第10課時(shí)一元二次方程和分式方程的應(yīng)用第二章

方程與不等式1.能列一元二次方程、分式方程解決實(shí)際問題.2.能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理.1.在列方程解應(yīng)用題時(shí)，要仔細(xì)審題，弄清各個(gè)量之間的關(guān)系后，再應(yīng)用所學(xué)知識(shí)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題. 2.如果列出的方程是分式方程，應(yīng)寫出它的檢驗(yàn)過程.

一元二次方程的應(yīng)用

1.國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別約為3.2萬元和3.7萬元.設(shè)2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為()

B.3.2(1＋x)2＝3.7D.3.7(1＋x)2＝3.2A.3.2(1－x)2＝3.7C.3.7(1－x)2＝3.2答案：B

2.(2022·泰州)如圖，在長為50m、寬為38m的矩形地面的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪，要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？解：設(shè)道路的寬應(yīng)為xm，由題意，得(50－2x)×(38－2x)＝1260.解得x1＝4，x2＝40(不合題意，舍去).答：道路的寬應(yīng)為4m.分式方程的應(yīng)用

3.(2023·廣東)某學(xué)校開展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)地點(diǎn)距離學(xué)校12km.甲、乙兩同學(xué)騎自行車同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到10min，求乙同學(xué)騎自行車的速度.解：設(shè)乙同學(xué)騎自行車的速度為xkm/h，則甲同學(xué)騎自行車的速度為1.2xkm/h，解得x＝12.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝12是原方程的解.答：乙同學(xué)騎自行車的速度為12km/h.1.解應(yīng)用題的關(guān)鍵是要把握題意，找出等量關(guān)系列出方程.2.要注意求出的未知數(shù)的值是否符合原來題目的實(shí)際意義，凡不滿足實(shí)際問題的解(雖然是所列方程的解)一定要舍去.

1.(2022·河池)某廠家今年一月份的口罩產(chǎn)量是30萬個(gè)，三月份的口罩產(chǎn)量是50萬個(gè)，若設(shè)該廠家一月份到三月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長率為x.則所列方程為()

B.30(1－x)2＝50D.30(1－x2)＝50A.30(1＋x)2＝50C.30(1＋x2)＝50答案：A

2.(2023·張家界)《四元玉鑒》是我國古代的一部數(shù)學(xué)著作.該著作記載了“買椽多少”問題：六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽.每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽”.大意是：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的總售價(jià)為6210文錢.如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文錢，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)6210文購買椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是()答案：C

3.(2024·通遼)如圖，小程的爸爸用一段10m長的鐵絲網(wǎng)圍成一個(gè)一邊靠墻(墻長5.5m)的矩形鴨舍，其面積為15m2，在鴨舍側(cè)面中間位置留一個(gè)1m寬的門(由其他材料制成)，則BC長為()A.5m或6mB.2.5m或3mC.5mD.3m答案：C

4.(2023·湘潭)某校組織九年級(jí)學(xué)生赴韶山開展研學(xué)活動(dòng)，已知學(xué)校離韶山50km.師生乘大巴車前往，某老師因有事情，推遲了10min出發(fā)，自駕小車以大巴車速度的1.2倍前往，結(jié)果同時(shí)到達(dá).設(shè)大巴車的平均速度為xkm/h，則可列方程為()答案：A5.(2022·臨沂)將5kg濃度為98%的酒精，稀釋為75%的酒精.設(shè)需要加水xkg，根據(jù)題意可列方程為()答案：B

6.2024年世界女子冰壺錦標(biāo)賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽(每兩支隊(duì)伍之間進(jìn)行一場比賽)，共進(jìn)行了55場，則參賽的隊(duì)伍有______支.答案：11

7.某校九年級(jí)學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都向全班其他同學(xué)各送一張自己的相片作紀(jì)念，全班共送了2070張相片.若全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為________________________.答案：x(x－1)＝2070

8.(2024·重慶)隨著經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增.該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元.該公司這兩年繳稅的年平均增長率是________.答案：10%

9.(2024·雅安)某市為治理污水，保護(hù)環(huán)境，需鋪設(shè)一段全長為3000米的污水排放管道，為了減少施工對(duì)城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)每天的工效比原計(jì)劃增加25%，結(jié)果提前15天完成鋪設(shè)任務(wù).(1)求原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道分別為多少米.

(2)負(fù)責(zé)該工程的施工單位，按原計(jì)劃對(duì)工人的工資進(jìn)行了初步的預(yù)算，工人每天人均工資為300元，所有工人的工資總金額不超過18萬元.該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排多少名工人施工？

解：(1)設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道x米，則實(shí)際每天鋪設(shè)管道(1＋25%)x＝1.25x米，解得x＝40，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是分式方程的解且符合題意，∴1.25x＝50.答：原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道分別為40米、50米.(2)設(shè)該公司原計(jì)劃應(yīng)安排y名工人施工，3000÷40＝75(天)，根據(jù)題意，得300×75y≤180000，解得y≤8，∴不等式的最大整數(shù)解為8，答：該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排8名工人施工.

10.(2024·大慶)為了健全分時(shí)電價(jià)機(jī)制，引導(dǎo)電動(dòng)汽車在用電低谷時(shí)段充電，某市實(shí)施峰谷分時(shí)電價(jià)制度，用電高峰時(shí)段為7：00—23：00(簡稱峰時(shí))，用電低谷時(shí)段為23：00—次日7：00(簡稱谷時(shí))，峰時(shí)電價(jià)比谷時(shí)電價(jià)高0.2元/(kW·h).市民小萌的電動(dòng)汽車用家用充電樁充電，某月的峰時(shí)電費(fèi)為50元，谷時(shí)電費(fèi)為

30元，并且峰時(shí)用電量與谷時(shí)用電量相等，求該市谷時(shí)電價(jià).解：設(shè)該市谷時(shí)電價(jià)為x元/(kW·h)，則該市峰時(shí)電價(jià)為(x＋0.2)元/(kW·h)，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x＝0.3時(shí)，x(x＋0.2)≠0，x＝0.3是所列方程的解，且符合題意.∴該市谷時(shí)電價(jià)為0.3元/(kW·h).

11.(2024·淄博)“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂！”隨著人們對(duì)身心健康的關(guān)注度越來越高.某市參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人. (1)求該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率.

(2)為支持市民的健身運(yùn)動(dòng)，市政府決定從A公司購買某種套裝健身器材.該公司規(guī)定：若購買不超過100套，每套售價(jià)1600元；若超過100套，每增加10套，售價(jià)每套可降低40元.但最低售價(jià)不得少于1000元.已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數(shù).m－100解：(1)設(shè)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率為x，由題意得32(1＋x)2＝50，解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不符合題意，舍去).∴該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率為25%.(2)設(shè)購買的這種健身器材的套數(shù)為m套，由題意得m(1600－10×40)＝240000，整理得m2－500m＋60000＝0，解得m1＝200，m2＝300.m－100m－100

當(dāng)m＝200時(shí)，1600－1000，符合題意.

當(dāng)m＝300時(shí)，1600－1010×40＝1600－400＝1200＞×40＝1600－800＝800＜1000，不符合題意，舍去. ∴購買的這種健身器材的套數(shù)為200套.

12.學(xué)校有一塊長14米、寬10米的矩形空地，準(zhǔn)備將其規(guī)劃使用，設(shè)計(jì)圖案如圖所示，陰影部分為綠化區(qū)(四塊綠化區(qū)為全等的矩形)，空白區(qū)為路面，四周出口一樣寬且寬度不小于2米，不大于5米，路面造價(jià)為每平方米200元，綠化區(qū)造價(jià)為每平方米150元，設(shè)綠化區(qū)的長邊長為x米.(1)用x表示綠化區(qū)短邊的長：__________米，x的取值范圍為____________.(2)學(xué)校計(jì)劃投資25000元用于此項(xiàng)工程建設(shè)，求綠化區(qū)的長邊長.解：(1)(x－2)(2)由題意，得150×4x(x－2)＋200×[14×10－4x(x－2)]＝25000.整理得x2－2x－15＝0.解得x1＝5，x2＝－3(不合題意，舍去).答：綠化區(qū)的長邊長為5米.

13.某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，每個(gè)A類攤位的占地面積比每個(gè)B類攤位的占地面積多2平方米.建A類攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建B類攤位每平方米的費(fèi)用為30元.用60平方米建A類攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位(1)求每個(gè)A，B類攤位的占地面積各為多少平方米.

(2)該社區(qū)擬建A，B兩類攤位共90個(gè)，且B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍.求建造這90個(gè)攤位最多需要多少錢.攤位的占地面積為(x＋2)平方米，根據(jù)題意得解：(1)設(shè)每個(gè)B類攤位的占地面積為x平方米，則每個(gè)A類

解得x＝3.

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3是原方程的解. ∴x＋2＝5.

答：每個(gè)A類攤位的占地面積為5平方米，每個(gè)B類攤位的占地面積為3平方米.(2)設(shè)建A類攤位a個(gè)，則建B類攤位(90－a)個(gè)，由題意得總費(fèi)用y＝5×40a＋3×30×(90－a)＝110a＋8100.∵90－a≥3a，∴a≤22.5.又∵110>0，∴y隨a的增大而增大.∴當(dāng)a取最大值22時(shí)，費(fèi)用最大.最大費(fèi)用為110×22＋8100＝10520(元).答：建造這90個(gè)攤位最多需要10520元.

14.某企業(yè)承接了27000件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，計(jì)劃安排甲、乙兩個(gè)車間共50名工人，合作生產(chǎn)20天完成.已知甲、乙兩個(gè)車間利用現(xiàn)有設(shè)備，工人的工作效率為：甲車間每人每天生產(chǎn)25件，乙車間每人每天生產(chǎn)30件.(1)求甲、乙兩個(gè)車間各有多少名工人參與生產(chǎn).(2)為了提前完成生產(chǎn)任務(wù)，該企業(yè)設(shè)計(jì)了兩種方案：方案一：甲車間租用先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，工人的工作效率可提高20%，乙車間維持不變.方案二：乙車間臨時(shí)招聘若干名工人(工作效率與原工人相同)，甲車間維持不變.設(shè)計(jì)的這兩種方案，企業(yè)完成生產(chǎn)任務(wù)的時(shí)間相同.①求乙車間需臨時(shí)招聘的工人數(shù).

②若甲車間租用設(shè)備的租金為每天900元，租用期間另需一次性支付運(yùn)輸?shù)荣M(fèi)用1500元；乙車間需支付臨時(shí)招聘的工人每人每天200元.問：從新增加的費(fèi)用考慮，選擇哪種方案能更節(jié)省開支？請(qǐng)說明理由.

解：(1)設(shè)甲車間有x名工人參與生產(chǎn)，乙車間有