物理競賽微積分初步求導積分物理競賽微積分初步求導積分物理競賽微積分初步求導積分§1函數、導數與微分一、變量、常量與函數變量：在某一過程中取值會不斷變化的量。常量：在某一過程中取值始終不變的量。函數：變量y按某種確定的關系隨變量x的變化而變化，則稱y是x的函數，x叫自變量，y叫因變量，寫作：y=f(x)例：y=3x2+2x,y=5sinx,y=ax,y=e2x復合函數：假設y是z的函數y=f(z)，而z又是x的函數z=g(x)，則稱y是x的復合函數，記作：y=(x)=f[g(x)]例：y=sin(ax2+bx+c),y=esin(2x+3)§1函數、導數與微分一、變量、常量與函數變量：在某一過程中取值會不斷變化的量。常量：在某一過程中取值始終不變的量。函數：變量y按某種確定的關系隨變量x的變化而變化，則稱y是x的函數，x叫自變量，y叫因變量，寫作：y=f(x)例：y=3x2+2x,y=5sinx,y=ax,y=e2x復合函數：假設y是z的函數y=f(z)，而z又是x的函數z=g(x)，則稱y是x的復合函數，記作：y=(x)=f[g(x)]例：y=sin(ax2+bx+c),y=esin(2x+3)二、函數的導數△x△yxyy=f(x)xx+△x

設函數

y=f(x)在x處有一增量△x，相應地函數有增量△y，則比值叫函數y=f(x)在x到x+△x之間的平均變化率。函數y=f(x)在x

處的導數定義為：例：求函數y=x2

在x=1和x=3時的導數值。解：由有所以當x=1

時，y’=2，當x=3

時，y’=6△x△yxyy=f(x)xx+△xPQ導數的幾何意義：從圖中知道，

△y/△x是過P、Q兩點的割線的斜率，而當△x

0時，割線成為過P點的切線，因而導數y’=f’(x)表示曲線在x處切線的斜率。函數y=f(x)在某處的導數值，就表示了該處切線的斜率，也就是在該點處函數y=f(x)隨x的變化率。基本函數導數公式導數的根本運算法則：〔設u=u(x),v=v(x)〕例1：求y=x3lnx

的導數解例2求y=sinx/x的導數解二階導數與高階導數前述函數的導數是y對x的一階導數，若將一階導數y’再次對x

求導，則為二階導數：同理，將二階導再對x求導則為三階導，三階導的導數則為四階導等。例求y=x3+3x2的二階導數三、函數的極值x1x2x3xy若函數y=f(x)在某一點

x1

的函數值f(x1)比鄰近各點的函數值都大或都小，則稱x1

為一個極值點，f(x1)為函數的一個極值。圖中x1

和x3為極大值點，x2為極小值點，f(x1)和f(x3)為極大值，f(x2)為極小值。極值點處的切線一定是水平的，因而極值點的判定條件是：f’(x)=0極大值點的條件是：f’(x)=0，f’’(x)＜0極小值點的條件是：f’(x)=0，f’’(x)＞0例求函數y=4x3-3x2+5

的極值點和極值解：因y’=12x2-6x

令y’=0得x1=0,x2=1/2

此為其兩個極值點。又y’’=24x-6，有y’’(x1)=-6＜0，y’’(x2)=6＞0因而x1=0

是極大值點，對應的極大值為y1=5x2=1/2是極小值點，對應的極小值為y2=19/4四、函數的微分例求函數y=5x+sinx的微分函數y對自變量

x的導數可將

dx看成是自變量x的一個趨于零的微小增量，稱為自變量的微分；而相應的將

dy看成是函數y的微小增量，稱為函數的微分。有：§2不定積分一、原函數前一節學了求函數y=f(x)的導數f’(x)，現假設一函數F(x)的導數為f(x)，要求原函數F(x)例因(x3)’=3x2，所以x3為3x2的原函數〔sinx)’=cosx，sinx是cosx的原函數∵F’(x)=[F(x)+c]’，c為任意常數，∴函數f(x)的原函數有任意多個：F(x)+c二、不定積分定義：函數f(x)的所有原函數F(x)+c

叫f(x)的不定積分，記為：不定積分的性質：這說明不定積分是求導數的逆運算。不定積分公式：不定積分運算法則：3.若能找到函數u=u(x)，使且積分較易求出，則：例1求解：令u=1+x,微分得：du=dx，有：例2求解：令u=ax+b,微分得：du=adx，有：例3求解：令u=x2+1,微分得：du=2xdx，有：例4求解：令u=e3x,微分得：du=3e3xdx，有：§3定積分

設函數y=f(x)在閉區間[a,b]上連續，將區間[a,b]作n等分，各小區間的寬度為△x，又在各小區間內選取一點xi得出函數在這些點處的值f(xi)(i=1,2,3,…,n)abxyxiy=f(x)f(xi)△x定義：為函數f(x)在區間[a,b]上的定積分。f(x)為被積函數，a,b分別為積分下限和上限。定積分的幾何意義：abxyy=f(x)f(xi)△x由圖可知f(xi)△x為圖中一個小區間的面積，因而定積分：表示了區間[a,b]上，曲線y=f(x)下方的面積。注意：定積分的值有正也有負，因而這并非通常意義下的面積。定積分的主要性質：定積分的計算〔牛頓－萊布尼茨公式〕若不定積分則定積分由此可知：求函數的定積分，通常是先求出其不定積分（原函數F(x)），再求F(b)-F(a)例1求解：令u=x2+1,微分得：du=2xdx，有：例2求解：令u=cosx,微分得：du=-sinxdxyxy=x2y=4-x2AB例3求由曲線y=x2和曲線y=4-x2

所包圍的面積。解：先求出兩曲線交點A,B的x坐標為:由定積分的幾何意義知有