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《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》博士研究生入學(xué)試題(A)解答

一、簡(jiǎn)答題

1、指出穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤和穩(wěn)健/統(tǒng)計(jì)量的適用條件。

答：穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤和穩(wěn)健/統(tǒng)計(jì)量的適用條件是樣本容量較大的的場(chǎng)合。在大樣本容量的情況下，一

般在橫截面數(shù)據(jù)分析中總是報(bào)告穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤。在小樣本情況下，穩(wěn)健f統(tǒng)計(jì)量不那么接近，分布，

從血口J能導(dǎo)致推斷失誤。

2、若回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)可能存在4(^>1)階自相關(guān)，應(yīng)采用什么檢驗(yàn)？其檢驗(yàn)過程和檢驗(yàn)

統(tǒng)計(jì)量是什么？

答：如果模型：y,=4)…的誤差項(xiàng)滿足：

g=P1G-1+夕2邑-2+…+Pq￡”q+匕，其中匕是白噪聲。

原假設(shè)“0：夕［=0,22=0,…，凡=0

那么，以下兩種回答都可以。

1)、(1).K對(duì)乙，巧，…，%(=12…,7)做OLS回歸，求出OLS殘差￡,；

(2).3對(duì)芭,,々,，…，%，百一自.2,…，￡,―/做(%5回歸，(+….丁)，得到中；

(3).計(jì)算⑵中的￡.，￡,_2,…，5r聯(lián)合尸檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。若尸檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于臨界值，則判

定回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)存在ty(4>1)階自相關(guān)；否則，則判定判定回歸模型的隨機(jī)

誤差項(xiàng)不存在q(9>1)階自相關(guān)。

2)、完成了1)中的(1)、(2)兩步以后，運(yùn)用布勞殊一戈弗雷檢驗(yàn)(BreschGoldferytest)

LM=(JT-q)R2,由于它在原假設(shè)〃。成立時(shí)漸近服從I?./分布。當(dāng)大于臨界值，

則判定回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)存在“(夕>1)階自相關(guān)；否則，判定回歸模型的隨機(jī)誤

差項(xiàng)不存在q(q>l)階自相關(guān)。

3、謬誤回歸的主要癥狀是什么？檢驗(yàn)謬誤回歸的方法主要有哪些？在回歸中使用非平穩(wěn)的時(shí)間

序列必定會(huì)產(chǎn)生偽回歸嗎？

答:格蘭杰(Granger)和紐博爾德(Newbold)認(rèn)為在用時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸估計(jì)時(shí)，如果R?在

數(shù)值上大于德賓-沃特森統(tǒng)計(jì)量，則我們應(yīng)當(dāng)懷疑有謬誤回歸存在.

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檢驗(yàn)謬誤回歸的方法主耍是用DF和ADF檢驗(yàn)考察回歸的殘差是否服從1(0),進(jìn)出判定變量之

間的關(guān)系是否為協(xié)積的，從而檢驗(yàn)出謬誤回歸的存在性。

回歸中使用非平穩(wěn)的時(shí)間序列不一定會(huì)產(chǎn)生謬誤回歸，比如兩個(gè)協(xié)積的變量，雖然它們可以非

平穩(wěn)，但是不會(huì)產(chǎn)生謬誤回歸。

4、一般的幾何滯后分布模型具有形式：y=。+雙￡(1-4)\乙+￡,,E(￡,)=0,

I=O

=b2a*,0<2<1o

如何對(duì)這類模型進(jìn)行估計(jì)，才能獲得具有較好性質(zhì)的參數(shù)估計(jì)量？

答：對(duì)一般的幾何滯后分布模型y,,有限的觀測(cè)不可能估計(jì)無(wú)限的參

*=0

數(shù)。為此，必須對(duì)模型形式進(jìn)行變換：

00

注意到：)%=%)+%42(1-2)'蒼+|+弓-1，從而：

1=0

由于y-與相關(guān)，所以該模型不能用OLS方法進(jìn)行估計(jì)，必須采用諸如工具變量等方法

進(jìn)行估計(jì)，才能獲得具有較好性質(zhì)的參數(shù)估計(jì)量。

5、假定我們要估計(jì)一元線性回歸模型：

2

y=a±px,+q,Mq)=0,cov(^,^)-cra>rs

但是擔(dān)心看可能會(huì)有測(cè)量誤差，即實(shí)際得至U的3可能是京=匕+匕，匕是白噪聲。如果已經(jīng)知道

存在與X；相關(guān)但與￡,和匕不相關(guān)的工具變量z,,如何檢驗(yàn)工是否存在測(cè)量誤差？

答：已知存在與X；相關(guān)但與J和匕不相關(guān)的工具變量z,,用最小二乘法估計(jì)模型X；=旬+。,+匕，

得到殘差苗=年-年-4小把殘差工作為解釋變量放入回歸方程y,=a+您+即+%,用最小二

乘法估計(jì)這個(gè)人工回歸，對(duì)顯著性假設(shè)運(yùn)用通常的一檢驗(yàn)。

"0：3=0(匕與j之間沒有相關(guān)性)

儲(chǔ)：5工()(匕與J之間有相關(guān)性)

注意，由y=a+我可推得y-夕一位,=能+應(yīng)，即：￡,=dv,+u,<,

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利用對(duì)“=a+/K+j所做回歸得到的殘差3替代%,對(duì)系數(shù)6作OLS估計(jì)，當(dāng)”檢驗(yàn)顯著時(shí)就

表明X,與邑之間有相關(guān)性，即%存在測(cè)量誤差。否則就沒有。

6、考慮一個(gè)單變量平穩(wěn)過程

M=%）+%）■+幾芭+與（1）

這里,=/7D（O,cr2）以及|aj<lo

由于（1）式模型是平穩(wěn)的，,和項(xiàng)都將達(dá)到靜態(tài)平衡值，即對(duì)任何/有：

<=MK）,/=E（x）

于是對(duì)（1）式兩邊取期望，就有

），.=劭+藥<+兒/+'/?(2)

也就是

?。()(夕0+夕I)*1,1*

y=———+~尤=k+kx(3)

1-(71]一%01

這里占是〈關(guān)于R的長(zhǎng)期乘數(shù)，

重寫（1）式就有：

=。0+（四—一k（、_4毛_［）+。0琳+3(4)

我們稱（4）式為（1）式的誤差修正機(jī)制（Error-correctionMechanism）表達(dá)式（ECM）0在（4）

式中我們可以發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)期均衡的正、負(fù)偏離對(duì)短期波動(dòng)的作用是對(duì)稱的。假如這種正、負(fù)偏離

對(duì)短期波動(dòng)的作用不是對(duì)稱的，那么模型應(yīng)該如何設(shè)計(jì)與估計(jì)？

答：若對(duì)誤差修正（ECM）模型，假如發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)期均衡的正、負(fù)偏離對(duì)短期波動(dòng)的作用是非對(duì)稱的

話，模型可以設(shè)計(jì)如下：

1”叫演為虛擬變量，表示Y偏離的方向。

其中九=?

1。y,^fM

當(dāng)以正偏離時(shí)，=i,誤差修正項(xiàng)系數(shù)為

當(dāng)上為負(fù)偏離時(shí)，=o,誤差修正項(xiàng)系數(shù)為心。

參數(shù)估計(jì)的方法可用MLE,也可用OLS。

7、檢驗(yàn)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型是否存在異方差，可以用布羅歇一帕甘檢驗(yàn)（BreuschPagan）和懷

特（White）檢驗(yàn)，請(qǐng)說(shuō)明這二種檢驗(yàn)的差異和適用性。

答:當(dāng)人們猜測(cè)異方差只取決于某些解釋變量時(shí)，布羅歇一帕甘檢驗(yàn)（BreuschPagan）比較適合

使用；當(dāng)人們猜測(cè)異方差不僅取決于某些解釋變量，還取決于這些自變量的平方和它們的交叉

乘積項(xiàng)時(shí)，懷特（White）檢驗(yàn)比較適合使用。雖然，有時(shí)使用布羅歇一帕甘檢驗(yàn)無(wú)法檢驗(yàn)出

異方差的存在，但用懷特（White）檢驗(yàn)卻能檢測(cè)出來(lái)。不過，懷特（White）檢驗(yàn)要用掉很多

自由度。

8、在模型設(shè)定時(shí)，如果遺漏重要變量，那么模型中保留下來(lái)的變量系數(shù)的OLS估計(jì)是無(wú)

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偏和一致的嗎？請(qǐng)舉簡(jiǎn)例說(shuō)明。

答：在模型設(shè)定時(shí)，如果遺漏重要變量，那么模型中保留下來(lái)的變量系數(shù)的OLS估計(jì)通常是有偏和

不一致的。例如，假定工資模型為：

如果估計(jì)時(shí)遺漏了變量〃/也，得到如下估計(jì)模型：

即使假定ed〃c,exper無(wú)關(guān),我們也容易證明反與A也都是有偏和不一致的，且有：

由于/73>0,并且變量比/〃c與a〃〃正相關(guān)，因此，。是正偏誤和不-一致的。

二、綜合題

1、為了比較A、8和。三個(gè)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)相類似的城市由于不同程度地實(shí)施了某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策后的

績(jī)效差異，從這三個(gè)城市總計(jì)+NB+N。個(gè)企業(yè)中按一定規(guī)則隨機(jī)抽取〃八+〃H+〃（.個(gè)樣本企

業(yè)，得到這些企業(yè)的勞動(dòng)生產(chǎn)率），作為被解釋變量,如果沒有其它可獲得的數(shù)據(jù)作為解釋變量，

并且A城市全面實(shí)施這項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策，B城市部分實(shí)施這項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策，。城市沒有實(shí)施這

項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策。如何建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型檢驗(yàn)A、8和C這三個(gè)城市之間由于不同程度實(shí)施某項(xiàng)

經(jīng)濟(jì)改革政策后存在的績(jī)效差異？

解：把4、8兩個(gè)城市中第i企業(yè)的勞動(dòng)生產(chǎn)率y寫成如下模型：

、=&+即4+加防+與，

（1）

這里，虛擬變量。八可表示為：

J1,第i個(gè)企業(yè)來(lái)自于城市A（2）

L[（）,其它

A[1,第i個(gè)企業(yè)來(lái)自于城市4（3）

，寸0.其它

于是，參數(shù)a表示城市C企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率，而參數(shù)/表示城市A企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率

與城市C企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率之間的差異，即a+夕表示城市A企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率;參數(shù)/表

示城市B企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率與城市C企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率之間的差異，即。+/表示B城市

企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率，即：

a+=1,Df^=0

頊y(cè),）=a+y，DAi=o,DBi=\（4）

a、DAi=0,DBi=0

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要檢驗(yàn)城市A企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率與城市B企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率之間的有無(wú)顯著差異，改

寫模型為：

X=a+8DA.+yiDBi+DA.）+s.,

其中，8-p-yx與?N（0Q2）；

此時(shí)，有：

a+y+S,DAi=1,DBi=0

E（y）=<a+y,。*=（）,。所=1（5）

a,D.S=0

運(yùn)用t檢驗(yàn)看參數(shù)6是否顯著地不為0,否則就認(rèn)為城市A企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率與城市B企業(yè)的

期望勞動(dòng)生產(chǎn)率之間無(wú)顯著差異

2、用觀測(cè)值y，…,y20和x（），為，…,與（）估計(jì)模型

得到的OLS估計(jì)值為

R2=0.86和a2=25

括號(hào)內(nèi)為t統(tǒng)計(jì)量。由于自的t值較小，去掉滯后回歸自變量為-重新估計(jì)模型，這時(shí)，R2為多少？

解：去掉滯后回歸自變量X“后所估計(jì)的模型可以看作是無(wú)約束模型：

在約束條件：R0=o之下所得到的估計(jì)。這里，R=（o,o,l）,6=（a,0o，0）o

設(shè)無(wú)約束模型的OLS殘差向量為e,帶約束模型的OLS殘差向量為公，則有:

=—e'e—25?從而可得至ll：ee=20&2=2x25=500

20

（八、

令。=（XX）T=&L，則有4=乍幺從而可得到：。22

二A=0.0256

心

yJC22

注意到帶約束模型的OLS殘差平方和與無(wú)約束模型的殘差平方和存在如下關(guān)系:

可推得：SST=——

由i篝?麗,\-R2r

同理，由解T一怒可推得：耳點(diǎn)一等之一警（1一店

所以，/?-=1-(1_/?-)=1-^2112X0.24=0.86

v

片e'e)500

3、對(duì)線性回歸模型:

(z=1,2,…,〃)(1)

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滿足后沼工0。假定Zj可以作為七合適的，具變量，且Vc”（e|Z）=b2/,請(qǐng)導(dǎo)出，具變量

估計(jì)量，并給出它的極限分布。

解：由于瓜月工（），所以參數(shù)向量夕的OLS估計(jì)將是不一致的。假定Z,可以作為為合適的工具

變量，對(duì)模型進(jìn)行變換：

Z,」=zHF+ZR--------------------------------------------------(2)

TTT

從而有：=p￡z/；+￡z向-------------------(3)

1=11=11=1

1T1T2T

根據(jù)：^[-7=^2,.^]=0,—^Z,.Z；--------(4)

7Tr=i7TJ=I/r=i

并且PIMJZz#)PHRJZz￡)=加h?°=0

所以運(yùn)用OLS估計(jì)方法，可得：吼二唇川恪z3-----------------（5）

注意到:何時(shí)一萬(wàn)出沙；］［煮沙

由（4）和中心極限定理，可得：

"（吼一〃）的極限分布為正態(tài)N（0,/M"）分布,其中：M==plim，之z,W

T/-I

也就是，：BN'N'

4、考慮如下受限因變量問題：

1）、二元離散選擇模型中的Logit模型，在給定W，，=1,2,…,N條件之下方=1的條件概率為:

在重復(fù)觀測(cè)不可得的情況下，運(yùn)用極大似然估計(jì)方法證明：

其中T=（1,X.，3,與），立=1：皆2）。

2）、為什么利用觀測(cè)所獲得的正的數(shù)據(jù)4來(lái)估計(jì)Tobit模型是不合理的？

3）、對(duì)Tobit模型：），：=%/+與，i=l,2,…，〃以及與服從正態(tài)N（0,/）分布，

y,=y；，若y；>o；乂=。，若y：?。；

求：（1）>E（）“y：>0）；

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（2）、對(duì)重復(fù)觀測(cè)不可得的情況詳細(xì)說(shuō)明Heckman提出的模型估計(jì)方法。

答案：

1）、證明：對(duì)Logit模型，其似然函數(shù)可寫成如下形式：

即）=n[P（M=/）]、'?=°k）Tv,--------------------（1）

1=1

（1）式的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

N

log[F（x；/7）]+（1-X-）log[l-F（x；/?）]}-----------（2）

（2）式關(guān)于參數(shù)夕的一階導(dǎo)數(shù)為：

于是，一階條件為：_expU^）1-------（3）

句l+exp（.r；^）J

NN

由（3）式可知：2凹七=2）四------------（4）

1=11=1

由于片=（1,當(dāng)，4，…，％）中第一分量為常數(shù)L所以根據(jù)（4）式可得到：

2）、假定我們考慮的Tobil模型為：），：=必?+不i=l,2,…，〃以及明.服從正態(tài)

N（0,（y2）分布，滿足必=5：，若y：＞0；yf.=0,若y；K0。

則有：＞0）"?+或花＞-加='+二?黑）

即；E（）“y；＞0）=x\P+o）=x\P+b#\p

賦""：力氣x

UH）/l-（P（-A；/?/o-）W/b）

也就是僅僅考慮利用觀測(cè)所獲得的正的數(shù)據(jù)y：來(lái)估計(jì)Tobit模型，所獲得的參數(shù)夕的估計(jì)

是有編的，并且其數(shù)值大于由力并且依賴于綱，這就是僅僅運(yùn)用正觀測(cè)值子樣本來(lái)估計(jì)Tobit

①（?）

模型的不合理性。

3）、我們知道，對(duì)于Tobit模型有這樣的結(jié)論:

=印+o"=邙+(J^(1)

這里，取二。…＜哈。

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如果有.關(guān)于4的估計(jì)，就可得到"的一致估計(jì)。

JamesHeckman設(shè)計(jì)出了一種相對(duì)比較簡(jiǎn)單的兩步估計(jì)法，但這個(gè)估計(jì)法能夠得到夕的一致估

計(jì)。

（I）在重復(fù)觀測(cè)不可得的條件下，具體的估計(jì)步驟如下：

第一步，我們通過Probil模型來(lái)區(qū)分“y；〉0”的觀測(cè)和“y；<0”的觀測(cè)，可以得到：

-{馬=1|%}=p{y->o|xf}=P{-〉r-M=①（中）,

運(yùn)用極大似然估計(jì)方法有：

=位中（硒r口-明夕）『

(2)

/(￡)=￡[”①(0+(1—zjn(l—①(。))](3)

對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:

f=l

根據(jù)：甯=￡Z,一6（力）

。（“瀘）怎=。，利用數(shù)值運(yùn)算方法可以求得/“,，這樣就

C，P,=1中（山7）口-%朗

很容易獲得:=少也

①（皿））

第二步，我們?cè)讷@得了％之后，考慮下述模型:

y=X；?+偵+%?(i=\,2,…，N)(4)

其中，我們假定《滿足高斯一馬爾可夫條件。于是,運(yùn)用OLS方法可以得到Tobit模型的參數(shù)

估計(jì)成。但是，需要注意的是，《完全可能不滿足高斯一馬爾可夫條件，出現(xiàn)序列相關(guān)或異方差的

現(xiàn)象，因此，需要運(yùn)用廣義最小二乘法（GLS）或可行的廣義最小二乘法（FGLS）。一般情況下，由

OLS方法得到的t檢驗(yàn)是有偏的。另外，Heckman的二步估計(jì)法不如Fair的極大似然估計(jì)法那樣

有效。因此，只要可能的話，最好采用極大似然估計(jì)法。

《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》博士研究生入學(xué)試題（B）解答

一、簡(jiǎn)答題

1、說(shuō)明隨機(jī)游動(dòng)過程和單位根過程的聯(lián)系與差異？如何檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)經(jīng)濟(jì)變量具有單位根？

答：隨機(jī)游動(dòng)過程在形式上與單位根過程完全一樣，但它們之間的本質(zhì)性差異在?上。當(dāng)是白噪

聲時(shí)，我們就稱該過程為隨機(jī)游動(dòng)過程（randomwalk）；當(dāng)邑是平穩(wěn)過程時(shí)，該過程就是單位根

過程。隨機(jī)游動(dòng)過程是單位根過程的一種特殊情形，它是非平穩(wěn)過程。

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如果某個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的數(shù)據(jù)發(fā)生過程滿足，假定隨機(jī)干擾項(xiàng)〃，獨(dú)立同服從于均值

為0,方差為4的分布時(shí)，檢驗(yàn)它是否具有單位根可以用迪基和富勒（DF）檢驗(yàn)；

如果放寬對(duì)隨機(jī)干擾項(xiàng)的限制，允許隨機(jī)干擾項(xiàng)應(yīng)服從一個(gè)平穩(wěn)過程，即吃=才。27,在這種的

7=0

情況下，它是否具有單位根可以用增廣的迪基和富勒（ADF）檢驗(yàn)。

2、冰積的概念是什么？如何檢驗(yàn)兩個(gè)序列是協(xié)積的？

答：如果工和七都是非平穩(wěn)/⑴過程變量，則我們自然會(huì)預(yù)期它們的差，或者諸如4=咒-%-巴工

一類的任何線性組合也是/⑴的。但是，有一種很重要的情形就是“=X-%-%為是一個(gè)平穩(wěn)的

/⑻過程。這一情形我們稱乂和為是協(xié)積的。協(xié)積意味著孫和為擁有相似的隨機(jī)趨勢(shì)，于是它們

的差酊就是平穩(wěn)的，它們相互之間絕不會(huì)偏離太遠(yuǎn)。協(xié)積變量％和西之間表現(xiàn)出一種定義為

），,=%+%%的長(zhǎng)期均衡關(guān)系，而G是均衡誤差，表示對(duì)長(zhǎng)期均衡關(guān)系的一種短期偏離。

通過檢驗(yàn)誤差,-因-％%是否平穩(wěn)，我們判斷上和再之間是否協(xié)積。因?yàn)槲覀儾荒苡^察

儲(chǔ),所以就使用迪基一富勒（DF）檢驗(yàn)，通過檢驗(yàn)最小二乘估計(jì)的殘差自="-自-制七的平穩(wěn)性

來(lái)替代。

3、在二元離散選擇的模型中解釋變量/變化作用的符號(hào)與其系數(shù)A的符號(hào)有什么關(guān)系？為什

么？至少寫出二點(diǎn)關(guān)于丁帥”模型與二元離散選擇的模型的區(qū)別？

答：在Probit模型、Logit模型中的參數(shù)是無(wú)法直接解釋的。我們可以通過如下微分來(lái)考察這些模

型：

畔上0=[-7=exp]—|（HP）?\P=。（后夕以（1）

河2JJ

F二一向一二L『瓦（2）

這里，。（后⑶表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)。這些微分度量了與變化的邊際作用。4變化的邊際作

用都依賴于4的數(shù)值。在（1）和（2）兩種情況下，/變化作用的符號(hào)與其系數(shù)乩的符號(hào)是相一

致的。

力力〃模型與二元離散選擇的模型的區(qū)別：（1）概率單位模型和Tobit模型的區(qū)別是前者因

變量使用的是啞變量，后者因變量使用的是刪尾的連續(xù)變量；（2）Tobit模型中乃=0要比），：＞0

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時(shí)K=）,；有更重的權(quán)數(shù)，因?yàn)橛蠵r｛）”O(jiān)|xJ=Pr｛y；工0|七｝,這是其它離散選擇模型所不具備

的。

4、海德拉斯（Hildreth）和盧（Lu）（I960）檢查分析了30個(gè)月度的時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)（從1951

年3月到1953年7月），定義了如下變量：

cons=每人冰激凌的消費(fèi)量（按品脫計(jì)）

income=每周平均的家庭收入（按美元計(jì)）

price=每品脫冰激凌的價(jià)格（按美元計(jì)）

temp=平均氣溫（°F）

1）、用cons對(duì)income,price,tem和常數(shù)作線性回歸模型，得到DW統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值為1.0212,

請(qǐng)說(shuō)明模型存在什么病態(tài)？

答：說(shuō)明模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)可能存在序列相關(guān)，因此，用cons對(duì)income,price,tem和常數(shù)作線

性回歸模型所得到的參數(shù)估計(jì)可信度低。

2）、上述模型中加入平均氣溫的一階滯后項(xiàng)tem（-1）,得到力W=1.5822,并且該項(xiàng)的系數(shù)估計(jì)

為負(fù)，請(qǐng)說(shuō)明加入該項(xiàng)的作用以及系數(shù)為負(fù)的經(jīng)濟(jì)含義。

答：模型中加入平均氣溫的一階滯后項(xiàng)te口（T）后，有助于改善隨機(jī)誤差項(xiàng)存在序列相關(guān)所帶來(lái)的

干擾和影響；該項(xiàng)系數(shù)為負(fù)說(shuō)明，如果上月的平均氣溫很高，當(dāng)月趨于正常的話，當(dāng)月每人冰

激凌的消費(fèi)量不會(huì)保持上個(gè)月的高水平，只會(huì)有所下降，并與當(dāng)月的平均氣溫呈正向因果關(guān)系;

反之也一樣。

3）、請(qǐng)寫出2）中模型的另一種表達(dá)式，說(shuō)明該表達(dá)式中變量系數(shù)的符號(hào)，解釋符號(hào)的經(jīng)濟(jì)意義。

答:若const=aQ+axprice,+a.incomet+a3te/npl+aAtempt_x+,且其參數(shù)滿足：

%<0,?2>0,>0,<0,且有%>-%,因?yàn)椋话惝?dāng)月的平均氣溫對(duì)每人當(dāng)

月冰激凌的消費(fèi)量影響最大。

我們可以把上述模型進(jìn)行變形，即：

其中，各個(gè)變量的系數(shù)滿足四<0,?2>0,4>0,/>0o

這說(shuō)明每人月冰激凌的消費(fèi)量受價(jià)格的抑制影響，而收入與當(dāng)月的平均氣溫與每人冰激凌

消費(fèi)量的走向一致，當(dāng)月平均氣溫的變化量與每人冰激凌消費(fèi)量的變化也是一致的。

4、說(shuō)明配和調(diào)整的聲之間的差異，為什么在多變量線性回歸模型的擬合評(píng)價(jià)中人們主要用肥，

而不是一般的決定系數(shù)相呢?

__!1__yN2

（N-（p+l））白e，,嘴口而

答：由于支=1

（A^l）S（Z-y）2

因此，當(dāng)模型中引入另外的回歸變量時(shí)，無(wú)論這個(gè)變量是否合理，R2值永遠(yuǎn)不會(huì)減小。正是

用于修正自由度的擬合優(yōu)度度量，即：

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于是，當(dāng)模型中引入另外的回歸變量時(shí)，展值也許就會(huì)減小。因此，尸并不依賴于模型中解

釋變量的個(gè)數(shù)，這也就是在多變量線性回歸模型的擬合評(píng)價(jià)中人們主要用R2,而不是用一般的擬

合優(yōu)度上。

5、對(duì)于一種簡(jiǎn)化的異方差模型，即假定：Var—Xj—這里假定九可以被。估計(jì)

的。那么關(guān)于參數(shù)夕的可行的廣義最小二乘估計(jì)（FGLS）量如何得到？它是否還具有廣義最小

一乘估計(jì)的優(yōu)良性質(zhì)？

答：假定網(wǎng)廠區(qū)/為上/月，兒是已知的。于是，關(guān)于參數(shù)夕的廣義最小二乘估計(jì)（GLS）量適

用于下述轉(zhuǎn)換了的模型：

很明顯，轉(zhuǎn)換了的模型的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)具有同方差。這樣，就產(chǎn)生了GLS估計(jì)量：

a「N]TN

PGIS=ZX2M凹

-r=l」7

由于兒可以被冗估計(jì)，則得到參數(shù)夕可行的廣義最小二乘估計(jì)（FGLS）量，即

人「N八J-'N人

=22

PFGLS^4xixixiyi

_J=：Jz=i

顯然，/「GIA不再具有無(wú)偏性的性質(zhì)，但一致性繼續(xù)保持。

7、在美國(guó)有人對(duì)密歇根的AnnArbor的大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，認(rèn)為男生和女生對(duì)空間（用R00MPER度

量）和距學(xué)校的距離（用DIST度量）具有不同的觀點(diǎn)。試問如何利用租金（用RENT度量）數(shù)

據(jù)對(duì)下述模型：

用尸檢驗(yàn)法檢驗(yàn)假設(shè)句J>以〃,（￡女）？

注：SEY為虛擬變量——（1;如果是女生；0；如果是男生）。

答：假定被調(diào)查的男大學(xué)生和女大學(xué)生人數(shù)分別為M和N-M，利用被調(diào)查的男大學(xué)生和女大學(xué)

生的數(shù)據(jù)分別對(duì)下述模型：

JV.N-NX

工或百

進(jìn)行OLS估計(jì)，得到端=上—,逍=—且-----。

于是，對(duì)原假設(shè)%：嫉=/和備擇假設(shè)^>4。

A2

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為尸=粵在原假設(shè)“°：編=七成立時(shí)服從AN「3,N-N「3）

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分布。若卜,卜"a（Ni，N-N「S）,則拒絕原假設(shè)設(shè)〃0，認(rèn)為火"為J>V"（￡女）成立；否則，就

認(rèn)為&r（￡男）>（￡女）不成立。

8、為了研究美國(guó)住房需求情況，我們利用對(duì)3120個(gè)家庭調(diào)查的截面資料資料，對(duì)以下回歸模型:

其中Q=3120個(gè)家庭中的任何一個(gè)家庭每年所需要的住房面積平方英尺數(shù)；

P=家庭所在地住房的價(jià)格；

Y二家庭收入。

假設(shè)我們認(rèn)為住房需求由兩個(gè)方程組成，一個(gè)描述黑人的住房需求，另一個(gè)描述白人的住

房需求，這個(gè)模型可以寫成：

logQ=77]+=210g尸+夕31°§丫+￡；白人家庭

,o+lo+

g0=Xi/2g/slogy+6,；黑人家庭

我們希望對(duì)黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。這個(gè)假設(shè)是聯(lián)

合假設(shè)：A=/142=Y1A=Yi

為了對(duì)上述假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，我們首先對(duì)上述模型進(jìn)行估計(jì)，并將每個(gè)方程的誤差平方和相加，

得到ESSw=13640。現(xiàn)在，假設(shè)原假設(shè)為真，則模型簡(jiǎn)化為

logQ=px+/?2logP+ftlog/4-^所有家庭

對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行估計(jì)，得到它的誤差平方和￡5S〃=138380我們能否認(rèn)為系數(shù)全相等是正確的？

答：對(duì)于黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，我們采用鄒檢驗(yàn)（Chow

test）o在原假設(shè)成立時(shí)，尸=（空匚后汨'?網(wǎng)上3U4）,計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

ESS^R3114

尸JESS=1：83fl,遠(yuǎn)大于5%顯著性水平時(shí)網(wǎng)3,3114）的臨界值，所以拒絕

ESSUK/3\\413640/3114

黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設(shè)，它們之間存在顯著差異。

二、綜合題

1、假定模型的矩陣形式

y=X…，其中E?=。，E（X￡）=0；

1）、假定碌￡'）=。2/7，求在跖二廠條件下，參數(shù)夕的最小二乘估計(jì)量。

2）、假定￡（￡￡'）二。％且￡是正態(tài)向量N（0,cr2/J構(gòu)造檢驗(yàn)原假設(shè)”0：R13=7-[q=rank（R）]

的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并說(shuō)明該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從F分布。

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3)、如何判斷參數(shù)線性約束條件是否成立，請(qǐng)做說(shuō)明。

4)、證明：對(duì)模型顯著性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量產(chǎn)飛_春聯(lián)一女_[),請(qǐng)說(shuō)明原假設(shè)是什么？其中，K是

模型y=XB+￡在無(wú)約束條件下作OLS估計(jì)所得到的擬合優(yōu)度。

解：1)、要求在約束條件跖=/?下，參數(shù)向量夕的最小二乘估計(jì)量，目標(biāo)是求向量函數(shù)

V(分)二6一乂4)心一乂/?)+2/1'(即一廠)達(dá)到最小時(shí)的參數(shù)向量瓦。

對(duì)上述函數(shù)求導(dǎo)可得：

=-2X,+2(XX)瓦+2*2=0(1)

=瓦=(XX)TX,一(XX)-欠兄=瓦、.一(XX)“R睨(2)

因?yàn)椋?r=值心-R(XXYR以(3)

所以，2=[R(XX)TR(%-瓦閆R(XX)T(R%"

(4)

即瓦=鼠—(XX)TR[R(XX廠行(R晨-力(5)

2)、

根據(jù)上式中帶約束參數(shù)向量的最小二乘估計(jì)公式，我們有：

瓦二鼠_(XX『MMXX)TR"H鼠"(6)

從而，可以得到帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計(jì)殘差公式：

整理以后可得到：

也一%〃心.=(R%.一J[R(XX)TR『(R鼠">0(7)

也就是說(shuō),帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和相對(duì)于無(wú)參數(shù)向量約束模型的最小

二乘估計(jì)殘差平方和會(huì)變大，即：

ee>ep

—^UOLS^UOLS

要檢驗(yàn)原假設(shè)“。：刖=，?是否成立，需要構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)(8)式中所體現(xiàn)的性質(zhì),

我們構(gòu)造尸檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:

F=&3%咽小",這里q=m〃k(R)。

e晨-W-(p+l)]

(9)

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當(dāng)原假設(shè)“。：跖=「成立并且誤差向量￡不僅滿足高斯一馬爾柯夫條件，還滿足正態(tài)分布時(shí),

P_（。/?金-）'q

可以得到:服從自由度為（小N—〃一1）的尸

e嬴%ozs/[N-（P+1）]

分布，即產(chǎn)

3）、對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平a,若尸＞Ra（dN-〃-1）時(shí)，說(shuō)明帶約束參數(shù)向量模型的最小二

乘估計(jì)殘差平方和或以與無(wú)參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和或四與皿之間差異顯

著，此時(shí)，我們對(duì)參數(shù)向量的約束條件即=「不成立，也就是說(shuō)在原始模型中并不存在參數(shù)之間的

這種約束關(guān)系。因此，我們拒絕原假設(shè)"0。若尸二片〃-1）時(shí)，說(shuō)明帶約束參數(shù)向量模型

的最小二乘估計(jì)殘差平方和q4與無(wú)參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和或之間

在統(tǒng)計(jì)上沒有什么差異，此時(shí)，我們對(duì)參數(shù)向量的約束條件R￡=廠是合理的，也就是說(shuō)在原始模型

的參數(shù)之間確實(shí)存在著這種關(guān)系。因此，我們接受原假設(shè)“。。

4）、注意到無(wú)參數(shù)向量約束條件時(shí)模型的擬合優(yōu)度（或稱決定系數(shù)）和參數(shù)向量帶約束

條件時(shí)模型的擬合優(yōu)度（或稱決定系數(shù)）Rj分別為:

5S4,SSE

用二1一R2=]R

SSTu

從而有：SS耳尸Q—R；）SST/SSER=（1-RI）SSTL!

可以推得：SSER-SSEu=-幾次S=民-R）SS￡

這樣，殘差形式的尸檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:

又可以寫成擬合優(yōu)度形式的尸檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:

因此，當(dāng)對(duì)模型顯著性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量產(chǎn)=7~辱見——?jiǎng)t原假設(shè)指的是所有解釋變量的系數(shù)

（1-明（7-p-1）

都為零，即“0：/?,=P2=???=/?,=0o也就是當(dāng)〃。成立時(shí)，有以二0。這時(shí)，對(duì)模型顯著性檢

驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F=7~至上——c。

2、對(duì)線性回歸模型:

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y=X…,其中隨機(jī)誤差向量￡滿足高斯-馬爾可夫條件。

1)、定義最小二乘估計(jì)量6.

2)、如果X的第一列每個(gè)元素都是1,證明最小二乘殘差和為零，即>>,=0。

3)、令。=(4,比')'wRi：力=(b3b和X=(X?X2),推導(dǎo)：和打的表

達(dá)式。

4)、如果歷夕=/。與單位矩陣不成比例，試推出〃和/(GLS)方差形式。

解：1)、按照最小二乘的思想，我們定義該模型最小二乘估計(jì)量

注意，這時(shí)我們認(rèn)為(XX)是可逆的矩陣。

2)、令X=(z,Xj,其中,,則根據(jù)殘差向量的矩陣形式e=),_Xb=[/_X(XX)7x]v,

可以得到；X2=0,于是可推得;

即有：X40

3)、令M=，-X|(X：X|尸X：],M2=[Z2-X2(X;X2)-'X;]

根據(jù)y=X^+X2p2^E(1)

由(1)式左乘M,可得：My=MX圈+MX2A+M￡------(2)

注意到：=0,可得：/?2---------(3)

-,

同理：M3X2=0，可得：bx=(X；M2X1)X；A/2J--------(4)

4)、如果反a與單位矩陣不成比例，則根據(jù):

可得：W/r(7?)=cr2(XX)■'(Xnx

由于=為對(duì)稱正定矩陣，所以存在非奇異矩陣P,滿足=也就是

Q=(P)7(P)L根據(jù)這一性質(zhì)，我們對(duì)模型進(jìn)行變換：

2,

Py=PX^+P￡f顯然，Var(P￡)=P(y^P=(y'I。因此，對(duì)變換了的模型運(yùn)用最小二

乘估計(jì)，得到：

從而,va\p(GLs^=(xn-1%)-1xn-,(o-2Q)Q-,x(xn-,x)-,=o-2(xn-'x)-,o

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3、假設(shè)年輕男性職員與年輕女性職員的工資之間存在著恒定的差別，為檢驗(yàn)?zāi)贻p男性職員與年輕

女性職員受教育的回報(bào)是否相同以及方便起見，在模型中只包含受教育水平和性別二個(gè)定性的

解釋變量。試設(shè)計(jì)模型既能體現(xiàn)存在恒定的工資差別，又能反映存在受教育回報(bào)上的差別，并

對(duì)模型參數(shù)的估計(jì)及其所蘊(yùn)涵的意義進(jìn)行討論。

解：假設(shè)年輕男性職員與年輕女性職員的工資(wage)之間存在著恒定的差別，同時(shí)為方便起見,

在模型中只包含受教育水平(edu)和性別(female)二個(gè)定性的解釋變量。為進(jìn)行模型分析,

我們把定性的解釋變量轉(zhuǎn)換為可進(jìn)行定量分析的虛擬變量，即：

由于本問題涉及的解釋變量多于1個(gè)虛擬變量，因此，當(dāng)被解釋變量取為

log(卬age)時(shí)，這些虛擬的解釋變量系數(shù)就具有一種百分比的解釋。

為檢驗(yàn)?zāi)贻p男性職員與年輕女性職員受教育的回報(bào)是否相同，考慮到加入解釋變量交互項(xiàng)能

夠產(chǎn)生不同的斜率這一作用，我們?cè)O(shè)計(jì)如下模型：

log(wage),=(a0+feinale^-v(ai+八fenuilei)eduj+ci.........—(1)

在(1)式中代入勿山/力=0,就會(huì)發(fā)現(xiàn)，年輕男性職員這一組的截距為4,而受過初等

教育的斜率為％。對(duì)于年輕女性職員這一組，代入戶〃"七=1；于是其截距為。0+九，而

受過初等教育的斜率為2十為。因此，幾度量了年輕男性職員與年輕女性職員在截距上的

差異，力度量了年輕男性職員與年輕女性職員在受過初等教育回報(bào)上的差異。

要估計(jì)模型(1),我們可以把它改寫成：

log(wage)=female[+a]edui+%female?edui+-----------(2)

對(duì)模型(2)中我們可以用OLS方法估計(jì)出參數(shù)4,九0‘。

對(duì)于九必的取值可以分成如下四種情況：

(1)/0<0,/)<0；(2)/0<0,/1>0；(3)幾>0,%<0；

(4)/0>0,%>0o

其中，情形(1)/0<0,為<0表明，年輕女性職員組各種受教育水平的人的工資都比年輕

男性職員來(lái)得低，并且其工資差距隨著教育水平的提高而擴(kuò)大；情形(2)/0<0,%>0表

明，年輕女性職員組的截距小于年輕男性職員組，但年輕女性職員組的斜率卻大于年輕男性

職員組，這意味著年輕女性職員在受教育水平低的時(shí)候，其工資比年輕男性職員來(lái)得低，但

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隨著年輕女性職員受教育水平的提高，其工資水平會(huì)接近和超過年輕男性職員。情形（3）

與情形（4）的解釋相類似，這里略去。

4、投資學(xué)說(shuō)中的資本存量調(diào)整原理認(rèn)為人們根據(jù)最近的市場(chǎng)需求情況預(yù)期當(dāng)前的需求量

}'；，然后根據(jù)生產(chǎn)技術(shù)關(guān)系確定最合適的資本存量K；為：K；=v,從而得到必

要的凈投資量=陽(yáng)

1）、為什么這種投資計(jì)劃當(dāng)期內(nèi)不一定能實(shí)現(xiàn)？

2）、說(shuō)明為什么實(shí)際凈投資量必