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文檔簡介

二重積分的計算

一.直角坐標系中二重積分的計算：oxyabDoxyabDoxyDzoxyDoxyD3．積分區域D既不是X

型區域也不是Y

型區域.

xoyD1D2D3oxy11例1

計算解解法一先對y后對x積分oyx例2

計算法二先對x后對y積分oyx

解由于的原函數不能用初等函數表示，故不能先對y積分例3

計算oyx1D注意：在例2中，法1比法2簡便，在例3中，由于被積函數中含有，只能先對x積分.因此，在把二重積分化為二次積分時，選擇恰當的積分次序是非常重要的，而要計算二重積分，關鍵的是要化為二次積分。解原積分=011xy例4

作出積分域，并改變積分次序：解原積分=解原積分=(4,2)oo(2,1)解原積分oo解原積分=oxyoxy例7

求兩個底面半徑相同的正交圓柱體所圍成的立體的體積。解yxzo（2）變換T：把uv平面上的區域一對一的變為D，二.二重積分的換元法定理1設（1）（3）x(u,v),y(u,v)在上具有一階連續偏導數，且：二重積分的換元公式例8

計算解于是三.極坐標系下二重積分的計算則按二重積分的換元公式，便得極坐標中的二重積分:

作極坐標變換解令

則在極坐標系中，于是例9

計算顯然由于從而例10

計算反常積分解設例8例8而因此從而例11

將下列二次積分化為極坐標形式下的二次積分：解

積分區域：D:在極坐標下，D：于是解在極坐標下，將D分為二部分表示：于是解在極坐標下，D分為二部分表示：于是解例12

求Bernoulli雙紐線圍成的面積A.解雙紐線在極坐標下的方程為：由的周期性得圖形的對稱性，而且當從增加到時，由零增加到，再減少到零，于是可得如圖所示的雙紐線圖形。

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