第24章圓（基礎(chǔ)、常考、易錯、壓軸）分類專項訓練

【基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?浙江臺州?九年級期末）用直角尺檢查某圓弧形工件，根據(jù)下列檢查的結(jié)果，能判

斷該工件一定是半圓的是］）.

【答案】B

【分析】根據(jù)90。所對的圓周角所對的弦是直徑進行判斷.

【詳解】解：因為90。所對的圓周角所對的弦是直徑，所以選項B中的圓弧為半圓，

故選：B.

【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90。所對的圓周角所對

的弦是直徑，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?山東?陵城區(qū)教學研究室一模）如圖，以正方形A8CQ的邊AO為直徑作一個半圓,

點M是半圓上一個動點，分別以線段AM、0M為邊各自向外作一個正方形，其面積分別為

S/和S2,若正方形的面積為10,隨點M的運動S/+S2的值（）

A.大于10B.小于10C.等于10D.不確定

【答案】C

【分析】根據(jù)題意44例。=90。，可得.AA/D為直角三角形，由勾股定理可知

AM2+DM2=AD\即S+SLIO.

【詳解】解：???AD是直徑,

AZAMD=90°,

，一AMD為直角三角形.

由勾股定理可知4"2+/加2=A￡）2,

即S]+$2=10.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理和勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解隨著點M的運

動NAM力=90。，符合勾股定理.

3.（2022?江蘇?九年級專題練習）輪船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定輪船是

否會遇到暗礁.如圖.4B表示燈塔,暗碓分布在經(jīng)過4A兩點的2。內(nèi)。表示一個危

險臨界點，ZACB=70%輪船戶與兩個燈塔的夾角為N。，保證輪船航行不觸礁的Na可

以是（）

A.66°B.75°C.80°D.85°

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，要使不觸礁則NavNACB,即可判斷；

【詳解】解：根據(jù)圓的性質(zhì)NAE8=NACB=70°

,/ZAEB=4PBE+4a=70°

???NavZAEB

，Za<70°

故選：A

【點睛】本題主要考查圓為性質(zhì)，掌握圓的性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?山西晉中?二模）在數(shù)學探究課上，小明在探究圓周角和圓心角之間的數(shù)量關(guān)系時，

按照圓周角與圓心的不同位置關(guān)系作出了如下圖所示三個圖進行探究小明的上述探究.過程

體現(xiàn)的數(shù)學思想是（）

AB

BAB

A.公理化思想B.分類討論思想C.轉(zhuǎn)化思想D.建模思想

【答案】B

【分析】根據(jù)分類討論思想的含義進行判斷即可.

【詳解】解：在探究圓周角與圓心角的數(shù)量關(guān)系時，因不確定圓周角與圓心角的位置關(guān)系是

否會影響結(jié)論，故對每種位置關(guān)系分別進行研究，這種數(shù)學思想是分類討論思想.

故選：B.

【點睛】本題考查對數(shù)學思想的理解，分類討論思想是指將原問題轉(zhuǎn)化為若干個小問題來解

決，通過研究其在不同情況下的結(jié)論，得出原問題的結(jié)論.

5.（2022?江蘇蘇州?九年級階段練習）下列說法正確的是（）

A.直徑是圓中最長的弦，有4條

B.長度相等的弧是等弧

C.如果/的周長是8周長的4倍，那么A的面積是：8面積的8倍

D.已知O的半徑為8,A為平面內(nèi)的一點，且。4=8,那么點4在（O上

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的相關(guān)概念解答即可.

【詳解】解：A.直徑是圓中最長的弦，有無數(shù)條，故該選項不符合題意；

B.在同圓或等圓中長度相等的弧是等弧，故該選項不符合題意；

C.如果：，4的周長是，8周長的4倍，那么B的面積是；8面積的16倍，故該選項不符合題

忠；

D.已知O的半徑為8,A為平面內(nèi)的一點，且04=8,那么點A在（O上，故該選項符合題

意.

故選：D.

【點睛】本題考查了圓的認識，熟練掌握圓的相關(guān)概念是解答本題的關(guān)鍵.

6.（2022?四川宜賓?八年級期末）用反證法證明“在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,ZC>

NB>NA且NCW90。，那么標+/女乙”應(yīng)先假設(shè)（）

A./+/=/B.C.D.或/+

【答案】A

【分析】根據(jù)反證法的第?步是假設(shè)結(jié)論的反面成立，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：應(yīng)先假設(shè)/+/=，.

故選:A.

【點睛】本題主要考查了反證法，熟練掌握反證法的第一步是假設(shè)結(jié)論的反面成江是解題的

關(guān)鍵.

7.（2022?浙江?翠苑中學八年級期中）用反證法證明：“多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最多有3

個”時，應(yīng)假設(shè)（）

A.多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最少有4個B.多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最少有3個

C.多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最少有2個D.多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最多有2個

【答案】A

【分析】用反證法證明問題的關(guān)鍵是清楚結(jié)論的反面是什么，寫出與條件相反的假設(shè)即可

【詳解】解：用反證法證明“多邊形的內(nèi)角中銳知的個數(shù)最多有3個附，應(yīng)假設(shè)多邊形的內(nèi)

角中銳角的個數(shù)最少有4個，

故選：A.

【點睛】本題考查的足反i正法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵足要值得反證法的意義及步驟.在假設(shè)結(jié)

論不成立時，要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定?種就可以

了，如果有多種情況，則必須一一否定.

8.（2022?山西晉中?八年級期中）在證明“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60”時先假設(shè)每

一個內(nèi)角都大于60,然后，…，這種證明方法是（）

A.綜合法B.舉反例法C.數(shù)學歸納法D.反證法

【答案】D

【分析】根據(jù)反證法的定義進行回答即可.

【詳解】解:在證明“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60”時先假設(shè)每一個內(nèi)角都大于60，

然后，…，這種證明方法是反證法.

故選：D.

【點睛】本題結(jié)合角的比較考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.反證法的

步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立.在

假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有?種，那么否定?種就

可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.

9.（2022?貴州貴陽?八年級期末）對于命題“若V=25,則x=5"，小江舉了一個反例來說明

它是假命題，則小江選擇的x值是（）

A.x=25B.x=5C.x=10D.x=-5

【答案】D

【分析】當x=-5時，滿足f=25,但不能得到x=5,于是x=-5可作為說明命題“若/=

25,則x=5”是假命題的一個反例.

【詳解】解：說明命題“茬f=25,則x=5”是假命題的一個反例可以是x=-5,故D正確.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題

設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是己知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成

“如果…那么…”形式.有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理.任何一

個命題非真即假，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命

題，只需舉出一個反例即可.

10.（2022?江蘇?九年級專題練習）下列命題正確的是（）

A.兩點之間，直線最短

B.正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和

C.不在同一條直線上的三個點確定一個圓

D.一個圖形和它經(jīng)過平移所得到的圖形中，對應(yīng)線段平行且相等

【答案】C

【分析】利用線段的性質(zhì)，多邊形的外角和定理.，確定一個圓的條件，平移的性質(zhì)等知識進

行判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解：A.兩點之間，線段最短，故選項錯誤，不符合題意；

B.多邊形的外角和是360。，故選項錯誤，不符合題意；

C.不在同一條直線上的三個點確定一個圓，故選項正確，符合題意：

D.一個圖形和它經(jīng)過平移所得到的圖形中，時應(yīng)線段平行或者在同一條直線上，并且相等,

故選項錯誤，不符合題意.

故選：C.

【點睛】命題是表示判斷的語句，判斷正確的命題是真命題，判斷錯誤的命題是假命題，熟

練掌握所學知識是進行正確判斷的基礎(chǔ).

11.（2022?山西晉中?二模）公元263年，我國數(shù)學家利用“割圓術(shù)”計算圓周率.割圓術(shù)的基

本思想是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”.隨

后，公元480年左右，我國另一位數(shù)學家又進一步得到圓周率精確到小數(shù)點后7位，由此可

知，這兩位數(shù)學家依次為（）

A.劉徽，祖沖之B.祖沖之，劉徽C.楊輝，祖沖之D.秦九韶，楊輝

【答案】A

【分析】掌握割圓術(shù)和圓周率的發(fā)明過程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：3世紀中期，魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)曲圓術(shù)，為計算圓周率建立了嚴密的

理論和完善的算法，所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法.圓

周率不是某一個人發(fā)明的,而是在歷史的進程中，不同的數(shù)學家經(jīng)過無數(shù)次的演算得出的.古

希臘大數(shù)學家阿基米德（公元前287-212年）開創(chuàng)了人類歷史上通過理論計算圓周率近似值的

先河.公元480年左右，南北朝時期的數(shù)學家祖沖之進一步得出精確到小數(shù)點后7位的結(jié)果,

給出不足近似值3.1415926和過剩近似值31415927,還得到兩個近似分數(shù)值.

故選：A.

【點睛】本題考行了割圓術(shù)和圓周率的發(fā)明過程和發(fā)明人，熟練掌握割圓術(shù)和圓周率的發(fā)明

過程是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?江蘇?九年級專題練習）我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)在圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)

加倍的過程中，“割之彌細，所失彌少，割之乂割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所

失矣”，即當圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓面積，他首創(chuàng)

了利用圓的內(nèi)接正多邊形確定圓周率.這種確定圓周率的方法稱為（）

A.正負術(shù)B.方程術(shù)C.割圓術(shù)D.天元術(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)我國利用“船圓術(shù)”求圓周率的近似值解答即可.

【詳解】解：由題意可知：利用圓的內(nèi)接正多邊形確定圓周率.這種確定圓周率的方法稱為

“割圓術(shù)”.

故選：C.

【點睛】本題考查正多邊形和圓，解題的關(guān)鍵是了解我國古代用“割圓術(shù)”求圓周率的近似值,

即在一個圓中，它的內(nèi)接上多邊形的邊數(shù)越多，正多邊形就越像圓，它的周長和面積就更接

近圓的周長和面積.

13.（2022?山東荷澤?七年級期末）下列說法，其中正確的有（）

①過圓心的線段是直徑

②圓上的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑組成的圖形叫做扇形

③大于半圓的弧叫做劣弧

④圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)圓的有關(guān)概念進項分析即可.

【詳解】解：①過圓心的弦是直徑，故該項錯誤；

②由一條弧和經(jīng)過這條弧的兩個端點的兩條半徑組成的圖形叫做扇形，故該項正確；

③小于半圓的弧叫做劣弧，故該項錯誤；

④圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓，故該項正確.

故選：B.

【點睛】本題考查了圓的認識，熟練掌握圓的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

14.（2022?黑龍江哈爾濱?期木）運動場上的環(huán)形跑道的跑道寬都是相同的，若一條跑道的兩

【分析】設(shè)運動場上的小環(huán)半徑為，?米，大環(huán)半徑為R米，再根據(jù)圓的周長公式計算即可.

【詳解】解：設(shè)運動場上的小環(huán)半徑為，米，大環(huán)半徑半徑為R米，根據(jù)題意得：

、12

2兀（/?-r）=-n,

解得：R-r=g,

J

即跑道的寬度為5米.

故答案為：

【點睛】本題考查了圓的周長公式，熟練掌握圓周長的計算公式是解題的關(guān)鍵.

15.（2022?全國?九年級專題練習）小于半圓的弧（如圖中的）叫做；大于半

圓的孤（用三個字母表示，如圖中的）叫做.

【答案】AC（或8C）劣弧ABC（或5AC）優(yōu)弧

【分析】根據(jù)劣弧和優(yōu)弧的定義即可直接填空.

【詳解】小于半圓的弧（如圖中的AC（或8C））叫做劣弧；大于半圓的弧（用三個字母表

示，如圖中的A8C（或3AC））叫做優(yōu)弧.

故答案為：AC（或BC），劣弧；ABC（或8AC），優(yōu)弧.

【點睛】本題考查找出圓中的優(yōu)弧和劣弧及優(yōu)弧和劣弧的定義.掌握優(yōu)弧和劣弧的定義是解

答本題的關(guān)鍵.

16.（2022?全國?九年級專題練習）如圖，在0。中，半徑有,直徑有,弦

有,劣弧有,優(yōu)弧有.

【答案】OA,OB,OC,ODABAB，BCAC，BC，BD，CD，ADADC

BAC>BAD>ACD，DAC

【分析】根據(jù)圓的基本概念，即可求解.

【詳解】解：在。中，半徑有OB,OC,OD；直徑有人4；弦有人B,BC；劣弧

有AC，BC，BD，CD,AO；優(yōu)弧有AOC，BAC?BAD，AC。，DAC：

故答案為：OA,OB,OC,OO：AB；AB,BC；AC，BC，BD，CO，AD；ADC

BAC?BAD，ACDfDAC-

【點睛】本題主要考查了圓的基本概念，熟練掌握圓的光徑、直徑、弦、弧的概念是解題的

關(guān)鍵.

17.（2022?江蘇?九年級專即練習）為了給同學慶祝生日，小明自己動手用扇形紙片制作了一

頂圓錐形生日帽，生日帽的底面圓半徑，?為7c〃?，高〃為240〃，則該扇形紙片的面積為

cm2.

【答案】175萬

【分析】先根據(jù)勾咬定理求出圓錐的母線長，再根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，利用圓錐的

側(cè)面積=底面周長x母線長-2,列式計算即可.

【詳解】解：生日帽的底面圓半徑「為7a7?,高力為24的，

，圓錐的母線長為37?+24?=25（。??），

:底面圓半徑，?為7c機，

底面周長為14^（777,

，該扇形紙片的面積為：卜14"25=175〃（。儲）.

故答案為：175%.

【點睛】本題考查了圓錐的計算，利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解.正確理解圓錐

的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半

徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長.

18.（2022.江蘇.九年級專題練習）第卜四屈全運會在陜西西安開幕，九年級（2）班李明同

學利用扇形彩色紙，制作了一個圓錐形火炬模型，如圖是火炬模型的側(cè)面展開圖（接痕忽略

不計），已知扇形彩色紙的半徑為45cm,圓心角為40。，則這個圓錐的側(cè)面積cnf.（結(jié)

果保留冗）

【答案】2257c

【分析】先根據(jù)扇形的面積公式計算出扇形的面積=225j然后得到圓錐的側(cè)面積.

【詳解】解：???扇形的面積=也±=225乃（cm）

360

???圓錐的側(cè)面積為225瓦城,

故答案為：2257r.

【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底

面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.

9（2022?山東?臨沂市河東區(qū)教育科學研究與發(fā)展中心二模）2300多年前，我國古代名著

《墨經(jīng)》中有這樣的記載：“圓，一中同長也.”因此，古代就知道把車輪設(shè)計成圓形，如果

車輪是正方形，將邊長為1米的正方形滾動一周，那么正方形中心的軌跡長為米.

【答案】岳

【分析】由圖可知，正方形旋轉(zhuǎn)一周需經(jīng)歷4個相同的過程，中心旋轉(zhuǎn)的過程正好為一個圓

的周長，求得即可.

【詳解】如圖，正方形旋轉(zhuǎn)一周需經(jīng)歷4個相同的過程，中心的軌跡為圓心角90。的扇形，

4個過程正好圍成一個圓，

???正方形邊長為1,BPAB=1,

?s友-2^2

??AO=—AB=—分

22

正方形中心的軌跡為：C=2九?4。=2萬x吏^=&不，

2

故答案為：丘兀.

【點睛】本題考查了扇形的弧長的計算，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確找出中心

的運動軌跡.

20.（2022?河南省實驗中學一模）如圖，《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年

雕刻的青銅雕塑，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間.擲鐵餅者張

開的雙臂與肩寬可以近似看成一張拉滿弦的弓，弧長約為:幾米，“弓”所在的圓的半徑約L25

O

米，貝廣弓”所對的圓心角度數(shù)為.

【答案】90。##90度

【分析】由/二怒，直接代入數(shù)據(jù)進行計算即可.

1o()

【詳解】解：如圖，由題意得：1K二兀,QK=QS=L25,

AS8

Q

設(shè)？KQS幾

〃/rxl.255

------=一冗、

180-8

解得：〃二90?,

故答案為：90。

【點睛】本題考查的是已知弧長與半徑求解弧所對的圓心角，熟記弧長公式是解本題的關(guān)鍵.

21.(2022.北京西城.九年級期末)如圖1所示的鋁合金窗簾軌道可以直接彎曲制作成弧形.若

制作一個圓心角為160。的圓弧形窗簾軌道(如圖2)需用此材料800/rmm,則此圓弧所在圓

的半徑為mm.

1G

fjgX4…q-B

圖1圖2

【答案】900

【分析】由弧長公式/二富得到R的方程，解方程即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，800萬二與薩，解得，R=900(mm).

答：這段圓弧所在圓的半徑R是900mm.

故答案是:900.

【點睛】本題考查了弧長的計算公式：嘿,其中/表示弧長,

1=〃表示弧所對的圓心角的

1o(J

度數(shù).

三、解答題

22.（2022?黑龍江大慶?期末）如圖，三角形4。4是直角三角形，其中。為圓心.已知三角

形A08面積是10cm2,求圓形面積.

A

20^cm2

【分析】由圖形可知△人。〃是等腰直角三角形，根據(jù)三角形面積為10,可求半徑，由此可

求圓的面積.

【詳解】解：???04=08

???△AO8是等腰直角三角形

AOA2=20

???圓的面積為

7T-OA2

=20萬

答：圓的面積是207van2

【點睛】本題主要考查三曲形的面積公式，圓的面積公式等內(nèi)容，題目比較簡單，由圖形得

出是等腰直角三角形是解題關(guān)鍵.

23.（2022?全國?八年級課前預(yù)習）觀察下圖，左圖中間的圓圈大還是右圖中間的圓圈大？請

你先觀察，再用直尺驗證一卜.

【答案】一樣大

【解析】略

24.（2022?全國?九年級專題練習）觀察下圖中角的頂點與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周

角？

【答案】特征見解析，?圖中N3、/4、/84D是圓周角

【詳解】解：（a）Nl頂點在。。內(nèi)，兩邊與圓相交，所以NI不是圓周角；

9）/2頂點在圓外，兩邊與圓相交，所以N2不是圓周角；

（c）圖中N3、N4、N8A。的頂點在圓周上，兩邊均與圓相交，所以/3、/4、N84。是圓

周角.

（J）N5頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓不相交，所以N5不是圓周角；

（e）N6頂點在圓上，兩邊與圓均不相交，由圓周角的定義知N6不是圓周角.

【點睛】本題主要考查了國周角的定義，熟練掌握頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫

做圓周角是解題的關(guān)犍.

【常考】

一.選擇題（共9小題）

I.（2022?吉林）如圖，在△ABC中，N4CB=90°,AB=5,BC=4.以點4為圓心，「為

半徑作圓，當點。在。A內(nèi)且點B在。4外時，,?的值可能是（）

【分析】由勾股定理求出AC的長度，再由點C在0A內(nèi)且點B在OA外求解.

【解答】解：在中，由勾股定理得4。=4人屋-8,2=3,

???點。在04內(nèi)且點B在。A外，

/.3<r<5,

故選：C.

【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握勾股定理.

2.（2022?鄂州）工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個如

圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90°,將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有

圖(1)所示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求.圖(2)是過球心及A、B、

E三點的截面示意圖，已知。。的直徑就是鐵球的直徑，A8是。。的弦，C。切于點E,

ACLCD.BDLCD,若CO=16c〃?，AC=BD=4cm,則這種鐵球的直徑為()

A.10。〃B.15cmC.20cmD.24cm

【分析】連接OE,交A8于點F,連接OA,??,4C_LCD、BD±CD,由矩形的判斷方法得

出四邊形4cOA是矩形，得出A8〃CO,AB=CD=\6cm,由切線的性質(zhì)得出OEJLC/),得

出0E_LA8,得出四邊形E/由。是矩形，AF=^AB=lx16=8(cm),進而得出EF=BD

22

=4cm,設(shè)。。的半徑為5m則。4=rc〃，OF=OE-EF=(r-4)cm,由勾股定理得出

方程/=8?+(r-4)2,解方程即可求出半徑，繼而求出這種鐵球的直徑.

【解答】解：如圖，連接OE,交AB于點F,連接。人，

口

AC.LCD.BD上CD,

：.AC//BD,

'：AC=BD=4cm,

，四邊形ACQ8是平行四邊形，

，四邊形ACOB是矩形，

：.AB//CD,AB=CD=\tcm,

???CO切。。于點E,

：.OE±CD,

：.OELAB,

?I四邊形EFBQ是矩形，A/=占8=-lx16=8(cm),

22

:?EF=BD=4cm,

設(shè)。。的半徑為ra〃，則。4=rc〃?，OF=OE-EF=(r-4)cm,

在RtAAOF,OA2=AF2+OF2,

/./2=82+(r-4)2,

解得：r=10,

???這種鐵球的直徑為20c〃?，

故選：C.

【點評】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊

形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2022?十堰）如圖，0。是等邊△人8c的外接圓，點。是弧4c上一動點（不與A,C

重合），下列結(jié)論：①/ADE=NBDC；?DA=DC；③當OB最長時，DB=2DC；?DA+DC

=DB,其中一定正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】由△ABC是等邊三角形，及同弧所對圓周角相等可得即可判斷

①正確；由點D是弧AC上一動點，可判斷②錯誤；根據(jù)。B最長時，為。。直徑，可

判定③正確；在上取?點石，使可得是等邊三角形，從而AABE芻乙

ACD（SAS）,有BE=CD,可判斷④正確.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，

：.ZBAC=ZACB=60o,

,??標=標,BC=BC?

，NAO8=NAC8=60°,NBDC=NBAC=60°,

AZADB=ZI3DC,故①正確；

???點。是弧AC上一動點，

???日與而不一定相等，

???。4與DC不一定相等，故②錯誤;

當。6最長時，DB為直徑,

???NBCQ=90°,

VZBDC=60°,

/.ZDBC=3O0,

:.DB=2DC,故③正確；

在03上取一點E,使DE=A。，如圖:

A

D

E

VZADB=60°,

???△AOE是等邊三角形，

：,AD=AE,ZDAE=60°,

VZBAC=60°,

：.ZBAE=ZCAD,

???A8=AC,

A/XABE^^ACD(SAS)，

:,BE=CD,

/.BD=BE+DE=CD+AD,故④正確；

???正確的有①③④，共3個，

故選：C.

【點評】本題考查等邊三甭形及外接圓，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔

助線.構(gòu)造二角形全等解決問題.

4.(2022?藍田縣一模)如圖，A/T為。0的直徑，43=4,&CD=2?則劣弧向的長為

42

【分析】連接OC，OD,證明NCOD=90°,可得結(jié)論.

【解答】解：連接OC,0D.

火

A2°\、、

D

?：0C=0DD=2,CQ=2&,

：,OC2+OD1=CD2,

：.ZCOD=90°，

...赤的長=9°兀><2=%

180

故選：C.

【點評】本題考查弧長公式，勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是證明/。。。=90°.

5.（2022?碑林區(qū)校級二模）如圖，等邊AABC的三個頂點都在。。上，4。是。0的直徑,

若OA=3,則劣弧前的長是（）

22

【分析】連接。8、BD,由等邊△ABC,可得NO=NC=60°,且OB=。。，故△BOO是

等邊三角形，/4。。=60°,又半徑04=3,根據(jù)弧長公式即可得劣弧8。的長.

【解答】解：連接OB、BD,如圖：

:△ABC為等邊三角形,

AZC=60°,

/.ZD=ZC=60°,

?：OB=OD,

???△80。是等邊三角形，

???/8。。=60°,

;半徑04=3,

?,?劣弧BD的長為60兀義3=n,

180

故選:B.

【點評】本題考查等邊三角形及圓的弧長，解題的關(guān)鍵是掌握弧長公式并能熟練應(yīng)用.

6.（2022?海勃灣區(qū)校級一模）如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，。，A,8,C,。是

網(wǎng)格線交點，若標與而所在圓的圓心都為點O,那么陰影部分的面積為（）

A.nB.2nC.S兀與D.2Ti-2

2

【分析】根據(jù)圖形得出△4OC、△OBC、△08。都是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出

0C,再分別求出扇形C0E,扇形。正，扇形E。。和AOB。的面積即可.

【解答】解：VAC=AO=2,ZCAO=90°,

，NAOC=/ACO=45°,

同理/BCO=NCOB=45',0B=BC=BD=2,

由勾股定理得：0。=舊彳=2\歷，

，陰影部分的面積S=（5域形co??S塌形尸。8）+（S域形￡0。?S&OBD）

2

-r45KX（2V2）_45兀X2245兀X（8何產(chǎn)一上］

3603603602乙乙

=11--兀+1T-2

2

=121.2,

2

故選：C.

【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積和扇形的面積計算等知識點，能

把求不規(guī)則圖形的面枳轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵.

7.（2022?遵義模擬）如圖，在RlABAC中，N8AC=90°,ZB=30°,人8=3,以/①邊

上一點。為圓心作。0,恰與邊AC,BC分別相切于點3D,則陰影部分的面積為（）

A.V3-B._C.22LD.273

323233

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到4c=?,ZC=6D°,根據(jù)切線的性質(zhì)得到CD=AC

=V3?NQ4C=NOOC=90°,求得他，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)

論.

【解答】解：在RtZ^AC中，ZBAC=90a,ZB=3O°,AB=3,

:?AC=M，ZC=60°,

?/AC,AC分別相切于點A,D,

：.3=AC=近,NOAC=NOOC=90°,

???NAOD=360°-90°-90°-60°=120°,BC=2AC=243,

:,BD=M，

???NODB=90°,

：.OB=2OD=2OA,

：,3OA=AB=3,

???OA=1,

2

???陰影部分的面積=5必尤-SAODB-S隔形AOD=2X3XA/3-AXIXV3-120?兀X1

22360

=V3-—>

3

故選：A.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，扇形和三角形的面積的

計算，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?高青縣一模）如圖，在圓中半徑弦A8,且弦AB=C0=2,則圖中陰影部分

面積為（）

【分析】連接04,0B，求出aAOB和△ACB的面積相等，得出陰影部分的面積=扇形AO8

的面積，再求出扇形AOB的面積即可.

【解答】解：連接OA,0B,

'：OC//AB,AB=AB,

???△OAB的面枳=Z\C48的面積（等底等高的三角形的面積相等）,

VAB=OC=2,

：,OA=OB=AB=2,

???△048是等邊三角形，

???N4OB=60°,

，陰影部分的面積S=S蒯"。8=§°兀X22.=2如

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的面積和扇形的面積計算，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)

則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵.

9.（2022?新洲區(qū)模擬）如圖.點。為△八的內(nèi)心,N八=60°,Off=2.9c=4,則△

OBC的面積是（）

B

A.473B.2>/3

【分析】過點C作C〃J_80的延長線于點“，根據(jù)點。為△4BC的內(nèi)心，NA=60°,可

得N8OC=180°-NOBC-NOCB=90°+-^/A=120°,所以NCOH=60°,利用含30

度角的直角三角形可得CH的長，進而可得aOBC的面積.

【解答】解：如圖，過點C作C”J_30的延長線于點兒

BC

???點。為△ABC的內(nèi)心,ZA=60°,

AZBOC=180°-NOBC-NOCB=900+￡/A=12Q°,

???NCO”=60°,

?：OB=2,OC=4,

/.OH=2

:,CH=2M，

:.XOBC的面枳=工XO8?CH=L><2X2?=2點.

22

故選：B.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角

形的內(nèi)心定義.

二.填空題（共9小題）

10.（2022?包頭模擬）三角形兩邊的長是3和4,第三邊的長是方程*-I2x+35=O的根，

則該三角形外接圓的半徑為1.

一2一

【分析】先解方程，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知x=5,由勾股定理的逆定理可得三角形是

直角三角形，所以其斜邊就是外接圓的直徑.

【解答】解：方程7-12x+35=0,

分解因式得：（x-5）（x-7）=0,

可得X-5=0或x-7=0,

解得：x=5或x=7,

三角形第三邊的長是方程.』-12x+35=0的根，

???第三邊的長為5或7,

當?shù)谌呴L為5時，

V3+4>5；

當?shù)谌呴L為7時，3+4=7,不能構(gòu)成三角形，舍去，

???第三邊為5,

V32+42=52,

???三角形是直角三角形，

此三角形的外接圓的直徑為最大邊5,

則此三角形的外接圓半徑為區(qū)，

2

故答案為：1.

2

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心、利用因式分解法解一元二次方程，明確直角三

角形的斜邊是外接圓的直徑，其斜邊的中點即是外接圓的圓心是解決問題的關(guān)鍵.

11.（2022?長安區(qū)模擬）小剛要在邊長為10的正方形內(nèi)設(shè)計一個有共同中心O的正多邊形，

使其邊長最大且能在正方形內(nèi)自由旋轉(zhuǎn).如圖1，若這個正多邊形為正六邊形，此時E/=

5_:若這個正多邊形為正三角形，如圖2,當正△"G可以繞著點。在正方形內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)

時，EF的取值范圍為OVMW5p.

圖1圖2

【分析】如圖I,連接OE,OF,77,作正方形ABC。的內(nèi)切圓O,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)

得到EF=OF,由作圖可得，。。的直徑=10,即F/=10,于是得到。5=EF=5,如紐2,

作正方形48CO的內(nèi)切圓O,作的內(nèi)接三角形EFG,此時，EF最大,連接OF,0E,

過點〃作于點M,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖1,連接OE，OF,FI,

作正方形ABCD的內(nèi)切圓O,

由正六邊形43co石尸可得，△O/F是等邊三角形，

:?EF=OF,

由作圖可得，。。的直徑=10,即/7=10,

：?0F=EF=5,

如圖2,作正方形A8C。的內(nèi)切圓O,作。。的內(nèi)接三角形七FG,

此時，EF最大,連接OROE,

：?0F=0E=5,ZEOF=2ZG=nO°,

過點〃作FM人EG于點、M,

則NEOM=60°,

???OM=±,EF=2EM=5^J~3,

22

:?EF的取值范圍為OVEFWg,

故答案為；5,0<EFW5、巧.

圖2

圖1

【點評】本題考查了正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，

正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

12.(2022?鹿邑縣模擬)如圖，正六邊形ABCOE尸的邊長為2,以4為圓心，AC的長為半

徑畫弧，得底，連接AC,AE,則圖中陰影部分的面積為2TT.

【分析】由正六邊形4BCDE/7的邊長為2,可得AB=8C=2,尸=120°,進

而求出NBAC=30°,NC4E=60°,過8作8〃_LAC于從由等腰三角形的性質(zhì)和含30°

直角三角形的性質(zhì)得到A/7=C〃，BH=1,在RlZ\ABH中，由勾股定理求得得

到AC=2?,根據(jù)扇形的面積公式即可得到陰影部分的面積.

【解答】解：???正六邊形ABC。所的邊長為2,

：.AB=BC=2,NABC=C8A“=⑹2)義180。;為,

6

VZ/\BC+ZBAC+ZBCA=180°,

.'.ZBAC=A(180°-ZABC)=Ax(180°-120°)=30°,

22

過3作BHVAC于H,

:.AH=CH,B/7=AAB=AX2=1,

22

在Rt△八BH中，AH=JAB2_BH2=U]2=A/^,

：.AC=2-/3,

同理可證，NE45=30°,

：.ZCAE=ZBAF-ZBAC-ZEAF=\20°-30°-30c=60°,

??以-60?"（3）2=2口,

360

，圖中陰影部分的面積為2n,

故答案為：21T.

【點評】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)和扇形面積的計算、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，

掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

13.（2022?武威模擬）在△ABC中，已知NABC=90°,NMC=30°,BC=\.如圖所示,

將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△A8C.則圖中陰影部分的面積為

兀W5

2

【分析】解直角三角形得到AB=?3C=正，AC=2BC=2,然后根據(jù)扇形的面積公式即

可得到結(jié)論.

【解答】解：???/48。=90°,NB4c=30°,BC=1,

:?AB=&RC=&,AC=2BC=2.

，圖中陰影部分面積=s為形ACC?S^ADB-S^C=9°?兀?22.60?兀.（a）2_

360360

■1x1＞畬=兀一愿，

22

故答案為：兀肛；

2

A

【點評】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，扇形的面積公式，解直角三角形，熟練掌握扇形的面

積公式是解決問題的關(guān)鍵.

14.（2U22?隨縣一模）如圖，化RtZXABC中，/8=9（T,AO平分N6AC交8c于點。，

點石在AC上，以AE為直徑的。。經(jīng)過點。.若NC=30°,且則陰影部分的

面積是12L.

一2一

B

【分析】證明△。/70、△。必是等邊三角形，S陰影=S娟形。尸。，即可求解.

【解答】解：連接0。，連接。E、0D、DF、0F,設(shè)圓的半徑為R,

：.ZDAB=ZDAO,

*：OD=OA,

：.ZDAO=ZODA.

則NOA8=NOD4,

：.DO//AB,WZB=90°,

：?NODB=90°,

VZC=30°,CO=3?,

???00=CQ?tan30°=3必乂近=3,

3

*/7DAH=7hAE=W

:.DE=DF，

???/OOE=6(r,

AZDOF=6(r,

???NRM=60°,

:.△OFD、△。朋是等邊三角形，

：,DF//AC,

:?S第影=S3形DFO=60.冗.3=_^2L.

3602

故答案為：12L.

2

【點評】本題考查了扇形的面積，等邊三角形的判定，圓周角定理，解直角三角形等知識，

解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題.

15.(2022?濡橋區(qū)校級模擬)如圖，點。為正六邊形A8CQE尸的中心，連接AC,若正六

邊形的邊長為2,則點O到AC的距離OG的長為1.

【分析】連接Q4、OC、OD,證△OCQ是等邊三角形，得OC=CO=2,/OCQ=60°,

再證NOCG=30°,然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：連接。4、OC.OD,如圖所示：

???點。為正六邊形A8CQE/7的中心，邊長為2,

:?NB=NBCD=(6-2)X18O0+6=120°,OC=OD,ZCOD=^.—=6()°,AB=

6

BC=CD=2,

???/8cA=/8AC=30°,ZXOC。是等邊三角形，

：,OC=CD=2,/OCO=60°,

/.ZOCG=120°-30°-60°=30°,

VOGIAC,

.\OG=1OC=1,

2

即點。到AC的距離OG的長為I,

故答案為：1.

【點評】本題考查了正多邊形和圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形

的性質(zhì)等知識，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，證明△。。為等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

16.（2022?方城縣一模）如圖，在扇形。48中，已知408=90°,04=2,過標的中點

C作CD_LOA,CE1OB,垂足分別為。、E,則圖中陰影部分的面積為n-2.

【分析】連接OC，求出/AOC=NBOC=45°,求出NOCO=NAOC=/ECO=NCOE=

45°,求出CD=OD,CE=OE,根據(jù)勾股定理求出CD=OD=OE=CE=版,再求出陰影

部分的面積即可.

【解答】解：連接OC,

,00=04=2,

???NAO5=9(T,C為標的中點,

AZAOC=ZBOC=45°,

,：CDA.OA,CEA.OB,

：.NCDO=/CEO=90。，

；?/DCO=/AOC=/ECO=/COE=45°,

：.CD=OD,CE=OE,

A2CD2=22,2OE2=22,

即CD=OD=OE=CE=^

2

???陰影部分的面積S=S翩形AQB-S.CDO-S〉CEO=。。兀*2■工X版乂a-

3602

yX72x6=n?2,

乙

故答案為：n-2.

【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，扇形面積

的計算等知識點，把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵，注意：

如果扇形的圓心角為,半徑為八那么該扇形的面積為紀叱.

360

17.（2022?大渡口區(qū)模擬）如圖，在扇形AOC中，N8OC=60。，OQ平分N80C交交手

點。.點E為半徑Oli上一動點.若03=2,則陰影部分周長的最小值為_2V2±—

【分析】利用軸對稱的性質(zhì)，得出當點E移動到點E'時，陰影部分的周長最小，此時的最

小值為弧CO的長與CQ'的長度和，分別進行計算即可.

【解答】解：如圖，作點。關(guān)于04的對稱點O',連接O'C交OB于點、E',連接父

D、OD',

此時&C+E'。最小，即：EfC+E'D=CDf,

由題意得，ZCOD-ZDOB-ZBOD1一30°,

AZCODr=9()",

???CO，=VoC2+ODy2=^22+22=2^2?

，而的長/=30兀X2=冗

-180-T

，陰影部分周長的最小值為272+—.

3

故答案為：2&+2L.

3

【點評】本題考查與圓有關(guān)的計算，掌握軸對稱的性質(zhì)，弧長的計算方法是正確計算的前提,

理解軸對稱解決路程最短問題是關(guān)鍵.

18.（2022?成都模擬）如圖，半圓的圓心與坐標原點重合，半圓的半徑1,直線/的解析式

為），=K+/.若直線/與半圓只有一個交點，則t的取俏范圍是/=后或-1W/VI.

【分析】若直線與半圓只有一個交點，則有兩種情況：直線和半圓相切于點。或從直線過

點4開始到直線過點B結(jié)束（不包括直線過點4）.

當直線和半圓相切于點。時，根據(jù)直線的解析式知直線與x軸所形成的銳角是45°,從而

求得NOOC=45°,即可求出點。的坐標，進一步求得，的值；當直線過點B時，宜接根

據(jù)待定系數(shù)法求得，的值.

【解答】解：若直線與半圓只有一個交點，則有兩種情況：直線和半圓相切于點C或從直

線過點A開始到直線過點8結(jié)束（不包括直線過點A）.

直線）,=.葉/與x軸所形成的銳角是45°.

當直線和半圓相切于點C時，則OC垂直于直線，ZCOD=45°.

又OC=1,則。。=。￡>=亞，即點C（-亞，亞），

222

把點。的坐標代入直線解析式，得

t=y-x=42,

當直線過點A時，把點A（-1,0）代入直線解析式，得/=廠”=1.

當直線過點B時，把點8(1,0)代入直線解析式，得片yx=-l.

即當，=&或-iwy1時，直線和圓只有一個公共點；

【點評】此題綜合考查了直線和圓的位置關(guān)系，及用待定系數(shù)法求解直線的解析式等方法.

三.解答題(共11小題)

19.(2022?汝陽縣一模)如圖，BE是。0的直徑，點A和點。是。。上的兩點，過點A作