第一部分高考數學知識大匯總

函數部分

1.函數的對稱性

?定義在R上的函數y=f(x)滿足f(a+x尸f(b-x),則y=f(x)的圖象必關于直線x=

圖形，這種對稱稱為自對稱.

?Y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖象關于直線x=b-a2a+b2對稱，這種對稱稱為互對

稱.

?若y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱，則f(x)=f(2a-x)f(a+x)=f(a-x).反之亦真，

y=f(x)關于直線x=a對稱后所得函數式為y=f(2a-x).

?若尸f(x)的定義域為R,若對任意xGR恒有f(x)+f(2a-x)=2b,則尸f(x)關于

點P(a,b)對稱，反之亦真，y=f(x)關于點P(a,b)對稱后的函數時是y=2b-f(2a-x),

這種對稱稱為點對稱.

2.函數的周期性

?函數y=f(x)既關于直線x=a對稱，又關于直線x=b對稱，則y=f(x)一定是周期

函數，且T=2|a-b|.(a#b).

?定義在R上的奇函數y=f(x),其最小正周期為T,則f(2?定義在R上的函

數y=f(x):①若f(x+a)=f(x+b),貝UT=4|a-b|,

&若“x+a尸-Rx)或f(x+a)=f(x)或Rx+a尸—f(x),(f(x)/O)，則T=2|a|,

③若f(x+a)f(x)=m,f(x)/),m為常數，貝UT=2|a|(m^O),

④若f(x+a)=l-f(x),則T=4|a|.

3.函數的奇偶性

?任何一個定義在R的函數f(x),均可表示為一個奇函數和一個偶函數的和函

數，即f(x)=fx-f(-x)fx+f(-x)21+f(x)l1T2.

?關于奇函數：①對任何實數x,yCR,恒有fx+y=fx+f(y),則f(x)是奇函數,

②對任何實數x,yGR,恒有fxy=xfy+yf(x),則f(x)是奇函數,

③f(x)的定義域為{x|x，O,xGR},且對定義域中任意xl,x2若X1A2恒有

f(xl-x2)=fxl+fxlfx2,貝！J2-f(xl)f(x)是奇函數.

說明：若f(x)于x=O處有定義，且為奇函數，則必有f(O)=O.

?關于偶函數：①對任何實數x,yGfxy=fx+f(y),，則f(x)是偶函數，

②f(x)滿足fx+y+f(x-y尸2f(x)f(y)對任何實數x,y￡R恒成立且

f(O)/O,則f(x)一定是偶函數，

說明：對偶函數f(x)常用關系式f(x尸f(-x尸f(岡尸f(-|x|)解題.

③可導奇函數的導函數為偶函數，但導函數為偶函數，原函數未必為奇函數；

可導偶函數的導函數為奇函數，但導函數為奇函數，原函數一定為偶函數.

?關于三角函數的奇偶性：

①Y=Asin((ox+(p)成為偶函數(p=k7i+2,keZ.

②Y=Asin(cox+(p)成為奇函數(p=k兀，k￡Z.

③Y=Acos(cox+(p)成為偶函數(p=kit,kGZ.

④Y=Acos(x+(p)成為奇函數(p=k7t+2eZ.

?關于一些恒成立問題：

m<fc<M,m<fd<M.

f(m)<0,(2)f(x)=x2+bx+c在［m,n］上恒有f(x)<0f(n)SO.①f(x)=kx+b在［c,d］

上看m<|f(x)|<M

->n,m<-b<,22③f(x)=x+bx+c在［m,n］上恒有f(x)>02或f(n)>0.A<0.

或-2<m,bb7T7if(m)>0.

?關于反函數的一些常用結論：

①在函數f(x尸ax+b中，當c+b=O時，函數的圖象自身關于直線產x對稱，

此時函數叫自反函數.

②函數產fT(ax+b)(a/))的反函數是產

?函數的一些特殊性質：

①函數Y=x-a+b的圖象其對稱中心是(a,b)漸近線方程為x=a和產b,其

離心率e=叫等邊雙曲線.

②函數產x+x(p>O)叫對號函數，其大致圖象如(甲)，函數在(y,—

(甲)ppfx-bacx+d

和(+8),(p>；0)其大致圖象如(乙)，函數在(—00,0)和(0,+oo)g,0,

⑥一元二次方程根的分布必須遵循的三項原則：i.考慮判別式aNO(保

證方程有根)；ii.考慮對稱軸與區間的位置關系；iii.考慮端點處的函數值.

二.不等式部分

1.a3+b3+c3>3abca+b+cNO或a=b=c.

2.||a-b||<a±b<a+|b|(a,beR).

3.?|a|-|b|=|a+b|(a+b)b<0?|a|-|b|=|a-b|(a-b)b>0;

@|a-b|=|a|+|b|ab>0;(4)|a-b|=|a|-|b|ab<0.

4.n

…+ala2anpp>0,或函數f(x尸logapx+gx+r(a>O且a^l)的定義域為R△

<0,2<12ngnal+a2+…+anngal2+a22+…+an2n(調和平均數)(幾何平均數)(算

數平均數)(平方平均數)

(al、a2…andR+當且僅當al=a2="=an時，取等號).

5.am+n+bm+n>ambn+anbm(a、beR+,m、neR+).

6.ab<|ab|<||||.

7.(l+x)n>l+(x>0,GN+).

8.一些常見的裂項技巧：

?2(112112<l<l*—>2,kGN),?4(k+l)2<2k+l

(2k+3)2(2k+l—2k+3?kk+lk(k+l)<01111k<k(k-1)k-1—k111<<>2,k

CN),

?一<—

?n!<2>2,nGN).

9.關于凸函數的一些常用性質：

?若函數f(x)為I上的上凸函數(如y=sinx,xe[0,7i])，則對I上的任意xl,x2,

?,xn

一定有f(xl+x2+…+xn

nll>fxl

+fx2+…+f(xn)

n.(如圖?)

xl+x2+…+xn

n?若函數f(x)為I上的下凸函數(如y=2x在[?2,4]±)則必有f(

fxl+fx2+…+f(xn)

n)&.(如圖?).

nTn兀三.三角部分1.函數產Asin?x+(p)上任意兩個極值點間或兩軸之間的

距離d=2|co|.

2.函數y=Asin(cox+(p)則其解析式可寫為(起點式)y=Asin(o(x-xO),即(p則xO

向右上升.

3.函數y=Asin?x+(p)或函數y=Acos(o)x+(p)的對稱軸都在函數達到最值點處，

對稱中心都在函數值為零處.

4.函數y=Atan(cox+(p)無對稱軸，對稱中心在(2,0)(k^Z)

5.三角函數問題在三角形中的運用：.在4ABC中，若a,b,c成等差數列，則

O<03?.在△ABC中，若a,b,c成等比數列,則O<03?在△ABC中,

若a,b,c成等比數列，則b2=aca+c>2btanA

27T7ik7itanC

2>3.0.^AABC1為非直角三角形，貝1J

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.?若a2+b2=c2,nnnan+b>c.@.在4ABC中

有).?nn在4ABC中AD是NBAC的平分線，

則ACDC角平分線的性質定理)?三角形面積公式：

S=2ah=22bcsinA=24RR2sinAsinBsinC

=pp-ap-b(p-c)(海倫公式，其中p=

=rp(其中r為三角形b2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC.

四.數列部分

Sn=l,l.一般數列的通項公式：an=1,Sn-Sn-l,n>29

2.關于等差數列的一些常用公式及變形式：

?若m+n=p+q,則am+an=ap+aq特別地m+n=2p時，am+an=2ap;?an=am+

(n-m)dd=an-am

n-mSn-SmSp-SqSm+n=p-q=m+n.n-mSm+n=Sm+Sn+mnd.

?若Sm=Sn,則Sm+n=0.

?若Sp=q,Sq=p,p^q,則Sp+q=-p+q.

?Sn=An2+Bn,月.d=2A.

012n?aOCn+a1Cn+a2Cn+-+anCn=(aO+an)2n-1.

0123n?aOCn-a1Cn+a2Cn-a3Cn+H-(-l)nanCn=0.

?若a,b,c是某個等差數列中的三項(不一?定相鄰)則c-b￡Q.(a,b,c互不相等)

?｛an｝,｛bn｝均為等差數列，且Sn與Tn分別為它們的前n項和

①an=S2n-ln2n-l②=bn^0)且2n-1bTn2n-1a-baSlimanlimSnd1==(d^0)

n—oobnn-ooTnd22(dl,d2分別是an與｛bn｝的公差).

(10)數列｛nn｝一定是等差數列.

(11)Sm,S2m-Sm,S3m-S2mSpm-Sp-1m一定是等差數歹!J,其中

S3m=3(S2m-Sm)

(12)｛an｝,｛bn｝分別是等差數列，公差依次為dl和d2,由它們的公共項依次組成

的數列｛cn｝一定是等差數列，且公差是dl和d2的最小公倍數.

3.關于等比數列的一些常用公式及變形

?若m+n=p+q,則aman=ap-aq特別地m+n=2p時，aman=ap2.

?若Sn=Aqn+B,(qrl)貝U必有A+B=0,A#0,若Sn=Cn+D,貝ijD=0.

?連續等長片段和數列；連續等長片段積數列均成等比數列.S

?aOCna1-Cna2Cnan(-1)012nCnn=l

012n@a1Cn+a1Cn+a2Cn+an+1Cn=a1(1+q)n其中an=alqn(n^N+)

?Sm+m=Sn+qnSm=Sm+qmSn.

?｛an｝為等差數列，｛bn為等比數列,則由它們的公共項所成的數列｛cn｝一定

是等比數列.

4.常用遞推數列

?二元線性遞推數列：an+l=Aan+B(A^1)(an+1+A-1)=A(an+A-1.?三元線

性遞推數列：an+2=pan+l+qan

①周期數列型：如已知三元線性遞推數列求a2010定為周期數列.

②當p+q=l時，通過拼湊法轉化為等比數列，若2009年全國II卷第19題第1

問.③當p+q,l時，按如下定理求解

［定理］.設xl,x2是遞推關系：an4-2=pan+l+qan的特征方程x2=px+q的兩個根，

那么i.在xl，x2時，an=ax1n-1+Px2n-1(a,P是待定常數).

ii.在xl=x2時，an=(+即)xln-1,(af是卷定常數).

?運用累差疊加法求通項型al=a,an+l-an=fn,求an型.

?運用隔項成等差數列法求通項型al=a,an+l+an=fn,(fn較特殊)，求an

型.?運用累積加法求通項型al=a,an+l-^an=fn,求an型.

?運用隔項成等比數列法求通項型al=a,an+lxan=fn,(fn較特殊)，求an

型.?倒數成等差數列型al=a,an+l=aban

n+bBB求an.

ax+b?式子兩端同除(乘)以幕式型al=a,an+l=qan+pqn+l,求an.?一般分

式型，已知al=t,an+l=can

+d(c#),ad-bcM)(不動點法)，設f(x)=cx+dnaa+b

①若f(x)有兩個相異不動點p,q(即f(p)=p,f(q)=q，且p#q)，則an+1

-q=kan

-q,其中k=a-qc.n+1na-pa-pa-pc

｛an

-q｝是公比為k的等比數列；如an+l=2an

na-pa+3n—4,al=2,求an.

1②若f(x)僅有一個不動點p,

數列.如an+1=—a4n+41an+1-p=an-p+k,這里k=2ca+dB|J｛lan-p是以k為公差

的等差al=3,求an.

(10)形如an+1=panq(p>0,an>0).?般兩邊取對數法lgan+l=qlgan+lgp,

令bn=lganbn+l=qbn+lgp數列｛bn｝為二元線性遞推數列.

(11)?類可運用待定系數法求通項的遞推數列

①形如已知al=a,an+l=qan+(關于n的一次式).如al=2,an+1=-2an+3n+3,

求anan+1+b(n+l)+c=-2(an+bn+c).

②形如已知al=a,an+l=qan+(關于n的二次式).如al=Lan+1=-2an+n2+3n+3,

求anan+1+a(n+1)2+bn+c=-2(an+an2+bn+c).

③形如已知al=a,an+l=qan+(關于n的③式).如al=l,an+l=-2an+3n+3,求

anan+1+b3n+1+c=-2(an+b3n+c).

(12)不規則型，借助猜想、歸納、倒數、換元等化為規則型，如：

①a1=1,an+1an-2n2an+1-an+1=0,求an.

(提示：由條件an+l=

納法證)

②an+1=16(1+4an+n可令bn=n2bn+1=bn+3.

③在｛an｝中，若al=2,且an=

(提示：可借助于cos2a1+cosa211+an-1211+2n2an2n-an,由

al=la2=3,a3=5,a4=7,猜想an=2n-l,再由數學歸(n=23…)，求an.1兀兀類比，令

a1=2=cos3a2=cos2-,證明即可)3

五.排列、組合、二項式定理、概率、統計

1.排列、組合的重要問題：

?住房問題：(房可空，人不留)(注意：客互異，房互異)排列方法：映射法.

以A={ml,m2jmn^U8={111,112,”1111}可建立nm種不同映射.

?插書問題：把n本不同的書插入書架上層從左到右整齊擺放的m本書中，共

有(m+l)(m+2)…(m+n),即Anm+n種方法.

&正約數問題：若N=Plrlp2r2…pnrn(pi互質，riWN+),則N共有正約數個數為

(rl+1)(r2+l)-(rn+l).

?染色問題：(領域不同色)①直線型.n種不同顏色填入有序的m個空格中，

如圖

共有n(n-l)m-l種方法.

②圓型：p種不同顏色填入n個不同扇形區域中.填滿后共有an種方法(如圖)

貝Uan+an+l=pp-ln,(n>2)al=p.(n=l)

?指標問題：(隔板法)

k-1①n個班分配k(nNk)個三好學生名額，共有CnT種方法.

-1②n個相同小球放入m個不同的盒子中共有Cmn+m-1種放法.

?分配與分組問題：

如以下典型問題：按以下要求分配6本不同的書.

222①平均分配問題：平均分給甲、乙、丙三個人，每人2本.(C6c4c2)

②平均分組問題：平均分成3份，每份2本.(

22C26C4C2

A3

1233

③不平均分配問題：甲、乙、丙三個人一人1本，一人2本，一人3本.(C6c5c3A3)

123

④不平均分組問題：分成3份，一份1本，一份2本，一份3本.(C6c5c3)

⑤部分均勻分配問題：甲、乙、丙三個人中，一人4本，另兩人每人1本.(⑥

部分均勻分組問題：分成3份，一份4本，另兩份每份1本.(

n

nllC46C2Cl

11C46C2C1

A2

A33)

A2

)

?上樓梯問題：某人從第一級到第n級樓梯，每步可跨一級或兩級則不同的走

法.

120

①n為偶數時共有Cn+Cn-l+Cn-2+-+C種走法.

②n

120

為奇數時共有Cn+Cn-l+Cn-2+-+

C

n-1

2n+12

種走法.

2.二項式定理及其應用：

設f(x)=(ax+b)n=aOxn+a1xn-1+-+an-1x+an,貝

Oln

?二項式系數和為Cn+Cn+-+Cn=2n.?二項式的各項系數和為f(l)=(a+b)n.

?二項式各項系數絕對值之和為(a+b)n.?常數項值為f(O)=an=bn.

r

?展開式通項公式為Tn=Cn(ax)n-rbr(r=O,1,2n)

rkn-k?由通項公式可得含xk項系數為Cnab.

3.概率統計知識：

?A,B表示兩個任意事件則P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)?A,B互斥

(A+B尸P(A)+P(B)反之不一定成立

?A,B對立A、B互斥P(A+B)=1P(A)=1-P(B)?A,B獨立

P(AB)=P(A)P(B)

kk

?n次獨立重復實驗中事件A恰好發生k次的概率：Pnk=Cnp(l-p)n-k

?0?1分布：分布列為：(如上圖)E片p,D=p(l-p)

?單點發布：分布列為n,E^=c,D=0.

1

kn

g(k,p尸qkTp,其中q=l-p(k=0,l,2,3,-)

E4=p,D=p.?均勻分布：

P(=k)=n-,n),E^=

1

n+12

n2-112

iq

=(l)E(a+b)=aE《+b,D(a+b)=a2D0(2)D^=E^2-(E^)2>0(3)

統計有關知識要點：

①每個個路被廟到的概率均相等：p=N②三種抽樣方法適用范圍：簡單隨機

抽樣(總體中的個體數較少)；系統抽樣(總體中的個體數較多)；分層抽樣(總

體由差異明顯的幾部分組成).六.極限、連續與導數

1.數列極限的常見類型：

不存在，(mmm-l+?+a

limaOn+alnm

?oo型：n一■oobn+bn+…+b=aO

01k,(mbO

00

n

>；)

,m,k￡N+,aObOWO.<k)

00

?00-8型：

①根式型：如nlim(-運用分子有理化，轉化為oo型.一8

n3n2oolim

②分式型：如n—oo(2n-l—2n+l)通分后轉化為oo型.

?nlim

—>00

q=O(|q|<

n

nn

lima+b

1)型：n—8c+d不全小于

1)

解法：分子，分母同除以底數絕對值較大的值，再運用nlimqn=O(|q|<l)型，

求極限.-82.函數連續與極限、導數的關系：

limlim

?出x)于xO處連續x-f(x)=x—>f(x)=f(xO)x+x-

lim?fx=Alim=x—>0AxAx—>0

Ayfx+Ax-f(x)

Ax

lin

F(xO尸x-

x

fx-f(xO)

x-xO

lin=Ax

一0

fxO+Ax-fifxO)

Ax

?

gxO存在且gxO豐

linf(x)lin

0,XTx0g(x)x-x0

f(xO)f(xO)gXxO)gXxO)

lin

x—*x0

lin，

fx=0,x—>g(x)=O,f(xO)x

(羅比塔法則)

?f(x)于xO處導數為0,x=x0并非f(x)的極值點，但f(x)于xO處可導且f(x)

于xO處產生

極值，則必有，(x0)=0.

?如果函數f(x)于xO處可導，那么函數f(x)在xO處連續；若函數f(x)在xO處

連續，在該點處函數不一定可導.(如y=|x|,在x=0處).

?一般地，設函數f(x)在某個區間內可導，若？x>O,則f(x)在該區間內遞

增，若Px<O,則f(x)在該區間內遞減；若f(x)在該區間內遞增，則

fx>0,若fx

f(xO)=O,

f,(xO)>O則f(xO)是極小值，若f(xO)=O,f,(xO)<O則f(xO)是極大值.七.立

體幾何

1.三余弦定理：cos0=cos01cos02

2.二面角特殊求法：cos=S原

S影

3.如圖A-L-B所成二面角為(p則：cos(p=4.在長方體DB1中

cos0O-cos01cos02

sin01sin02

?DB1與不同方向的三側棱所成角分別為

則cosa+cosp+cosy=1

?DB1與不同方位的三個面所成角分別為al、01、yl,則

cos2a1+cos2p1+cos2y1?長方體外接球直徑2R=DB15.在四面體中

?在四面體中對棱相等，依次為x,y,z則

為a,b,c)a2+b2=x2

則有a2+c2=z2b2+c2=y2=2

1

x2+y2+z2

22

2

2

?在正yq面體中(設棱長為a)

①對棱互相垂直，間距為2②側棱與底面成角為，則cos=3④中心與

各頂點連續所成角為＜p，cos⑥S全=2.V=12a3.

⑦外接球半徑R=?特殊四面體外接球球心

①在四面體P—ABC（如圖甲），△ABC,4APC均為

RtA,AC為斜邊，則AC邊的中點0為四面體P—ABC球心.

②若D—ABC中，DA=DB=DC,DHlffiABC,作DADH于0,則O為D—ABC

的球心.（如圖乙）

6.空間向量法求角和距離

?異面直線所成角(銳角、直角)=(xl,yl,zl)=(x2,y2,z2)設

ABCD

,)=ABCDcos<ABCD|AB||CD|111222?設1_L,2_L0(如圖)

—i—P平面

2

角為，且+01=兀，cos01=1|.

I

1

2

?(如圖)設1_L，則AB與所成角為，滿足sin=cos61=||

|AB|||AB-

點B到間距離d=|AB|cos(H=

IAB-|||

7.二面角中的一些重要結論

設PAJ,于A,PB，B于B,—i—p的平面角為

PA=m,PB=n.

?P、A、O、B四點共圓,2R=OP為該圓直徑.?點P到棱的距離|PO|=2R=sin。

sin0

|AB|

八.解析幾何

1.直線及直線的位置關系

?直線方程的五種形式

①點斜式：

y—yO=k(x—xO)②斜截式：y=kx+b

③鬲點式：y

y-yi

2-yl

=x

x-xl

2—xl

(xl^x2)④截距式：ab⑤一般式：Ax+By+C=O

xy

?兩直線的位置關系：

①LI：Alx+Bly+Cl=OL2:A2x+B2y+C2=0

則：LI〃L2人182-人281=0且人解2井12(31,LI1L2A1A2+B1B2=O;

②過LI、L2交點的直線系方程是：Alx+Bly+Cl+X(A2x+B2y+C2)=0(不

包括L2);③過定點(xO,yO)的直線系方程為：y—yO=k(x—xO)?直線的

方向向量：

①斜率為k的直線，其中一方向向量為a=(l,k)②斜率不存在時方向向量為

b=(0,l)2.圓

?圓的五種方程

①標準式：(x-a)2+(y-b)2=r2表示以(a,b)為圓心，r為半徑的圓.

②一般式：x+y+Dx+Ey+F=O(x+以(-2,—2)為圓心

D

E

2

22

D22

+(y+

E2D2+E2-4F=D224

+E2_4F>0時表示

D

E

為半徑的圓；D2+E2-4F=0時表示點(-22)；

D2+E2-4F<0表示虛圓.

x=a+RcosO,③參數式：Ge[0,2TI),表示以(a,b)為圓心，R為半徑的圓.

y=b+Rsin0,④端點式：(x-xl)x—x2+y—yly—y2=0,表示以兩點

A(xl,yl),B(x2,y2)為直徑的圓方程.

⑤圓系方程：過兩圓Cl：x2+y2+Dlx+Ely+Fl=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0

交點的圓系方程，x2+y2+Dlx+Ely+Fl+k(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(XeR,

不包括C2,特別地，當九=一1時，表示兩圓公共弦所在直線方程)?圓的

切線問題：

①通法通則：若xO,yO為圓錐曲線上任意一點，則過該點的切線方程為：只要

將x2換成x0x;y2換成yOy;x換成

x+x02

換成

y+y02

②過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(xO,yO)的切線方程(x—a)xO—a+y—byO

-b=r2

③過圓(x-a)2+(y-b)2=r2外一點P(xO,yO)引圓兩切線方程，切點分別為A、B,

則直線

)作圓x2+AB方程為(x—a)xO—

y2+Dx+Ey+F=03.橢圓(以ab=l,a>?e=a=cos

?P(xO,yO)在橢圓在橢圓上?曲線a+

岡

|y|b

=11

1

1

1

?關于焦半徑：設M(xl,yl)在橢圓上，則MF"=a+exl,|MF2|=a—exL

?設橢圓上兩動點A,B滿足NAOB=900,則OA+OB=定值=a+b且O點到直線

AB

的距離為?F1,F2為橢圓左，右兩焦點，P是橢圓上的任意一點，則a-

c<|PFl|<a+c

?設P為橢圓a+b=l,(a>>O)上一點，Fl,F2為橢圓左，右兩焦點，則

|PF1|、|PF2|的

222最大值為a2,最小值為b2;PF1、PF2的最大值為b,

最小值為b-c.

x2y2

?P為橢圓上任意一點，由P出發作橢圓的⑴Q為橢圓a+b

(a>>O過F2

作NF1QF2的外角平分線的垂線，垂足為則P點的軌跡方程是x2+y2=a2.

4.雙曲線(以ab(a>O,>O?cos=e

1

x2

y2

x2y2

?M位于右支雙曲線上一點，則|MF2Bc-a,|MFl|>c+a.?若P(xO,yO)

滿足aO-的區域?a-

因

|y|b

x2

y02b>l則P(xO,yO)于含焦點F的區域?在橢圓及雙曲線中，若b2=ac它們的

離心率分別為el=

1,e=222

71

1

1

1

1

x

?如圖在橢圓中，過左焦點F,作弦ABL為左準線L與x軸交于M,則NAMF=

Z

類似地在雙曲線a2b2(a>O,>O)中也有上面性質：如圖，已知中心

在原點，焦點在x軸上的雙曲線，右焦點為F,右準線為L,一直線交雙曲線

左、右兩支于P、Q兩點，則：ZRFP=ZRFQ.

5.拋物線(以y2=2px為例)

?拋物線焦點弦性質

?xlx2=4p2,yly2=-p2.②設AA11L,BB11L,L為準線，則，Z

A1FBI=900.

③NAOB是鈍角且(NAOB)max=7i—arctan3

④設|AF|=m,|BF|=n,貝Um+n=p.

⑤|AB|=xl+

x2+p=sin20,=2時，|AB|min2P

71112

4

1

x2y2

L

⑥以AF為直徑的圓必與y軸相切，以AB為直徑的圓必與準線相切.

⑦設AB中點為M,作MN_LL,

MN交拋物線于Q,則=2px

⑧Al、0、B三點共線.

⑨過A、B作y2=2Px的切線，切線交點于K,)則K必定在準線L上，且，

AKLBK,同時KF,⑩設P是準線上任意一點，方向向量依次為

l,a,(l,b),(l,c).J.PA,PF,PB

)

則a,b,c必成等差數列.

?若AB不過焦點F,且A(xl,yl),B(x2,y2)在拋物線上.①若NAOB=900,

則直線必過定的(2p,0).反之若直線過定點(2p,0)則A0J_B0(0為原點)

②若AB與x軸交點為M(x0,0)且NAOB>900,xOG0,2p.

③若M(xO,yO)為y2=2Px上一定點，且NAMB=OO).

④若AB與x軸交于點(a,0)則xlx2=a2,yl6.圓錐曲線的其它性質

?過橢圓a2b2=1,(a>>O)焦點F的弦AB|AF|=m,|BF|=n,則m+n=ep其

中p即F的距離).

推廣：設自焦點F出發的n條半徑，將平面分成n個等角區域，即NP1FP2=

ZP2FP3=-=ZPn-1FPn=ZPnFPl=n這時必有|P

2n

1

1

x2y2

112

+|PF|

1

2

+-+|PF|

1

n

=epF|

2

?過橢圓中心0作兩條半徑OP,0Q若OPJ_OQ,貝iJ|OP|+|OQ|=a+b.

推廣：①設橢圓中心為0,其方程為a2+b2=l,(a>>0)對應曲線上有n

個點P1,P2,P3Pn滿足NP10P2=NP20P3==NPn-10Pn=

n

2兀

x2

y2

mi

，則必有i

+2

1

2

+-+|0P|2

1

2n|

(+b22a2

②過橢圓中心Oil

的半徑

OPOQ則O到直線PQ距離為|

0D|即垂足D的軌跡是圓.

x2y2

?0設橢圓a+b(a>>O)的中心為O,左焦點為F左頂點、右頂點依次

為B和A,過B作BF的垂線，交x軸于P點，若PWOA線段?①設橢圓a2b2=1,

(a>>O焦點分別為Fl、F2,左、右兩頂點分別為Al、A2,

P為橢圓上一點(除Al、A2)則以PF1為直徑的圓必與以A1A2為直徑的圓

相內切.

②設雙曲線a—b=l,(a>O,>O)的左、右焦點分別為Fl、F2,左、右兩頂

點分別為

x2

y2

Al、A2,P為左支上異于Al的一點，則以PF1為直徑的圓必與以A1A2為直

徑的圓相外切；Q為右支上異于A2的一點，則QF為直徑的圓必與以A1A2為

直徑的圓相AlA2+A2A3+A3A4+-+An-lAn=AlAn.=入.

+g2.?A、B、C三點共線存在組入、piCR,使MAMBMC=mOA

+(l-m)OB(0為平面?A、B、C三點共線存在一組不全為零

的實數入1,入2,入3.+入2MB=0,(X1+k2+X3=O)+入3MC使

XIMA

3.若=(x,y)且(x,y)=(xO,yO)+t(m,n)(t￡R)xO,yO,m,n是已知實數，則點

(x,y)的軌跡是過點(xO,yO),且方向向量為a=(m,n)的一條直線.

4.三角形的“心”在向量中的表現：

MBMA則M為4ABC的垂心.=MB

MC?4ABC所在平面上有點M,滿足MAMC=0,則M為AABC的重

心，反之亦然.+?4ABC所在平面上有點M,滿足MA+

MBMC2=2=2,則O是4ABC的外心.?O為4ABC所在平

面上一點，且OAOBOC

+bOB+cOC=，則O是4ABC的?4ABC所在平面上有一點

O,若aOA

2+2+2,則四邊形ABCD—5.P為四邊形ABCD所在平面上

任意一點，且APCP2=BPDP定是矩形.

=,OB=，且AC=XCB，則OC=6.設OA

+A,1+X.

x2

y2

x2y2

△ABC

S

+P+7.O為AABC所在平面上一點，aOAOByOC=,(、0、丫

為已知正數)，則S4A0B

=a+P+ySAAOBpAAOC

ySy

8.AABC中M為BC邊中點，G為4ABC的重心.且AB

=1+,=1+.則AMAG

23

=,=，且AP是NA

9.AABC中ABAC=則AP+b.+||+||

=,=，且ADLBC,10.^ABC中ABAC

(-)(-)

則AP=|-|a+|-|b

2

2

IIII

=,11.OAOB

則OBO=

2()1|-b

12.AABC++.則?若△ABC為正三角形時OH=0；

?若AABC為非正三角形時，必有OH=OAOBOC

第二部分八大板塊評析

板塊一選擇題

一.集合及簡易邏輯

1.集合運算【知識點撥】：集合的運算是高考選擇題的必考

B.{x|3<x<5}C.{x|-5<x<3}D.{x|-7<x<5}

解：S={x|-5<x<5},T={x|-7<x<3}/.SClT={x5故選

C.例2.（2007年湖北卷）設P和S是兩個集合，定義集合P-Q={x|xWP,且x6

Q},如果P={x|

log2x<l},Q={x||x-2|<l},那么P-Q等于

A.{x|O<x<l}B.{x|0<x<l}C.{x|l<x<2}

D.{x|2<x<3}

解：關于集合新概念的運算在近幾年高考試卷中常有出現，屬于高起點低落點，

只要認真理解概念并結合數軸或韋恩圖很容易解決.P={x|0<x<2},

Q={x|1<x<3},P—Q={x|0<01}.故選B.

2.在集合運算中先考慮集合中元素的一般形式：

例.(2008年安徽卷)集合A={y￡R|y=lgx,x>l},B={-2,-l,l,2},則下列結

論中正確的是AnB={-2,-l}B.(CRA)UB=(-oo,0)C.AUB=(0,

+oo)D.(CRA)DB={-2,-l}

解：在集合運算中先考慮集合中元素的-一般形式是考察的重點、難點，如本題

集合A考察的是

對數函數在x>l時的值域集合，即A={y|y>0},.*.CRA={y|y<0},故選

D.

3.集合與向量的關系

例.(2009年湖北卷)已知P={a|a=(l,0)+m(0,l),mWR},Q={b|b=(l,l)+n(-1,1),

nGR}是

兩個向量集合，則PCQ=

A.{(1,1)}B.{(-1,1)}C.{(1,0)}

D.{(0,1)}

解：由于集合P和Q是兩個向量集合，因此PCQ的實質是a=b.：a=(l,m),b=(l

—n,l-m),由

n=0,a=b,得1=1—n,解得故PC1Q={(1,1)}.故選A.m=l.m=l+n,

4.關于充要條件的判定

例1.在下列四個結論中，正確的有

①x2>4是x3<—8的必要不充分條件；②在aABC中，“AB2+AC2=BC2”

是“AABC為直角三角形”的充要條件;③“若a,b￡R,則a2+b2網”是“a,b全不為0”

的充要條件；④“若a,bCR,則a2+b2/)”是“a,b不全為0”的充要條件.

A.①②B.③④C.①④

D.②④

解：?.?①中由x2>4得x<-2或x>2,由x3<-8得x<-2,故①正確;

②中AB2+AC2=BC2只能說NA=900,而4ABC為直角三角形，不一定只有N

A=900,故②錯誤；由③若a,beR,則a2+b2#0得不到a,b全不為0,故③錯誤；

二④正確.故選C.

例2.設al、bl、cl、a2^b2、c2均為非零實數，不等式alx2+blx+cl>0和

a2x2+b2x+c2>0的解集分別為集合M和N,那么"al=bl=clM=N”222abc

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

解：如x2-3x+2>0與-x2+3x-2>0中，滿足al=bl=cl但解集不同；如

x2-4x+222abc

5>0與x2+6x+10>0解集都為R,但1#

練習題1-46知0.故選D.51.(2009年福建卷)已知全集U=R,集合

A={x|x2-2x>0},貝！ICuA等于

A.{x|0<x<2}B.x0<<2

C.xx<0或x>2D.{x|xg0或xN

2)

2.(2009年江西卷)已知全集U=AUB中有m個元素，(CuA)U(CUB)中

有n個元素，若AC1B

非空，則ACB的元素個數為

A.mnB.m+nC.n-mD.m-n

3.(2008年湖北卷)若非空集合A,B,C滿足AUB=C，且B不是A的子集，則

人.、金(3"是％6人”的充分條件但不是必要條件B.%金(3”是飛《人”必要條

件但不是充分條件C.“xGC”是“x￡A”的充要條件D.“xCC”既不是“xWA”

的充分條件也不是“xeA”的必要條件

4.(2008年江西卷)定義集合運算：A*B={z|z=xy,xeA,y6B}.設

A={l,2},B={0,2},則集合A*B的所有元素之和為

A.OB.2C.3

D.6

5.(2008年廣東卷)已知命題p:所有有理數都是實數，命題q:正數的對數都是

負數，則下列命題中為真命題得是

A.(—>p)VqB.PAqC.(—>p)A(—1q)D.

(-'P)V(-'q)

6.(2007年全國I卷)設236氏集合{1再+1)聲}={0#,b},則b-a=

A.1B.-lC.2

D.-2

7.(2007年重慶卷)命題“若x2<l,則-l<的逆命題是

A.若x2Nl,則xNl或xSTB.若T<則x2<l

C.若x>l或x<T,則x2>lD.若xNl或爛-1,則

x2>l

8.(2006年安徽卷)設集合A={x||x-2|<2,xGR},B={y|y=-x2,-l<x<2},WJCR

(AAB)等于bA.RB.{x|xGR,x#0}

C.{0}

D.0

9.(2007年廣東卷)已知函數M,g(x)=ln(l+x)的定義域為N,則MAN=

A.{x|x>-1}B.{x|x<l}

C.{x|-l<

D.0

10.(2006年遼寧卷)設?是R上的一個運算，A是R的非空子集，若對任意a,b

6A,則稱A對運算?封閉.下列數集對加法、減法、乘法和除法(除數不等于零)

四則運算都是封閉的是

A.自然數集B.整數集C.有理數集

D.無理數集

二.函數

1.考察映射、函數的概念與性質

?函數單調性考察

【知識點撥工函數單調性的考察是高考的熱點，也是教學的重、難點，出題

形式靈活多樣，和教材中的各知識點都有密切聯系.

例1.(2009年福建卷)下列函數f(x)中，滿足“對任意xl,x260,+oo,當xl<x2

時,都有f(xl,)>(x2)”的是

A.f(x)=xB.f(x)=(x-1)2C.f(x)=exD.f(x)=

ln(x+l)

解：根據題意知函數f(x)應該滿足在(0,+oo)上為減函數，選項中只有A.1

例2.(2009年遼寧卷)已知偶函數f(x)在區間[0,+8)單調增加，則滿足f(2x-l)

<f(3)的取值范圍是

A.(3,3B.[3,3C.(2,3)D.[23)

解：由于偶函數f(x)在區間[0,+8)單調增加，又f(2x-l)<f(3,所以|2x-l|V3,

解得111121212⑵<3.故連A.3

?函數奇偶性考察

【知識點撥工在高中教材中不似單調性那樣大篇幅講解，但高考試卷中常有

出現，在選擇題中應以特值法、圖象法為主，有時也采用推理法.

例1.(2009年全國I卷)函數f(x)的定義域為R,若f(x+l)與f(x-l)都是奇函數，

則

A.f(x)是偶函數B.f(x)是奇函數C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇

函數解：Vf(x+1),f(x-l)是奇函數，.??f(x+l)=-f(-x+l),①f(x-D=-f(-x-l)地

①中令x+l=t，則x=t-l,f(t)=-f(-t+2).②中令x-l=s,則x=s+1,f(s)=-f(-s-2).

.?.f(-x+2尸f(-x-2),即f(x)的周期為4,，f(x+3)為奇函數做選D.

例2.(2008年重慶卷)若定義在R上的函數f(x)滿足：對任意xl,x2GR有

f(xl+x2尸f(xl)+fx2+1,則下列說法一定正確的是

A.f(x)是奇函數B.f(x)是偶函數C.f(x)+l是奇函數D.f(x)+l

是偶函數

解.利用賦值法證明.令xl=x2=0,得f(0)=2f(0)+lf(0)=-l,令x2=-xl,得

f(xl-xl)=f(xl)+f(-xl)+l,BPf(0)=f(xl)+f(-xl)+l,.\(f(-xl)+l)+(f(xl)+l)=0

f(x)+l是奇函數.故選C.

?映射概念的理解

【知識點撥工映射概念的理解，近兩年高考試卷少有，但它是學習函數的基

礎，決不能輕視，應理解映射是?對一、多對--兩種對應，重點是原象集中的元

素不能剩.

例.已知映射f:A-B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中

的元素在映射f下的象，且對任意的a￡A,在B中和它對應的元素是|a|,則集合

B中的元素的個數是

A.4B.5C.6D.7

解：因為對應法則f是“取取絕對值”.所以士3,±2,±1,4的象分別是3,2,1,

4.B={1,2,3,4},故選A.

?反函數在選擇題中的命題形式

【知識點撥工反函數在選擇題中常以直接求反函數式、求值、自反函數等形

式出現，求解時根據不同的題型選擇不同的方法.

例1.(2009年陜西卷)函數f(x)=N4)的反函數為

A.A1(x)=2x2+2(x>0)B.f-l(x)=2x2+2(x>2)

C..f^l(x)=2x2+4(x>0)D.Fl(x)=2x2+4(x>2)11112

解：此題主要考察原函數的定義域和值域分別是反函數值域和定義域，V

2x-4>4,.*.f(x)>2,故選B.

例2.已知函射f(x)=3x-a的圖象關于直線y=x對稱則a的值為

A.2B,-2C.2D.-2

解：此題考察對于函數f(x尸ax+b的圖象若關于直線y=x對稱，則c+b=0,該函

數稱為自反函數.所以2+(-a)=0,故選C.

例3.(2008年陜西卷)已知函數f(x)=2x+3,fT(x)是f(x)的反函數，若mn=16(m,n

CR+),則fH(m)+fH(n)的值為

A.-2B.lC.4D.10

解.此題考察原函數的定義域和值域分別是反函數值域和定義域的變形運

用.2x1+32x2+3=16,即.2x1+32x2+3=24,所以，xl+x2=-2,即Fl(m)+Fl(n)=-2.

故選A.

?定義域在選擇題中的命題形式

例1.(2008年湖北卷)函數f(x尸xln(+)的定義域為

A.(-00,-4]U[2,+oo)B.(-4,0)U(0,l)

C.[-4,0)U(0,1]D.[-4,0)U(0,1)

x#),xro,

x2—3x+2>0,x>2或x<l,解：此題考察解基本函數的定義域,

即,2-x-3x+4>0,-4<x<l,x^l.+^0.

/.xG[-4,0)U(0,1)故選D.

例2.(2006年湖北卷)設f(x)=lg2-x,則f(2)+f(x)的定義域為

A.(-4,0)U(0,4)B,(-4,-1)U(1,4)C.(-2,-1)U(1,2)D.(-4,-2)

U(2,4)解：考察復合函數的定義域，因為2-x

U(1,4).故選B.

?值域及最值在選擇題中的表示形式

例1.(2008年重慶卷)已知函數y=M,最小值為m,則

Mm2+x2+xx2lcx+dl12x+l-2<2<2,MWxe(-4,-1)>0,-2<<2,則

2-2<x<2xA.4B.2221-x>0解：此題考察分式函數的最值

問題，因為，所以X+3N0

-3<x<l,y2=l-x+21-x(x+3)+(x+3)=4+2一，所以M2=4+2、2=8,M=2

m2=4+2x0=4,m=2,故選C.11

例2.(2004重慶卷)已知函數f(x)=

55x2-4x+52x-4x>2時，有5A,最大值4B.最小值4最大值1

D..最小值1

解：此題考察分式函數求值域的分離常數法，因為f(x)=

x-2=x-2x=3時等號成立，故選D.

?關于分段函數的選擇題

x2+4x,xK),例1.(2009年天津卷)已知函數f(x尸若f(2-a2)>a，則實數a的

取值范圍是24x-x,x<0

A.(-oo,-l)U(2,+oo)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-oo,-2)U(l,+oo)

解：此題考察分段函數的單調性，可簡單畫出函數的圖象，得f(x)在R上是增

函數.因為f(2-a2)>a,所以2-a2>,解得故選C.

bg2(l-x),x<0,則f(2009)例2.(2009年山東卷)定義在R上的函數f(x)滿足f(x)=

fx-1-fx-2,x>0

的值為'

A.-lB.OC.l

D.2

解：此題考察分段函數及周期函數的求值運算，由已知得f(-l)=log22=l,f(0)=

log21=0,f(l)=f(O)-(-l)=-l,f(2)=f(l)-f(0)=-l,f(3)=f(2)-f(l)=-1-(-1)=0,

f(4)=f(3)-f(2)=0-(-l)=l,f(5)=f(4)-f(3)=l,f(6)=f(5)-f(4)=0,

所以函數f(x)的值為6周期重復性出現，所以f(2009尸f(5)=l,故選C.

?關于指數函數和對數函數

11例1.(2009年天津卷)設a>0,b>0.若是3a與3b的等比中項,則ab

A.8B.4C.1

D.4以a+b=1,貝ijababab又ab<(11a+b1a+b211=所以N24ab

Ullx2—4x+5(x—2)2x—4=2+2(x—2