1、超靜定的次數(Degreesofstaticallyindeterminateproblem)

超靜定問題求解方法

(Solutionmethodsforstaticallyindeterminateproblem）

2、求解超靜定問題的步驟(Procedureforsolvingastaticallyindeterminate)(1)確定靜不定次數；列靜力平衡方程(2)根據變形協調條件列變形幾何方程(3)將變形與力之間的關系（胡克定律）代入變形幾何方程得補充方程(4)聯立補充方程與靜力平衡方程求解n=未知力的個數-獨立平衡方程的數目t1FFAtt1BddF剪切面擠壓面擠壓現象的實際受力如圖所示.當接觸面為圓柱面時,擠壓面積Abs為實際接觸面在直徑平面上的投影面積

dh實際接觸面直徑投影面擠壓面的面積計算當接觸面為平面時,Abs

為實際接觸面面積.強度條件的應用(Applicationofstrengthconditions)(Checktheintensity)1、校核強度(Determinetheallowabledimension)2、設計截面(Determinetheallowableload)3、求許可載荷第三章扭轉Mechanics

ofMaterials

Chapter3Torsion材料力學5第三章扭轉(Torsion)

§3-1

扭轉的概念和實例(Conceptsandexampleproblemoftorsion)

§3-2

扭轉內力的計算

(Calculatinginternalforceoftorsion)§3-3

純剪切（薄壁圓筒的扭轉）(Torsioninthin—wallcirculartube)

§3-4

圓軸扭轉的應力分析及強度條件(Analyzingstressofcircularbars&strengthcondition)§3-5

圓桿在扭轉時的變形·

剛度條件(Torsionaldeformationofcircularbars&stiffnesscondition)§3-6密圈螺旋彈簧的應力和變形

(Calculationofthestressanddeformationinclose-coiledhelicalsprings）

§3-1

扭轉的概念及實例

(Conceptsandexampleproblemoftorsion)一、工程實例（Exampleproblems)自行車的中軸受扭轉。請判斷哪一桿件將發生扭轉？擰緊螺母的工具桿不僅產生扭轉，而且產生彎曲和剪切

MeMe

二、受力特點（Characterofexternalforce)

桿件的兩端作用兩個大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶.三、變形特點（Characterofdeformation)桿件的任意兩個橫截面都發生繞軸線的相對轉動.軸：以扭轉變形為主的桿件本章中，主要討論圓軸的強度和剛度問題。

§3-2

扭轉的內力的計算(Calculatinginternalforceoftorsion)一、外力偶矩的計算

(Calculationofexternalmoment)變速箱中低速軸比高速軸粗？

§3-2

扭轉的內力的計算(Calculatinginternalforceoftorsion)從動輪主動輪從動輪一、外力偶矩的計算

(Calculationofexternalmoment)Me—作用在軸上的力偶矩(N·m)P—軸傳遞的功率(kW)

Ps—軸傳遞的功率(PS)馬力n—軸的轉速(r/min)nMe2Me1Me3Me在n–n截面處假想將軸截開

取左側為研究對象內力代替平衡方程求解二、內力的計算(Calculationofinternalforce)1、求內力(Calculatinginternalforce)截面法

(Methodofsections)TMeMeMex??nnMeMe?xTMe?xT

采用右手螺旋法則,當力偶矩矢方向與截面的外法線方向一致時扭矩為正，反之為負.2、扭矩符號的規定(Signconventionfortorque)3、扭矩圖（Torquediagram)正的扭矩畫在x軸上方，負的扭矩畫在x軸下方.

Tx+_Me4ABCDMe1Me2Me3n例題1一傳動軸如圖所示，其轉速n=300r/min，主動輪A輸入的功率為P1=500kW.若不計軸承摩擦所耗的功率，三個從動輪輸出的功率分別為P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW.試做扭矩圖.解:計算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3n計算CA

段內任橫一截面2-2截面上的扭矩.假設T

2為正值.結果為負號，說明T

2與假設方向相反，是負值扭矩由平衡方程ABCD

Me1Me3Me222同理，在BC

段內BCxMe2Me3T2Me4Me2xABCD同理，在BC

段內在AD

段內1133注意：若假設扭矩為正值，則扭矩的實際符號與計算符號相同.Me4Me1Me3Me2Me2Me4T1T3作出扭矩圖4780N·m9560N·m6370N·m+_從圖可見，最大扭矩在CA段內.

§3-3

純剪切（薄壁圓筒的扭轉）

(Torsionofthin—walledcylindricalVessels)1.實驗前1）畫縱向線，圓周線；2）施加一對外力偶.一、應力分析（Analysisofstress)薄壁圓筒：壁厚（r0—圓筒的平均半徑）dxx

Me

Me2.實驗后①圓筒沿軸線及周線長度沒變；3、推論（Inference)橫截面上無正應力，只有切應力；3）包含軸線的縱向平面上無正應力.MeMedxt

ABDC②各縱向線均傾斜了同一微小角度

；③矩形網格均斜成同樣大小的平行四邊形.Tττ切應力方向垂直半徑或與圓周相切.4、橫截面上切應力的計算公式薄壁筒扭轉時橫截面上的切應力均勻分布，與半徑垂直，指向與扭矩的轉向一致.Tττtxdy

dxyz二、切應力互等定理(ShearingStressTheorem)

ττ1、在單元體左、右面（桿的橫截面）上只有切應力，其方向于y

軸平行.

可知，兩側面的內力元素

dy

大小相等，方向相反，將組成一個力偶。由平衡方程其矩為(

dy

)dxxydydzzdxττ2、要滿足平衡方程在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對內力元素它們組成力偶，其矩為此力偶矩與前一力偶矩數量相等而轉向相反，從而可得(

dy

)dx3、切應力互等定理（ShearingStressTheorem)

單元體兩個相互垂直平面上的切應力同時存在，且大小相等，都指向（或背離）該兩平面的交線.純剪切單元體：（Elementinpureshear)單元體平面上只有切應力而無正應力，則稱為純剪切單元體.xydydzzdxττMeMel式中，r

為薄壁圓筒的外半經.三、切應變剪切胡克定律（Hooke’slawforshear)由圖所示的幾何關系得到薄壁圓筒的扭轉試驗發現，當外力偶Me

在某一范圍內時，

與Me

（在數值上等于

T

）成正比.

彈性模量E，切變模量G與泊松比μ的關系（可以證明）TO

從T與

之間的線性關系，可推出

與

間的線性關系.該式稱為材料的剪切胡克定律.(Hooke’slawforshear)G–剪切彈性模量（切變模量）扭轉(torsion)O

思考題：指出下面圖形的切應變

2

切應變為切應變為0扭轉(torsion)4剪切應變能剪切應變能的推導過程與拉壓應變能的推導過程相同。

剪切應變能密度當切應力小于剪切比例極限時,也可寫為:或:§3-4

圓軸扭轉的應力分析·

強度條件（Analyzingstressofcircularbars&strengthcondition)課間1、變形現象(Deformationphenomenon)1)軸向線近似為直線，且長度不變；2)橫截面仍為平面且與軸線垂直；一、變形幾何關系(GeometricalRelationshipofDeformation)3)徑向線保持為直線，只是繞軸線旋轉.2、平面假設（Planeassumption)變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，形狀、大小不變.aabbdxO1O23、幾何關系（Geometricalrelationship)

傾角

是橫截面圓周上任一點A

處的切應變,d

是b-b截面相對于a-a截面象剛性平面一樣繞桿的軸線轉動的一個角度.經過半徑O2D

上任一點G的縱向線EG

也傾斜了一個角度

ρ，它也就是橫截面半徑上任一點E（

）處的切應變TTd

ADG'

ρρ

D'GE同一圓周上各點剪應力

均相同，且其值與

成正比，

與半徑垂直.扭轉(torsion)二、物理關系(PhysicalRelationship)由剪切胡克定律給定截面上的為常量rOTdAdAρρ

ρ

maxrOdAdAρρT三、靜力關系

(StaticRelationship）1、公式的建立（Establishtheformula)結論

ρ

ρ代入物理關系中得到式中：T—橫截面上的扭矩

—求應力的點到圓心的距離IP—為橫截面對圓心的極慣性矩Wt

稱作抗扭截面系數，單位為mm3或m3.2、的計算（Calculationof

max)

(MaximumShear-StressFormula)rOTdAdAρρ

ρ

max（1）實心圓截面

(Solidcircularsection)dO3、極慣性矩和抗扭截面系數的計算ρdρODdρdρ（2）空心圓截面(Hollowcircularsection)其中熟記熟記（1）實心圓截面

(Solidcircularsection)（2）空心圓截面(Hollowcircularsection)熟記熟記熟記例題2圖示空心圓軸外徑D=100mm，內徑d=80mm，M1=6kN·m，M2=4kN·m，材料的剪切彈性模量G=80GPa.(1)畫軸的扭矩圖；(2)求軸的最大切應力，并指出其位置.M1M2ABCll（1）畫軸的扭矩圖M1M2ABCllBC段1M2CT1T1+M2=02M2CM1BT2T2+M2-M1=0T2=2kN·m

AB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭矩發生在BC段Tmax=4kN·m扭轉(torsion)4kN·m2kN·m+_T（2）求軸的最大切應力，并指出其位置

max最大切應力發生在截面的周邊上，且垂直于半徑.M1M2ABCll

max第五版作業3.1,3.2切應力互等定理（ShearingStressTheorem)

單元體兩個相互垂直平面上的切應力同時存在，且大小相等，都指向（或背離）該兩平面的交線.純剪切單元體：（Elementinpureshear)單元體平面上只有切應力而無正應力，則稱為純剪切單元體.xydydzzdxττWt

稱作抗扭截面系數，單位為mm3或m3.2、的計算（Calculationof

max)

(MaximumShear-StressFormula)rOTdAdAρρ

ρ

max復習（1）實心圓截面

(Solidcircularsection)dO3、極慣性矩和抗扭截面系數的計算ρdρODdρdρ（2）空心圓截面(Hollowcircularsection)其中熟記熟記（1）實心圓截面

(Solidcircularsection)（2）空心圓截面(Hollowcircularsection)熟記熟記熟記1、數學表達式（Mathematicalformula)四、強度條件(StrengthCondition)2、強度條件的應用（Applicationofstrengthcondition)強度校核（Checktheintensity)設計截面（Determinetherequireddimensions)確定許可核載荷(Determinetheallowableload)6ABC解：作軸的扭矩圖MAMBMC22kN·m14kN·m+_分別校核兩段軸的強度選講例題3

圖示階梯圓軸，AB段的直徑d1=120mm，BC段的直徑d2=100mm.扭轉力偶矩為MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m.已知材料的許用切應力[

]=80MPa，試校核該軸的強度.因此，該軸滿足強度要求.例題4實心圓軸１和空心圓軸２（圖a、b）材料、扭轉力偶矩m和長度

l均相等，最大切應力也相等.若空心圓軸的內外徑之比為

=0.8，試求空心圓截面的外徑和實心圓截面直徑之比及兩軸的重量比.ll(a)(b)分析：設實心圓截面直徑為d1，空心圓截面的內、外徑分別為d2、D2;又扭轉力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，設為T.已知：dd2D2因此解得兩軸材料、長度均相同，故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面面積之比，在最大切應力相等的情況下空心圓軸比實心圓軸輕，即節省材料.1、圓軸扭轉時的變形是用相對扭轉角

來度量的

§3-5

桿在扭轉時的變形·

剛度條件(Torsionaldeformationofcircularbars&stiffnesscondition）一、扭轉變形

(Torsionaldeformation)其中d

代表相距為dx的兩橫截面間的相對扭轉角.長為

l

的一段桿兩端面間的相對扭轉角

可按下式計算[]稱作許可單位長度扭轉角(Allowableangleoftwistperunitlength)3、剛度條件（Stiffnesscondition)2、單位長度扭轉角(Angleoftwistperunitlength)

—扭轉角GIP

稱作抗扭剛度

扭轉(torsion)例題5圖示等直桿，已知直徑d=40mm，a=400mm，材料的剪切彈性模量G=80GPa，

DB=1°.試求：（1）AD桿的最大切應力；（2）扭轉角

CA.aa2aM2M3MABCD+M2M3M解：畫扭矩圖計算外力偶矩M

DB=

CB+

DC=1°Tmax=3Me（1）AD桿的最大切應力（2）扭轉角

CAaa2aM2M3MABCD+M2M3M例題6某汽車的主傳動軸是用40號鋼的電焊鋼管制成，鋼管外徑D=76mm，壁厚t=2.5mm，軸傳遞的轉矩M=1.98kN·m,材料的許用剪應力

[

]=100MPa，剪變模量為G=80GPa，軸的許可扭角[′]=2/m.試校核軸的強度和剛度.選講DdtMM解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉矩軸的內，外徑之比由強度條件

由剛度條件DdtMM將空心軸改為同一材料的實心軸，仍使

max=96.1MPad=47.2mm實心軸的直徑為兩軸材料、長度均相同，故兩軸重量比等于兩軸的橫截面積比，

在最大切應力相等的情況下空心圓軸比實心圓軸輕，即節省材料.其截面面積為空心軸的截面面積為例題7兩端固定的圓截面桿AB，在截面C處受一個扭轉力偶矩M

的作用，如圖所示。已知桿的抗扭剛度

GIP，試求桿兩端的支反力偶矩.選講CMabABl解：去掉約束，代之以支反力偶矩這是一次超靜定問題，須建立一個補充方程.ACBMMAMBC截面相對于兩固定端A和B的相對扭轉角相等.桿的變形相容條件是CMabABlCMabABl（1）變形幾何方程（2）由物理關系建立補充方程解得ACBMMAMB?

AC=BC彈簧的螺旋角

5°,且D>>d,這樣的彈簧稱為密圈螺旋彈簧.了解§3-6

密圈螺旋彈簧的應力和變形

(Calculationofthestressanddeformationinclose-coiledhelicalsprings）一、彈簧絲橫截面上的應力1、內力的計算（Calculationofinternalforce)F(Calculationofthestressonspringwirecrosssection)簧絲的橫截面上有兩個內力分量即FSTFPF與剪力FS相應的，通常可略去且D/d

很大時，還可略去簧圈曲率的影響，所以簧桿橫截面上最大切應力為2、應力的計算為便于分析，將桿的斜度視為0o.

截面法D/2扭轉破壞公式修正的原因：（1)當D/d較小,會引起很大的誤差；（2)假定剪切引起的切應力是均勻分布的.式中c為彈簧指數,k為曲度系數,可查教材中的表3.13、強度條件(Strengthcondition)FSTFPF

若只考慮簧桿扭轉的影響，可得簧桿內的應變能為二、彈簧的變形(Deformationofthespring)1、應變能的計算(Calculationofstrainenergy)3、功能原理vε=W（Work-energyprinciple)

當彈簧的變形為λ

時，外力所做的功為FFOλλ2、外力做的功（Workoftheexternalforce)c—彈簧剛度d減小，n、D增加：λ增大第五版作業：3.5、3.11Mechanics

ofMaterials

Chapter4Internalforcesinbeams材料力學第四章彎曲內力§4-1

基本概念及工程實例（Basicconceptsandexampleproblems)第四章彎曲內力(Internalforcesinbeams)§4-3剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖(Shear-force&bending-momentequations;shear-force&bending-momentdiagrams)§4-2

梁的剪力和彎矩(Shear-forceandbending-momentinbeams)§4-5

平面剛架和曲桿的內力圖（Internaldiagramsforframemembers&curvedbars)§4-6

附錄I平面圖形的幾何性質

§4-4

剪力、彎矩與分