瀘州2016數學試題及答案姓名：____________________

一、單項選擇題（每題2分，共20題）

1.若實數\(a\)，\(b\)滿足\(a+b=1\)，\(ab=2\)，則\(a^2+b^2\)的值為：

A.3

B.4

C.5

D.6

2.已知\(\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{5}\times\ldots\times\frac{1}{2016}\times\frac{1}{2017}\)的值為：

A.\(\frac{1}{2017}\)

B.\(\frac{1}{2016}\)

C.\(\frac{1}{2015}\)

D.\(\frac{1}{2014}\)

3.在直角坐標系中，點\(P(3,4)\)關于原點的對稱點是：

A.\((-3,-4)\)

B.\((3,-4)\)

C.\((-3,4)\)

D.\((3,4)\)

4.下列函數中，在其定義域內為單調遞減函數的是：

A.\(y=2^x\)

B.\(y=x^2\)

C.\(y=\sqrt{x}\)

D.\(y=2^{-x}\)

5.在下列各數中，有理數是：

A.\(\sqrt{3}\)

B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C.\(\sqrt[3]{27}\)

D.\(\pi\)

6.已知\(x^2+2x-15=0\)，則\(x^3-7x^2+11x-15\)的值為：

A.0

B.5

C.10

D.15

7.若\(\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha+\beta\)為銳角，則\(\sin(\alpha+\beta)\)的值為：

A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C.\(\frac{1}{2}\)

D.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)

8.若\(a\)，\(b\)，\(c\)是等差數列，\(a+b+c=15\)，\(bc=24\)，則\(a^2+b^2+c^2\)的值為：

A.63

B.65

C.67

D.69

9.下列方程中，解為整數的是：

A.\(x^2-3x-4=0\)

B.\(x^2-2x-3=0\)

C.\(x^2-5x+6=0\)

D.\(x^2-4x-12=0\)

10.若\(x+y=5\)，\(xy=6\)，則\(x^2+y^2\)的值為：

A.16

B.25

C.30

D.34

二、填空題（每題3分，共20題）

11.若\(\sinx+\cosx=\sqrt{2}\)，則\(\sin^2x+\cos^2x\)的值為______。

12.已知\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\)，則\(ab+bc+ca\)的值為______。

13.在等腰三角形ABC中，底邊BC的長度為6，底角A的度數為36°，則腰AC的長度為______。

14.若\(\log_25=x\)，則\(\log_225\)的值為______。

15.已知\(\tan\theta=\frac{3}{4}\)，則\(\sin\theta\cos\theta\)的值為______。

16.若\(a^2+b^2=50\)，\(ab=6\)，則\((a-b)^2\)的值為______。

17.在等邊三角形ABC中，\(AB=AC=BC\)，\(D\)是\(BC\)的中點，\(DE\)垂直于\(AC\)，則\(\angleDEC\)的度數為______。

18.若\(\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{5}\times\ldots\times\frac{1}{2016}\times\frac{1}{2017}\times\frac{1}{2018}\)的值為\(a\)，則\(\frac{1}{2017}\times\frac{1}{2018}\)的值為______。

19.已知\(\log_35+\log_38=\log_340\)，則\(\log_540\)的值為______。

20.在直角坐標系中，點\(P(3,4)\)關于直線\(y=x\)的對稱點是______。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若\(a\)，\(b\)，\(c\)為等差數列，則\(a^2+b^2+c^2\)為定值。（）

2.在直角坐標系中，點\(P(a,b)\)關于原點的對稱點是\(Q(-a,-b)\)。（）

3.若\(a\)，\(b\)，\(c\)滿足\(a+b+c=0\)，則\(abc=0\)。（）

4.函數\(y=\sqrt{x}\)在其定義域內為增函數。（）

5.若\(a\)，\(b\)，\(c\)滿足\(a^2+b^2=c^2\)，則\(a\)，\(b\)，\(c\)構成直角三角形。（）

6.對于任意實數\(x\)，\(x^2\geq0\)。（）

7.在等腰三角形ABC中，底邊BC的長度為6，底角A的度數為30°，則腰AC的長度為6。（）

8.若\(a\)，\(b\)，\(c\)為等比數列，則\(a^2+b^2+c^2\)為定值。（）

9.對于任意實數\(x\)，\(\sin^2x+\cos^2x=1\)。（）

10.若\(\cos(\alpha+\beta)=0\)，則\(\alpha\)和\(\beta\)的度數互余。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的根的判別式，并說明當判別式小于、等于、大于0時，方程的根的情況。

2.給定兩個數\(m\)和\(n\)，證明：\(m^2+n^2\geq2mn\)。

3.在直角坐標系中，若點\(A\)的坐標為\((x_1,y_1)\)，點\(B\)的坐標為\((x_2,y_2)\)，求線段\(AB\)的中點坐標。

4.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，求\(\cos2\alpha\)的值。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述等差數列和等比數列的性質，并舉例說明如何利用這些性質解決實際問題。

2.論述三角函數在解決幾何問題中的應用，舉例說明如何利用三角函數求解三角形的角度和邊長。

試卷答案如下：

一、單項選擇題

1.B

解析思路：由\(a+b=1\)得\(b=1-a\)，代入\(ab=2\)得\(a(1-a)=2\)，解得\(a^2-a-2=0\)，因式分解得\((a-2)(a+1)=0\)，所以\(a=2\)或\(a=-1\)，代入\(b=1-a\)得\(b=-1\)或\(b=3\)，所以\(a^2+b^2=2^2+(-1)^2=5\)。

2.C

解析思路：該式為調和級數的部分和，每一項都小于對應的等差級數項，故級數的和小于等差級數的和，等差級數的和為\(\frac{2016\times2017}{2}\)，級數的和小于\(\frac{2016\times2017}{2}-1\)，即小于\(2017\)。

3.A

解析思路：關于原點對稱的點坐標為原點坐標的相反數，即\((3,4)\)關于原點的對稱點是\((-3,-4)\)。

4.D

解析思路：\(y=2^x\)為指數函數，單調遞增；\(y=x^2\)在\(x>0\)時單調遞增，在\(x<0\)時單調遞減；\(y=\sqrt{x}\)為冪函數，單調遞增；\(y=2^{-x}\)為指數函數，單調遞減。

5.C

解析思路：有理數是可以表示為兩個整數之比的數，只有\(\sqrt[3]{27}=3\)為整數。

6.C

解析思路：\(x^3-7x^2+11x-15=(x-3)(x^2+3x+5)=0\)，\(x=3\)是方程的根，代入\(x^3-7x^2+11x-15\)得\(3^3-7\times3^2+11\times3-15=0\)。

7.B

解析思路：由于\(\alpha+\beta\)為銳角，\(\sin(\alpha+\beta)\)也為正，故選\(B\)。

8.A

解析思路：\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=15^2-2\times24=63\)。

9.B

解析思路：\(x^2-2x-3=0\)因式分解得\((x-3)(x+1)=0\)，所以\(x=3\)或\(x=-1\)，\(x\)為整數。

10.B

解析思路：\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\)，代入\(x+y=5\)和\(xy=6\)得\(5^2=25\)。

二、判斷題

1.×

2.√

3.√

4.√

5.√

6.√

7.×

8.×

9.√

10.√

三、簡答題

1.根的判別式為\(b^2-4ac\)，當\(b^2-4ac<0\)時，方程無實數根；當\(b^2-4ac=0\)時，方程有兩個相等的實數根；當\(b^2-4ac>0\)時，方程有兩個不相等的實數根。

2.由均值不等式，有\(m^2+n^2\geq2mn\)。

3.中點坐標為\(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\)。

4.\(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。

四、論述題

1.等差數列的性質有：通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，求和公