立體幾何中距離問題的解法分析綜述高中數(shù)學(xué)立體幾何中常見的距離問題主要有求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線與平面的距離（直線與平面平行）、兩平行平面之間的距離、兩條平行線之間的距離、兩條異面直線之間的距離、球面上兩點(diǎn)間的距離REF_Ref6548\r\h[11]等等，此類問題主要側(cè)重考查學(xué)生對點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系以及簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征的掌握程度，這類問題對學(xué)生的邏輯推理能力、幾何直觀能力和空間想象能力要求比較高。下面歸納了幾種高中數(shù)學(xué)立體幾何中距離問題的解題方法。1.1直接法直接法是指根據(jù)題目中給出的條件能夠直接對所要求解的距離進(jìn)行計(jì)算的一種方法。直接法的運(yùn)用范圍比較局限，要求學(xué)生能根據(jù)已知條件，發(fā)現(xiàn)符合所求距離的垂線段。在求解點(diǎn)到平面的距離時(shí)，可以根據(jù)題目所給條件判斷能否運(yùn)用直接法，首先找出題目中點(diǎn)到平面或點(diǎn)到直線的垂線段，然后通過解直角三角形來求解出所求距離。例1如REF_Ref96933245\h圖1所示，在三棱錐O?ABC中，AC=BC=2,ACB=90°，AO=BO=AB，OCAC求證：OC求二面角B?AO?C的大小求點(diǎn)C到平面AOB的距離解：（1）、（2）（略）(3)由（1）可得AB平面OCD（DAC的中點(diǎn)）,平面AOB平面OCD圖SEQ圖\*ARABIC1過點(diǎn)C作圖SEQ圖\*ARABIC1∵平面AOB平面OCD=ODCE平面AOBCE的長就是點(diǎn)C到平面AOB的距離.由（1）知，OCAB，又有ABOC平面ABC.∵CD平面ABC，在Rt△OCD中,CD=OD=32OB=6,圖SEQ圖\*ARABIC2即點(diǎn)C圖SEQ圖\*ARABIC21.2等體積法在求解一些立體幾何中距離問題等時(shí)，可以利用體積的不變性，將體積用不同的式子表達(dá)出來，從而建立出包含所求量的方程進(jìn)行求解。用體積法求點(diǎn)到平面的距離：對于同一個三棱錐，從不同的觀察角度選定底和高來計(jì)算體積再加以比較即可算出所求距離。如果不能直接做出垂線段或做出的垂線段不好計(jì)算，但是底面積和體積容易求解，則可以使用等體積法來計(jì)算點(diǎn)到平面的距離。等體積法的運(yùn)用可以幫助學(xué)生從多角度觀察思考數(shù)學(xué)問題REF_Ref17388\r\h[12]。例2如REF_Ref96933448\h圖3所示，在三棱錐O?ABC中，AC=BC=2,ACB=90°，AO=BO=AB，OC求證：OC求二面角B?AO?C的大小求點(diǎn)C到平面AOB的距離解：（1）、（2）（略）（3）由（1）得OCAB,又且ABOC平面ABC在△ABO中，AO=BO=AB=2圖SEQ圖\*ARABIC圖SEQ圖\*ARABIC3設(shè)點(diǎn)C到平面AOB的距離為h，由V得13即h×23解得h=2例3如REF_Ref96933595\h圖4所示，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA解：∵BD∥平面EBD上任意一點(diǎn)到平面EB1題目中所求的距離.下面求點(diǎn)B到平面EB設(shè)點(diǎn)B到平面EB1D圖SEQ圖\*ARABIC4圖SEQ圖\*ARABIC4又∵S△EBh=4即BD到平面EB1例4如REF_Ref96933847\h圖5所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1證明D當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到平面ACD圖圖SEQ圖\*ARABIC5解：（1）∵AE平面(2)設(shè)點(diǎn)E到平面ACD1的距離為∵V又∵在△ACD1中，S△AD12×1=3即點(diǎn)E到平面ACD11.3轉(zhuǎn)化法立體幾何中的一些距離問題對于有的學(xué)生來說非常復(fù)雜，那是因?yàn)檫@部分學(xué)生沒有學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想去思考、分析問題。立體幾何中的空間距離問題主要是以點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離為基礎(chǔ)，其他的距離都可以轉(zhuǎn)化為這三種距離REF_Ref17456\r\h[13]。運(yùn)用這種方法解題的關(guān)鍵在于找到合適的平行直線或平行平面?！白C明平行余垂直，“三者”之間互相導(dǎo);逆推分析找思路，證明就說分析倒。”圖SEQ圖\*ARABIC6例5如REF_Ref96933889\h圖6所示，在棱長為1得正方體ABCD?A1B1C1D1中，M圖SEQ圖\*ARABIC6解：在A1B上任取一點(diǎn)P，過P作PQ則PQ面B1BCC1，在作由三垂線定理，得到PNPN的長為P到MC的距離.設(shè)PQ=x，則BQ=x，QB在直角梯形B1BCM在Rt△PQN中，PN當(dāng)x=13時(shí)，PN2PNmin=63例6如REF_Ref96933919\h圖7所示，正方形ABCD和ABEF的邊長都是1，且平面ABCD與平面ABEF互相垂直，點(diǎn)M在對角線AC上移動，點(diǎn)N在對角線BF上移動，若CM=BM=a（0<a<2）。求當(dāng)a為何值時(shí)，MN有最小值。解：過M作MHAB，垂足為H，連接如圖MN是AC、BF之間的線段，當(dāng)MN是空間兩直線距離最小。∵面ABCD面ABEF∵CM=BN=a，AB=CB=BE=1,AC=BF=2圖SEQ圖\*ARABIC圖SEQ圖\*ARABIC7在△BHN中，由余弦定理的NH=2MN=MH2+當(dāng)a=22（AC，BF中點(diǎn)）時(shí)，MN1.4向量法有些立體幾何中的距離問題對于學(xué)生來說比較復(fù)雜，使用一般的方法求解較為困難，這種情況我們就可以通過空間向量來求解距離。首先根據(jù)題目給出的條件、結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立合適的空間直角坐標(biāo)系，把需要使用的點(diǎn)、線段用向量表示出來，然后再運(yùn)用向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積、模的公式等運(yùn)算，合理的展開向量運(yùn)算，最后求出點(diǎn)、線、面之間的距離。利用向量來解決立體幾何中的距離問題實(shí)質(zhì)是求向量模的問題REF_Ref17522\r\h[14]。在運(yùn)用空間向量解決立體幾何相關(guān)問題時(shí)，遇到題目中所給空間幾何圖形本身不具備明顯的垂直關(guān)系，空間直角坐標(biāo)系不易建立，點(diǎn)坐標(biāo)也很難求出等問題時(shí)，可以使用空間向量的基底法來求解問題，這個方法不僅過程簡潔，而且在許多問題中也更利于求解。向量坐標(biāo)法其實(shí)是向量基底法的一種特例REF_Ref17574\r\h[15]。例7如REF_Ref96933954\h圖8所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，D1EA1D，AD=AA解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)圖SEQ圖\*ARABIC圖SEQ圖\*ARABIC8∵E是AB的中點(diǎn)，則E（1，1，0）D1E=(1,1,?1)AD設(shè)平面ACD1的法向nn?則n?a+2b=0a=2b也就是，得?a+c=0a=c令b=1，則a=c=2n點(diǎn)E到平面ACD1圖SEQ圖\*