2024—2025學年寧夏固原市九年級第一次模擬考試數學試卷（人教版）

一、單選題(★★★)1.如圖，在中，，將繞點C逆時針旋轉得到，點A，B的對應點分別為D，E，連接．當點A，D，E在同一條直線上時，下列結論一定正確的是（）

A．B．C．D．(★★★)2.下列方程中，一元二次方程共有（）個．①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2

A．1B．2C．3D．4(★★★)3.若關于x的一元二次方程有兩個實數根，，且，則（）

A．2或6B．2或8C．2D．6(★★★)4.已知是拋物線（a是常數，上的點，現有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線；②點在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結論的個數為（）

A．1個B．2個C．3個D．4個(★★★)5.如圖，二次函數的圖象與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列四個結論：①；②；③；④當時，；其中正確結論的個數為（）

A．1個B．2個C．3個D．4個(★★★)6.我國南宋數學家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設寬為x步，根據題意列方程正確的是（）

A．B．C．D．(★★★)7.如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，動點P從B點出發以3cm/s的速度沿著邊BC﹣CD﹣DA運動，到達A點停止運動；另一動點Q同時從B點出發，以1cm/s的速度沿著邊BA向A點運動，到達A點停止運動．設P點運動時間為x（s），△BPQ的面積為y（cm2），則y關于x的函數圖象是（）

A．B．C．D．(★★★★)8.如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B、C在x軸的正半軸上，，．點M在菱形的邊和上運動（不與點A，C重合），過點M作軸，與菱形的另一邊交于點N，連接，，設點M的橫坐標為x，的面積為y，則下列圖象能正確反映y與x之間函數關系的是（）

A．B．C．D．二、填空題(★★★)9.如圖是由邊長為1的小正方形組成的網格，點，，，，，，均在格點上．下列結論：①點與點關于點中心對稱；②連接，，，則平分；③連接，則點，到線段的距離相等．其中正確結論的序號是________．(★★★)10.已知二次函數y＝﹣x2+4x+5及一次函數y＝﹣x+b，將該二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象（如圖所示），當直線y＝﹣x+b與新圖象有4個交點時，b的取值范圍是_____．(★★★)11.若關于的一元二次方程的一個根為．則_______．(★★★)12.已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，且，則實數_________．(★★★)13.已知拋物線（，，是常數）開口向下，過，兩點，且．下列四個結論：①；②若，則；③若點，在拋物線上，，且，則；④當時，關于的一元二次方程必有兩個不相等的實數根．其中正確的是_________（填寫序號）．(★★★)14.若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程的兩個實數根，則這個直角三角形斜邊的長是_________．(★★★)15.如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調試發現，噴頭高時，水柱落點距O點；噴頭高時，水柱落點距O點．那么噴頭高_______________m時，水柱落點距O點．(★★★★)16.若，滿足，則的值為___________．三、解答題(★★★)17.閱讀材料：材料1：關于x的一元二次方程的兩個實數根和系數a，b，c有如下關系：，．材料2：已知一元二次方程的兩個實數根分別為m，n，求的值．解：∵m，n是一元二次方程的兩個實數根，∴．則．根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：(1)應用：一元二次方程的兩個實數根為，則___________，___________；(2)類比：已知一元二次方程的兩個實數根為m，n，求的值；(3)提升：已知實數s，t滿足且，求的值．(★★★)18.定義：平面直角坐標系中，點，點，若，，其中為常數，且，則稱點是點的“級變換點”．例如，點是點的“級變換點”．(1)函數的圖象上是否存在點的“級變換點”?若存在，求出的值；若不存在，說明理由；(2)點與其“級變換點”分別在直線，上，在，上分別取點，．若，求證：；(3)關于x的二次函數的圖象上恰有兩個點，這兩個點的“1級變換點”都在直線上，求n的取值范圍．(★★★)19.龍巖市公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔10月份到12月份的銷量，該品牌頭盔10月份銷售50個，12月份銷售72個，10月份到12月份銷售量的月增長率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)若此種頭盔的進價為30元/個，商家經過調查統計，當售價為40元/個時，月銷售量為500個，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到8000元，且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔每個售價應定為多少元？(★★★)20.跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度為，基準點K到起跳臺的水平距離為，高度為（h為定值）．設運動員從起跳點A起跳后的高度與水平距離之間的函數關系為．(1)c的值為__________；(2)①若運動員落地點恰好到達K點，且此時，求基準點K的高度h；②若時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為__________；(3)若運動員飛行的水平距離為時，恰好達到最大高度，試判斷他的落地點能否超過K點，并說明理由．(★★★)21.在中、，于點M，D是線段上的動點（不與點M，C重合），將線段繞點D順時針旋轉得到線段．(1)如圖1，當點E在線段上時，求證：D是的中點；(2)如圖2，若在線段上存在點F（不與點B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．(★★★)22.某造紙廠為節約木材，實現企業綠色低碳發展，通過技術改造升級，使再生紙項目的生產規模不斷擴大．該廠3，4月份共生產再生紙800噸，其中4月份再生紙產量是3月份的2倍少100噸．(1)求4月份再生紙的產量；(2)若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產量比上月增加．5月份每噸再生紙的利潤比上月增加，則5月份再生紙項目月利潤達到66萬元．求的值；(3)若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙產量比上月增長的百分數相同，6月份再生紙項目月利潤比上月增加了．求6月份每噸再生紙的利潤是多少元？(★★★)23.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲．某同學借此情境編制了一道數學題，請解答這道題．如圖，在平面直角坐標系中，一個單位長度代表1m長．嘉嘉在點處將沙包（看成點）拋出，并運動路線為拋物線的一部分，淇淇恰在點處接住，然后跳起將沙包回傳，其運動路線為拋物線的一部分．(1)寫出的最高點坐標，并求a，c的值；(2)若嘉嘉在x軸上方的高度上，且到點A水平距離不超過的范圍內可以接到沙包，求符合條件的n的整數值．(★★★)24.建設美麗城市，改造老舊小區．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現假定每年投入資金的增長率相同．(1)求該市改造老舊小區投入資金的年平均增長率；(2)2021年老舊小區改造的平均費用為每個80萬元．2022年為提高老舊小區品質，每個小區改造費用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區？(★★★★)25.如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學習二次函數后，受到該圖啟示設計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在處，對稱軸與水平線垂直，，點在拋物線上，且點到對稱軸的距離，點在拋物線上，點到對稱軸的距離是1．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖②，為更加穩固，小星想在上找一點，加裝拉桿，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點的位置并求出坐