【分析】根據正態分布的期望公式，從而判斷出選項A；利用正態分布對應的概率密度函數圖象的對稱性以及概率的基本性質，從而得出P(24<ξ<26)的值，則判斷出選項B；利用二項分布求概率公式，從而得出PX=010．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由已知可得，∠DPO1=60°，PA=2，

易得等腰三角形PAB對于A，因為該圓錐的側面積為π×3對于B，因為該圓錐的體積為V=1對于C，如圖，取AC中點為G，連接GO,PG，

則∠PGO為PG與底面所成角為60°，故GO=3對于D，當球與圓錐內切時，表面積最大，此時球心在圓錐的高上，設球心為O1，球的半徑為r，過O1向PB作垂線，垂足為D，則OD=r，

又因為∠DPO1=60°所以球的表面積為4π[故答案為：BCD.【分析】利用已知條件和等腰三角形的結構特征以及圓錐的側面積公式，則判斷出選項A；利用圓錐的側面積公式，則判斷出選項B；取AC中點為G，連接GO,PG，從而得出∠PGO為PG與底面所成角，再結合弦長公式得出AC的長，則判斷出選項C；利用∠DPO1=11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：原式移項得2fx即fx+y對于A，令x=y=0，由fx+y+fx?y故f0=0（舍去）或對于B，令x=y，則f2x+f0由于x∈R，令t=x2，則t∈R，所以ft對于C，令x=0，則fy+f?y因為x,y∈R，所以f?x=f對f?x=fx左右兩邊同時求導得f'?x對于D，由選項A可知f0=1，若令x=y=1，則f2+f0令x=2,y=1，則f3+f1令x=3,y=1，則f4+f2令x=4,y=1，則f5+f3令x=5,y=1，則f6+f4令x=6,y=1，則f7+f5令x=7,y=1，則f8+f6由此可得fn且f1故n=12025故答案為：ABD.【分析】令x=y=0和任意的x,y∈R，恒有2fxfy?fx+y=fx?y，且f0≠0，從而得出f0的值，則判斷出選項A；令x=y和任意的x,y∈R，恒有2fxfy?fx+y=fx?y，再令t=x212．【答案】?1,1,3,4中的任何一個值.【解析】【解答】解：因為A∩B=A，所以A?B，

又因為B={x∣x?1故整數a所有可能取值為?1,1,3,4.故答案為：?1,1,3,4中的任何一個值.【分析】根據絕對值不等式求解方法，從而得出集合B，再利用交集與集合的包含關系的關系，從而得出滿足條件的整數a的一個值.13．【答案】4【解析】【解答】解：由log4a+2log則log2a2?4log另解：由題意可知log4a+1利用基本不等式可得log4當且僅當12log2故答案為：4.【分析】利用兩種方法求解.

方法一：根據題意結合對數的運算性質，從而可得log2a2?4log2a+4=0，從而解一元二次方程得出log14．【答案】16【解析】【解答】解：設第一次投籃成功為事件B，通過測試為事件A，則P(A∣B)=2所以P(A∣B)=6所以P(A)=P(B)P(A∣B)+P(B故答案為：1621【分析】根據條件概率公式和全概率公式，從而得出小明通過測試的概率.15．【答案】（1）解：由bcosC+ccosB=2acosA和正弦定理，

則sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，所以sinB+C因為B+C=π?A，化簡得sinA=2sinAcosA，因為0<A<π，所以sinA≠0，所以cosA=1所以A=π（2）解：法一：由余弦定理a2=b2因為bc≤b+c所以(b+c)2即4≥(b+c)24，所以b+c≤4所以△ABC的周長C△ABC即△ABC周長的最大值為6.法二：由正弦定理得出asinA=2R，即三角形△ABC的周長為C△ABC因為A+B+C=π，所以C=2π所以C=2+=2+4sinB+因為0<B<2π3，所以，當B=π法三：（幾何法）：如圖1所示，延長BA到點P，使得AP=AC，

使得AB+AC=AB+AP=BP，要使△ABC的周長最大，則需滿足BP長度最大，將問題轉化為已知一邊a=2，一對角∠P=30°，

求另一邊由圖2可得，當BP為該圓直徑時，BP最大，即|BP|所以C△ABC【解析】【分析】（1）根據已知條件和正弦定理以及兩角和的正弦公式，可得sinB+C（2）利用三種方法求解.

法一：利用余弦定理結合基本不等式求最值的方法，從而由三角形的周長公式，進而得出三角形周長的取值范圍，則得出三角形△ABC周長的最大值.法二：利用正弦定理，從而表示出b,c，再利用三角函數的恒等變換，可得三角形的周長為2+4sinB+π6法三：利用數形結合，把問題轉化成圓的弦長中，直徑最大的問題，再根據直角三角形的邊角關系和圖2可得，當BP為該圓直徑時，BP最大，進而由正弦定理得出BP的最大值，再利用三角形的周長公式得出三角形△ABC周長的最大值.（1）由bcosC+ccosB=2acosA及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA所以sin因為B+C=π?A化簡得sinA=2sinAcosA因為0<A<π，所以sinA≠0，所以cosA=所以A=π（2）法一：由余弦定理a有4=因為bc≤所以(b+c)即4≥(b+c)24，所以b+c≤4所以△ABC的周長C△ABC即△ABC周長的最大值為6.法二：由正弦定理asinA=2R△ABC的周長C因為A+B+C=π，所以C=所以C=2+=2+4sin因為0<B<2π3，所以當B=π法三：（幾何法）：如圖1所示，延長BA到點P，使得AP=AC使得AB+AC=AB+AP=BP，要使△ABC的周長最大，則需滿足BP長度最大將問題轉化為已知一邊a=2，一對角∠P=30°，求另一邊由圖2可得.當BP為該圓直徑時，BP最大.即|BP所以C△ABC16．【答案】（1）證明：方法一；由PA=PD=2,CD=2，則PA2+PD2=DA又因為平面PAD⊥平面ABCD且交于AD,AB?平面ABCD，所以，AB⊥平面PDA，又因為DP?平面PDA，所以DP⊥AB，又因為AB∩DA=A,AB?平面PAB,DA?平面PAB，故DP⊥平面PAB，

又因為DP?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.方法二：因為ABCD為正方形，故CD⊥DA，又因為平面PAD⊥平面ABCD交于AD,CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PDA，

又因為PA?平面PAC，所以CD⊥PA,CD⊥PD，因為平面PAB和平面PCD交線平行于CD.故∠DPA是平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，則PA=PD=2,CD=2，

所以故平面PAB⊥平面PCD.方法三：取BC中點為G，先證明：PE⊥DA,PE⊥EG,DA⊥EG，∵PA=PD，點E為AD的中點.∴PE⊥AD，因為平面PAD⊥平面ABCD交于AD,PE?平面PAD，所以，PE⊥平面ABCD，

又因為EG?平面ABCD，所以，PE⊥EG，由已知DA⊥EG，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為PA=PD=2故C2,1,0CD=設平面PCD的一個法向量為n1則n1?CD=0n1?DP=0設平面PAB的一個法向量為n2則n2?BA=0n2?AP=0∴n1?所以，平面PAB⊥平面PCD.（2）解：取BC中點為G，

由（1）知，PE⊥DA,PE⊥EG,DA⊥EG，從而建立如圖所示的空間直角坐標系，

則D0,1,0,P0,0,1,B所以GB=0,?1,0顯然可知平面PAB的法向量為PD=設平面PBE的一個法向量為m=則m?EB=0m?EP=0，2a?b=0則cos<m所以平面PBE和平面PAB所成銳二面角的余弦值為105【解析】【分析】（1）利用三種方法證明.

方法一：先證明AB⊥平面PDA，從而得到DP⊥AB，再證明DP⊥面PAB，從而證出平面PAB⊥平面PCD.

方法二：根據二面角的平面角定義，從而判斷出∠DPA是平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，由勾股定理可得∠DPA的值，從而證出平面PAB⊥平面PCD.

方法三：建立空間直角坐標系，利用兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示，求出平面PCD和平面PAB的法向量，再根據兩向量垂直數量積為0的等價關系，從而證出平面PAB⊥平面PCD.（2）取BC中點為G，由（1）知，PE⊥DA,PE⊥EG,DA⊥EG，建立空間直角坐標系，得出點的坐標和向量的坐標，再利用兩向量垂直數量積求出平面PAB的法向量和平面PBE的一個法向量，再利用數量積求向量夾角公式得出平面PBE和平面PAB所成銳二面角的余弦值.（1）方法一；由PA=PD=2,CD=2，有∴DP⊥AP，因為ABCD為正方形，故AB⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD交于AD,AB?平面ABCD，所以，AB⊥平面PDA，又DP?平面PDA，所以DP⊥AB，又AB∩DA=A,AB?平面PAB,DA?平面PAB，故DP⊥平面PAB，又DP?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.方法二；因為ABCD為正方形，故CD⊥DA，而平面PAD⊥平面ABCD交于AD,CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PDA，又PA?平面PAC，所以CD⊥PA,CD⊥PD，平面PAB和平面PCD交線平行于CD.故∠DPA是平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角.PA=PD=2,CD=2.有故平面PAB⊥平面PCD.方法三：取BC中點為G，先證明：PE⊥DA,PE⊥EG,DA⊥EG，∵PA=PD，點E為AD的中點.∴PE⊥AD，而平面PAD⊥平面ABCD交于AD,PE?平面PAD，所以，PE⊥平面ABCD，又EG?平面ABCD，所以，PE⊥EG，由已知DA⊥EG，建立如圖空間直角坐標系，因為PA=PD=2故C2,1,0CD=設平面PCD的一個法向量為n1則n1?CD=0n1?設平面PAB的一個法向量為n2則n2?BA=0n2?∴n1?所以，平面PAB⊥平面PCD.（2）取BC中點為G.由（1）知，PE⊥DA,PE⊥EG,DA⊥EG，建立如圖所示空間直角坐標系，則D0,1,0,P0,0,1所以GB=0,?1,0,顯然可知平面PAB的法向量為PD=設平面PBE的一個法向量為m=則m?EB=0m?EP=0則cos<m所以平面PBE和平面PAB所成銳二面角的余弦值為10517．【答案】（1）解：設點Px,y,x≠0，

由題意知則直線PF,PM的斜率分別為kPF所以y?2x?y+2所以，點P的軌跡方程為x2（2）解：方法一，設Cx由題意知，直線l的方程為y=kx+1k≠0，所以B聯立方程組x28+y2∴x1+由BC=DA得，故有x1+x解得k=±2方法二：設Cx1,y1,Dx聯立方程組x28+y2∴y1+由BC=DA得，故有y1+y解得k=±2方法三：設Cx1,y1,Dx因為A0,1，所以線段AB的中點為M∴x1+x22=?聯立方程組x1①-②得x12?所以x1又因為k=y1?解得k=±2【解析】【分析】（1）設點Px,y,x≠0，根據題意結合兩點求斜率公式和kPF（2）方法一、方法二：設出直線l的方程為y=kx+1k≠0，與曲線Γ方程聯立，由韋達定理可得x1+x2，再結合向量關系求解得出k的值.

（1）設點Px,y,x≠0，由題意知直線PF,PM的斜率分別kPF所以y?2x化簡得x點P的軌跡方程為x2（2）方法一，設Cx由題意知直線l的方程為y=kx+1k≠0，所以B聯立方程組x28+y2∴x1+由BC=DA得，故有x1+x解得k=±2方法二：設Cx1,y1,Dx聯立方程組x28+y2∴y1+由BC=DA得，故有y1+y解得k=±2方法三：設Cx1,y1,Dx因為A0,1，所以線段AB的中點為M∴x1+x22=?聯立方程組x1①-②得x12?所以x1又因為k=y1?解得k=±218．【答案】（1）解：因為fx當a=0時，fx當x=1時，f1所以，函數fx在x=1處的切線方程為y=ex?e?1（2）解：因為函數fx的定義域為R,①當a≤0時，ex?2a>0恒成立，令f'若f'x>0,x>0所以fx在?∞,0②當a>0時，f'令f'x=0（i）當ln2a<0，即若f'x>0,x<ln2a或所以fx在?∞,ln2a上遞增，在ln2a（ii）當ln2a=0時，即當a=12時，f'（iii）當ln2a>0時，即當a>12時，

若若f'則fx在?∞,0上單調遞增，在0,ln2a上單調遞減，綜上所述，當a≤0時，fx在?∞,0當0<a<12時，fx在?∞,ln2a上單調遞增，在ln2a,0上單調遞減，在0,+∞上單調遞增；當a=12時，fx在（3）解：由fx≥gx因為x>0，即a≤x設?x=x因為xex=令t=lnx+x,因為x>0，所以t∈R，下面先證et設φt=e令φ't=0，則t=0，

當φ當φ't<0所以φt在?∞,0所以φmint=φ0=0所以elnx+x即?x所以?minx=1故實數a取值范圍為?∞【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義得出切線的斜率，由代入法得出切點坐標，再根據點斜式得出函數fx的圖象在點1,f（2）利用導數與函數單調性的關系，再分類討論出函數fx（3）由fx≥gx參變分離得a≤xex?lnx?x?1+（1）fx當a=0時，fx當x=1時，f1函數fx在x=1處