2024—2025學年第二學期期中考試九年級數學試題卷說明：1．本試題卷共有六個大題，23個小題，滿分120分，考試時間為120分鐘．2．請按試題序號在答題卡相應位置作答，答在試題卷或其它位置無效．一、單項選擇題（本大題6小題，每小題3分，共18分）1.的相反數是（）A. B. C. D.22.我國渤海、黃海、東海、南海海水含有不少化學元素，其中鋁、錳元素總量均約為噸，則鋁、錳元素總量的和約為（）A.8000000噸 B.160000000噸 C.16000000噸 D.80000000噸3.魯班鎖，民間也稱作孔明鎖、八卦鎖，它起源于中國古代建筑中首創的榫卯結構.下圖是魯班鎖的其中一個部件，它的主視圖是（）A. B. C. D.4.大自然巧奪天工，一片小樹葉也蘊含著“黃金分割”，如圖，點P為的黃金分割點，且，如果的長度為，那么的長度是（）A. B. C. D.5.為了節能減排，鼓勵居民節約用電，某市將出臺新的居民用電收費標準：（1）若每戶居民每月用電量不超過度，則按元度計算；（2）若每戶居民每月用電量超過度，則超過部分按元度計算（未超過部分仍按每度電元計算）．現假設某戶居民某月用電量是x（單位：度），電費為y（單位：元），則y與x的函數關系用圖象表示正確的是（）A B.C. D.6.如圖，矩形中，，，動點E，F分別從點A，C同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿，向終點B，D運動，過點E，F作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則的最大值為（）A. B. C.2 D.1二、填空題（本大題6小題，每小題3分，共18分）7.單項式3a2b3的次數是_____．8.分解因式：_______．9.杠桿平衡時，“阻力阻力臂動力動力臂”．已知阻力和阻力臂分別為和，動力為，動力臂為．則動力關于動力臂的函數表達式為__________．10.我國數學家趙爽在為天文學著作《周髀算經》作注解時，用4個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個大正方形，這個圖被稱為“弦圖”，它體現了中國古代數學的成就．如圖，大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，則________．11.如圖，是一個4×4網格，小正方形邊長為1，某同學在正方形網格上用圓規畫了一段經過格點A，B，C的圓弧，則圖中陰影部分的面積為________．12.如圖，已知過點的直線與反比例函數的圖象交于點，連接，將繞著點順時針旋轉后，的頂點依然在該反比例函數的圖象上，則旋轉的角度為______．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13.計算（1）；（2）．14.在如圖所示方格中，請僅用無刻度的直尺按下列要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．（1）在圖（1）中作射線，使的值等于1；（2）在圖（2）中作射線，使的值等于．15.吉安高鐵站開通后，旅客在網購車票時，系統是隨機分配座位的，王某和李某打算購買從吉安西到南昌西的高鐵車票（如圖所示，一排中的座位編號為A，B，C，D，F）．假設系統已將兩人的位置分配到同一排后，在同一排分配各個座位的機會是均等的．（1）“系統分給這兩個人A，G座位”是______（填“必然”或“不可能”或“隨機”）事件；（2）利用畫樹狀圖或列表格，求系統分配給王某和李某相鄰座位（過道兩側座位C，D不算相鄰）的概率．16.如圖，點A在反比例函數的圖象上，軸于點B，，．（1）求反比例函數的解析式；（2）點C在這個反比例函數圖象上，連接并延長交x軸于點D，且，求點C的坐標．17.如圖，在中，，，以為直徑的⊙O經過邊上的點C，連接，，．（1）若，求證：是⊙O的切線．（2）若，求的長．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18.萊西仙足山田園采摘節致力打造“桑葚采摘基地”，吸引了眾多游客前來觀貨、采摘．為了擴大基地規模，計劃購買甲、乙兩種桑葚樹苗共800株，甲種桑葚樹苗每株24元，乙種桑葚樹苗每株30元．相關資料表明：甲、乙兩種桑葚樹苗的成活率分別為85%，90%．（1）若購買這兩種桑葚樹苗共用去21000元，則甲、乙兩種桑葚樹苗各購買了多少株？（2）若要使這批桑葚樹苗的總成活率不低于88%，則甲種桑葚樹苗至多購買多少株？19.如圖，小明用無人機測量教學樓高度，將無人機垂直上升距地面的點處，測得教學樓底端點的俯角為；再將無人機沿教學樓方向水平飛行至點處，測得教學樓頂端點的俯角為．（結果均精確到，參考數據：，，）（1）無人機在點處時距離教學樓底端點的距離；（2）求教學樓的高度．20.某校準備開展“行走的課堂，生動的教育”研學活動，并計劃從博物館、動物園、植物園、海洋館（依次用字母A，B，C，D表示）中選擇一處作為研學地點．為了解學生的選擇意向，學校隨機抽取部分學生進行調查，整理繪制了如下不完整的條形統計圖和扇形統計圖．根據以上信息，解答下列問題：（1）補全條形統計圖；扇形統計圖中A所對應的圓心角的度數為______°；（2）該校共有1600名學生，請你估計該校有多少名學生想去海洋館；（3）根據以上數據，學校最終將海洋館作為研學地點，研學后，學校從八年級各班分別隨機抽取10名學生開展海洋知識競賽．甲班10名學生的成績（單位：分）分別是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名學生的成績．（單位：分）的平均數、中位數、眾數分別是：84，83，88．根據以上數據判斷______班的競賽成績更好．（填“甲”或“乙”）五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21.課本有如下內容：活動2用全箏三角形研究“箏形”如圖，四邊形中，，．我們把這種兩組鄰邊分別相箏的四邊形叫做“箏形”．請你自己畫一個箏形，用測量、折紙箏方法猜想箏形的角、對角線有什么性質，然后用全箏三角形的知識證明你的猜想．請結合教材內容，解決下面問題：（1）【概念理解】如圖，在正方形網格中，點A，B，C是網格線交點，請在網格中畫出箏形；（2）【性質探究】①如圖1：小文通過連接箏型的一條對角線得到一對全箏的三角形，進而得到箏形角的性質“箏形有一組對角相箏”，這兩個三角形全箏的理由是：_____；②如圖2，連結箏形的兩條對角線．你能發現箏形對角線有哪些性質嗎？請寫出一條：（3）【拓展應用】①如圖3，在中，，，點、分別是邊，上的動點，當四邊形為箏形時，請直接寫出的度數：_____②填空：如圖4，在箏形中，過點D作交BC于點E，若，，則的長為_____．③如圖，如果點為內一點，平分，且，求證：．22.在如圖所示的平面直角坐標系中，有一斜坡，從點O處拋出一個小球，落到點處．小球在空中所經過的路線是拋物線的一部分．（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線最高點的坐標；（3）斜坡上點B處有一棵樹，點B是的三等分點，小球恰好越過樹的頂端C，求這棵樹的高度．六、解答題（本大題共12分）23.如圖1，在等邊中，分別是邊上的點，且．【問題解決】（1）求出度數；【操作提升】（2）如圖2，將繞點C逆時針旋轉到，連接，連接交于點O，求證：【拓展探究】（3）如圖3，延長交于點P，若點P恰好是中點．①請直接寫出：值為_______；②若，求的長．

2024—2025學年第二學期期中考試九年級數學試題卷說明：1．本試題卷共有六個大題，23個小題，滿分120分，考試時間為120分鐘．2．請按試題序號在答題卡相應位置作答，答在試題卷或其它位置無效．一、單項選擇題（本大題6小題，每小題3分，共18分）1.的相反數是（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】本題考查了相反數的定義，解答本題的關鍵是熟練掌握相反數的定義，只有符號不同的兩個數是互為相反數，正數的相反數是負數，的相反數是，負數的相反數是正數．【詳解】解：的相反數是2，故選：D．2.我國渤海、黃海、東海、南海海水含有不少化學元素，其中鋁、錳元素總量均約為噸，則鋁、錳元素總量的和約為（）A.8000000噸 B.160000000噸 C.16000000噸 D.80000000噸【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了科學記數法還原，科學記數法的表達方法：其中，確定n的值是解題的關鍵．直接將鋁、錳元素總量相加，再將其用科學記數法表示即可得到答案．【詳解】鋁、錳元素總量的和約是：噸．故選：C．3.魯班鎖，民間也稱作孔明鎖、八卦鎖，它起源于中國古代建筑中首創的榫卯結構.下圖是魯班鎖的其中一個部件，它的主視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在主視圖中．【詳解】它的主視圖是：．故選C．【點睛】此題主要考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．4.大自然巧奪天工，一片小樹葉也蘊含著“黃金分割”，如圖，點P為的黃金分割點，且，如果的長度為，那么的長度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了黃金分割，根據黃金分割的定義進行計算，即可解答．熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．【詳解】∵，的長度為，∴∴∴．故選：D．5.為了節能減排，鼓勵居民節約用電，某市將出臺新的居民用電收費標準：（1）若每戶居民每月用電量不超過度，則按元度計算；（2）若每戶居民每月用電量超過度，則超過部分按元度計算（未超過部分仍按每度電元計算）．現假設某戶居民某月用電量是x（單位：度），電費為y（單位：元），則y與x的函數關系用圖象表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了分段函數以及函數圖象，根據題意求出各用電量段內的函數解析式是解題的關鍵．根據題意求出電費與用電量的分段函數，然后根據各分段內的函數圖象即可得到解，在從給出的四個圖像中判斷出正確的圖像即可．【詳解】解：當時，；當時，，故與的函數關系式為，觀察各選項，選項中的圖象符合，故選：．6.如圖，矩形中，，，動點E，F分別從點A，C同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿，向終點B，D運動，過點E，F作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則的最大值為（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質、動點軌跡、與圓有關的位置關系等知識，根據矩形的性質以及直角三角形斜邊中線的性質確定G的軌跡是本題解題的關鍵．連接，交于點，取中點，連接，根據直角三角形斜邊中線的性質，可以得出的軌跡，從而求出的最大值．【詳解】解：連接，交于點，取中點，連接，如圖所示：∵四邊形是矩形，∴，，，∴在中，，∴，∵，，在與中，，，，，共線，，是中點，∴在中，，的軌跡為以為圓心，為半徑即為直徑的圓弧．∴的最大值為的長，即．故選：D．二、填空題（本大題6小題，每小題3分，共18分）7.單項式3a2b3的次數是_____．【答案】5【解析】【詳解】解：根據單項式的次數的定義知：該單項式的次數為：5故答案為:5.8.分解因式：_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了因式分解，解題的關鍵是利用平方差公式進行因式分解．【詳解】解：，故答案為：．9.杠桿平衡時，“阻力阻力臂動力動力臂”．已知阻力和阻力臂分別為和，動力為，動力臂為．則動力關于動力臂的函數表達式為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了根據實際問題列反比例函數關系式，根據題意可得，進而即可求解，掌握杠桿原理是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可得，，∴，即，故答案為：．10.我國數學家趙爽在為天文學著作《周髀算經》作注解時，用4個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個大正方形，這個圖被稱為“弦圖”，它體現了中國古代數學的成就．如圖，大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，則________．【答案】##0.8【解析】【分析】本題主要考查了正方形的性質，勾股定理，三角函數等知識，利用勾股定理列方程求出的長是解題的關鍵．根據兩個正方形的面積可得，，設，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，從而解決問題．【詳解】解：∵大正方形的面積是100，∴．∵小正方形的面積是4，∴小正方形的邊長為2，∴，設，則，在中，由勾股定理得，，解得或（負值舍去），∴，，∴．故答案為：．11.如圖，是一個4×4的網格，小正方形邊長為1，某同學在正方形網格上用圓規畫了一段經過格點A，B，C的圓弧，則圖中陰影部分的面積為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了求扇形的面積．證明，利用勾股定理求得，再利用陰影部分的面積為，計算即可求解．【詳解】解：如圖，∵，，，，∴，∴，，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積為：，故答案為：．12.如圖，已知過點的直線與反比例函數的圖象交于點，連接，將繞著點順時針旋轉后，的頂點依然在該反比例函數的圖象上，則旋轉的角度為______．【答案】或【解析】【分析】過點B作軸于點D，求出，由反比例函數對稱性可知還可以經過點，然后分三種情況求解即可．【詳解】解：如圖，過點B作軸于點D，，，，，．，．根據反比例函數的對稱性和圖形旋轉的性質可知，還可以經過點．若點B經過，如圖所示，此時，∴，即繞著點O順時針旋轉了．若點A經過，如圖所示，此時，∴，即繞著點O順時針旋轉了；若點A經過，如圖所示，此時，∴，即繞著點O順時針旋轉了．綜上可知，繞著點順時針旋轉或后使頂點依然在該反比例函數的圖象上．【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數交點問題，反比例函數與幾何綜合，解直角三角形，分類討論是解答本題的關鍵．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13.計算（1）；（2）．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根據異分母分式的減法計算即可；（2）根據零指數冪，負整數指數冪，有理數的乘方計算即可．【小問1詳解】解：．【小問2詳解】解：．【點睛】本題考查了異分母分式的減法，零指數冪，負整數指數冪，有理數的乘方，熟練掌握公式和法則是解題的關鍵．14.在如圖所示方格中，請僅用無刻度的直尺按下列要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．（1）在圖（1）中作射線，使的值等于1；（2）在圖（2）中作射線，使的值等于．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查角的正切值，勾股定理及其逆定理，利用網格特點作圖，理解角的正切值的定義是解決問題的關鍵．（1）如圖，取格點，連接并延長即可；（2）方法1：取格點，連接并延長即可；方法2：取格點，連接交網格線于點，連接并延長即可．【小問1詳解】解：如圖，取格點，連接并延長，連接，由勾股定理可知，，，則，∴為等腰直角三角形，∴，則，故，射線即為所求；【小問2詳解】方法1：取格點，連接并延長，∵，，∴，故，射線即為所求；方法2：取格點，連接交網格線于點，連接并延長，由網格特點可知，點為的中點，則，同（1）可知，，∴，故，射線即為所求．15.吉安高鐵站開通后，旅客在網購車票時，系統是隨機分配座位的，王某和李某打算購買從吉安西到南昌西的高鐵車票（如圖所示，一排中的座位編號為A，B，C，D，F）．假設系統已將兩人的位置分配到同一排后，在同一排分配各個座位的機會是均等的．（1）“系統分給這兩個人A，G座位”是______（填“必然”或“不可能”或“隨機”）事件；（2）利用畫樹狀圖或列表格，求系統分配給王某和李某相鄰座位（過道兩側座位C，D不算相鄰）的概率．【答案】（1）不可能（2）系統分配給王某和李某相鄰座位（過道兩側座位C，D不算相鄰）的概率是．【解析】【分析】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，概率公式、事件的分類等知識，熟練掌握樹狀圖或列表法求概率是解題的關鍵．（1）一排中的座位編號為A，B，C，D，F，不存在編號為G的座位，即可得到“系統分給這兩個人A，G座位”是不可能事件；（2）列出表格，得到系統分配給王某和李某相鄰座位共有20種等可能的情況，其中相鄰座位共有6種等可能情況，根據概率公式計算即可得到答案．【小問1詳解】解：∵一排中的座位編號為A，B，C，D，F，不存在編號為G的座位，∴“系統分給這兩個人A，G座位”是不可能事件，故答案為：不可能；【小問2詳解】解：根據題意畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有20種等情況數，其中相鄰座位的情況數有6種，則系統分配給王某和李某相鄰座位（過道兩側座位C，D不算相鄰）的概率是．16.如圖，點A在反比例函數的圖象上，軸于點B，，．（1）求反比例函數的解析式；（2）點C在這個反比例函數圖象上，連接并延長交x軸于點D，且，求點C的坐標．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正切值，求出，進而得到，即可求出反比例函數的解析式；（2）過點A作軸于點E，易證四邊形是矩形，得到，，再證明是等腰直角三角形，得到，進而得到，然后利用待定系數法求出直線的解析式為，聯立反比例函數和一次函數，即可求出點C的坐標．【小問1詳解】解：軸，，，，，，，點A在反比例函數的圖象上，，反比例函數的解析式為；【小問2詳解】解：如圖，過點A作軸于點E，，四邊形是矩形，，，，是等腰直角三角形，，，，設直線的解析式為，，解得：，直線的解析式為，點A、C是反比例函數和一次函數的交點，聯立，解得：或，，．【點睛】本題是反比例函數綜合題，考查了銳角三角函數值，矩形的判定和性質，待定系數法求函數解析式，反比例函數和一次函數交點問題等知識，求出直線的解析式是解題關鍵．17.如圖，在中，，，以為直徑的⊙O經過邊上的點C，連接，，．（1）若，求證：是⊙O的切線．（2）若，求的長．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）連接，根據，，可得，，結合即可得到答案；（2）連接，根據為⊙O的直徑得到，即可得到，根據，可得，結合，可得，根據，得到，從而得到，即可得到的度數，即可得到，根據勾股定理求出半徑，利用弧長公式即可得到答案；【小問1詳解】證明：連接，∵，，∴，，∵，∴，∴是⊙O的切線；【小問2詳解】解：連接，∵為⊙O的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，；【點睛】本題考查切線證明，圓周角定理，直角三角形角所對直角邊等于斜邊的一半，求弧長公式，解題的關鍵是做輔助線等到相應角度轉化．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18.萊西仙足山田園采摘節致力打造“桑葚采摘基地”，吸引了眾多游客前來觀貨、采摘．為了擴大基地規模，計劃購買甲、乙兩種桑葚樹苗共800株，甲種桑葚樹苗每株24元，乙種桑葚樹苗每株30元．相關資料表明：甲、乙兩種桑葚樹苗的成活率分別為85%，90%．（1）若購買這兩種桑葚樹苗共用去21000元，則甲、乙兩種桑葚樹苗各購買了多少株？（2）若要使這批桑葚樹苗的總成活率不低于88%，則甲種桑葚樹苗至多購買多少株？【答案】（1）甲種桑葚樹苗購買了500株，乙種桑葚樹苗購買了300株（2）甲種桑葚樹苗至多購買320株【解析】【分析】（1）設購買甲種桑葚樹苗x株，乙種桑葚樹苗y株，根據：“甲、乙兩種桑葚樹苗共800株、購買這兩種桑葚樹苗共用去21000元”列出方程組求解即可得；（2）設購買甲種桑葚樹苗z株，則乙種桑葚樹苗為（800-z）株，根據：“甲種桑葚樹苗成活數量+乙種桑葚樹苗成活數量≥甲乙兩種桑葚樹苗成活的總數量”列不等式求解可得．【小問1詳解】解：設甲種桑葚樹苗購買了x株，乙種桑葚樹苗購買了y株．由題意得：，解得：，答：甲種桑葚樹苗購買了500株，乙種桑葚樹苗購買了300株．小問2詳解】設購買甲種桑葚樹苗z株，則購買乙種桑葚樹苗（800-z）株，由題意得：85%z+90%（800-z）≥800×88%，解得：z≤320．答：甲種桑葚樹苗至多購買320株．【點睛】本題主要考查二元一次方程組和一元一次不等式的實際應用，理解題意抓準相等關系和不等式關系列出方程組或不等式是解題的關鍵．19.如圖，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升距地面的點處，測得教學樓底端點的俯角為；再將無人機沿教學樓方向水平飛行至點處，測得教學樓頂端點的俯角為．（結果均精確到，參考數據：，，）（1）無人機在點處時距離教學樓底端點的距離；（2）求教學樓的高度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查解直角三角形的實際應用，（1）延長交直線于點H，由題意知，用三角函數解即可求出；（2）先用三角函數解求出，進而求出，再證，最后根據即可求解．【小問1詳解】解：如圖，延長交直線于點H，則，由題意知，∵∴在中，∴∴∴無人機在點處時距離教學樓底端點的距離為；【小問2詳解】解：在中，，即，解得，，，，，，．20.某校準備開展“行走的課堂，生動的教育”研學活動，并計劃從博物館、動物園、植物園、海洋館（依次用字母A，B，C，D表示）中選擇一處作為研學地點．為了解學生的選擇意向，學校隨機抽取部分學生進行調查，整理繪制了如下不完整的條形統計圖和扇形統計圖．根據以上信息，解答下列問題：（1）補全條形統計圖；扇形統計圖中A所對應的圓心角的度數為______°；（2）該校共有1600名學生，請你估計該校有多少名學生想去海洋館；（3）根據以上數據，學校最終將海洋館作為研學地點，研學后，學校從八年級各班分別隨機抽取10名學生開展海洋知識競賽．甲班10名學生的成績（單位：分）分別是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名學生的成績．（單位：分）的平均數、中位數、眾數分別是：84，83，88．根據以上數據判斷______班的競賽成績更好．（填“甲”或“乙”）【答案】（1）補全條形統計圖見解析，54（2）640人（3）甲【解析】【分析】（1）用B的人數除以求得本次調查的學生總數，進而得出D組的人數，畫出統計圖，用乘“A”所占比例可以求得“A”部分所占圓心角的度數；（2）用1600乘樣本中D所占比例即可；（3）求出甲班的平均數，眾數，中位數，再對比，即可解答．【小問1詳解】解：總人數：（人），D組人數：；如圖：A所對應的圓心角的度數為：，故答案為：54；【小問2詳解】解：去海洋館：（人）答：該校約有640名學生想去海洋館；【小問3詳解】解：∵甲班10名學生的成績：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95，∴甲班10名學生的成績的平均數：，甲班10名學生的成績的眾數：90；甲班10名學生的成績的中位數：，∵乙班10名學生的成績的平均數、中位數、眾數分別是：84，83，88．∴甲班的平均數，中位數，眾數都高于乙班，∴甲班的競賽成績更好．故答案為：甲．【點睛】本題考查條形統計圖和扇形統計圖，中位數，眾數，平均數，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件、利用數形結合的思想解答問題．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21課本有如下內容：活動2用全箏三角形研究“箏形”如圖，四邊形中，，．我們把這種兩組鄰邊分別相箏的四邊形叫做“箏形”．請你自己畫一個箏形，用測量、折紙箏方法猜想箏形的角、對角線有什么性質，然后用全箏三角形的知識證明你的猜想．請結合教材內容，解決下面問題：（1）【概念理解】如圖，在正方形網格中，點A，B，C是網格線交點，請在網格中畫出箏形；（2）性質探究】①如圖1：小文通過連接箏型的一條對角線得到一對全箏的三角形，進而得到箏形角的性質“箏形有一組對角相箏”，這兩個三角形全箏的理由是：_____；②如圖2，連結箏形的兩條對角線．你能發現箏形對角線有哪些性質嗎？請寫出一條：（3）【拓展應用】①如圖3，在中，，，點、分別是邊，上動點，當四邊形為箏形時，請直接寫出的度數：_____②填空：如圖4，在箏形中，過點D作交BC于點E，若，，則的長為_____．③如圖，如果點為內一點，平分，且，求證：．【答案】（1）見解析（2）①；②有一條對角線平分一組對角，一條對角線垂直平分另一條對角線（答案不唯一）；（3）①或；②8；③見解析【解析】【分析】（1）取格點B的關于對稱格點D，連接、即可；（2）①利用證明，即可得出結論；②利用證明結合垂直平分線的判定，即可得出結論；（3）①分兩種情況：①當箏形中，時，②當箏形中，時，分別求解即可；②根據平行線的性質和角平分線得到，進而得到，進而求解即可；③過點B作，，證明出，得到，然后由等邊對等角得到，進而求解即可．【小問1詳解】解：如圖1，四邊形即為所求；【小問2詳解】解：①在與中，，∴，∴∴這兩個三角形全箏的理由是：；②有一條對角線平分一組對角，一條對角線垂直平分另一條對角線（答案不唯一），證明：在與中，，∴，∴，，即平分、；∵，∴垂直平分；【小問3詳解】解：①分兩種情況：當箏形中，時，如圖，∴；當箏形中，時，如圖，∵∴∴綜上，當四邊形為箏形時，的度數為或；②∵∴∵∴∴∴；③如圖所示，過點B作，∵平分，∴又∵，∴∴∵∴∴∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，網格作圖，三角形內角和與外角的性質，角平分線的性質定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質是解題的關鍵，注意分類討論思想的應用．