最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

一、引例

甲、乙、丙三個學(xué)生定期向某老師求教，甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每9天去一次。如果這一次他們?nèi)耸?月23日都在這個老師家見面，那么下一次三人都在這個老師家見面的時間是幾月幾日？

二、基礎(chǔ)知識

如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。約數(shù)和倍數(shù)都表示一個數(shù)與另一個數(shù)的關(guān)系，不能單獨存在。如只能說16是某數(shù)的倍數(shù)，2是某數(shù)的約數(shù)，而不能孤立地說16是倍數(shù)，2是約數(shù)。

"倍"與"倍數(shù)"是不同的兩個概念，"倍"是指兩個數(shù)相除的商，它可以是整數(shù)、小數(shù)或者分數(shù)。"倍數(shù)"只是在數(shù)的整除的范圍內(nèi)，相對于"約數(shù)"而言的一個數(shù)字的概念，表示的是能被某一個自然數(shù)整除的數(shù)，它必須是一個自然數(shù)。

幾個自然數(shù)，公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12、16的公約數(shù)有1、2、4，其中最大的一個是4，4是12與16的最大公約數(shù)，一般記為（12、16）=4。12、15、18的最大公約數(shù)是3，記為（12、15、18）=3。

幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：4的倍數(shù)有4、8、12、16，……，6的倍數(shù)有6、12、18、24，……，4和6的公倍數(shù)有12、24，……，其中最小的是12，一般記為[4、6]=12。12、15、18的最小公倍數(shù)是180。記為[12、15、18]=180。

1、分解質(zhì)因數(shù)法

把每個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，再把各數(shù)中的全部公有質(zhì)因數(shù)提取出來連乘，所得的積就是

這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。例如：求24和60的最大公約數(shù)，先分解質(zhì)因數(shù)，得24=2×2×3，60=2×2×3×5，24與60的全部公有的質(zhì)因數(shù)是2、2、3，它們的積是2×2×3=12，

所以，（24、60）=12。

把幾個數(shù)先分別分解質(zhì)因數(shù)，再把各數(shù)中的全部公有的質(zhì)因數(shù)和獨有的質(zhì)因數(shù)提取出來連乘，所得的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：求6和15的最小公倍數(shù)。先分解質(zhì)因數(shù)，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的質(zhì)因數(shù)是3，6獨有質(zhì)因數(shù)是2，15獨有的質(zhì)因數(shù)是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部質(zhì)因數(shù)2和3，還包含了15的全部質(zhì)因數(shù)3和5，且30是6和15的公倍數(shù)中最小的一個，所以[6，15]=30。

2、短除法

短除法求最大約數(shù)，先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所有的商互質(zhì)為止，然

后把所有的除數(shù)連乘起來，所得的積就是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。例如，求24、48、60的最大公約數(shù)。

（24、48、60）=2×3×2=12

短除法求最小公倍數(shù)，先用這幾個數(shù)的公約數(shù)去除每一個數(shù)，再用部分數(shù)的公約數(shù)去除，并把不能整除的數(shù)移下來，一直除到所有的商中每兩個數(shù)都是互質(zhì)的為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘起來，所得的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，例如，求12、15、18的最小公倍數(shù)。

（12、15、18）=3×2×2×5×3=180

無論是短除法，還是分解質(zhì)因數(shù)法，在質(zhì)因數(shù)較大時，都會覺得困難。這時就需要用新的方法。

3、輾轉(zhuǎn)相除法

先看一個例子：從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能

大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形，按照上面的過程不斷地重復(fù)，最后剪得的正方形的邊長是___________毫米。

解：剪的過程如圖所示

第一，二次剪下848×847平方毫米的正方形。

第二，三次剪下邊長308毫米的正方形

第五次剪下邊長231毫米的正方形。

第六、七、八次剪下邊長77毫米的正方形。

以上的解題過程，實際上給出了求最大公約數(shù)的另一個辦法--輾轉(zhuǎn)相除法。以上過程可用算式表示如下：

2002=847×2+308

847=308×2+231

308=231×2+77

231=77×3

由以上算式可以看出，這種方法就是用大數(shù)除以小數(shù)再用上次運算中的除數(shù)除以余數(shù)，如此反復(fù)除，直到余數(shù)為零。最后一個除數(shù)就是兩數(shù)的最大公約數(shù)。這是因為：兩個數(shù)的最大公約數(shù)，同時是兩個數(shù)的約數(shù)，也就是余數(shù)的約數(shù)。拿此題來講，2002和847的公約數(shù)，也就是847和308的公約數(shù)。由于231是77的倍數(shù)，所以它們的最大公約數(shù)就是77，即2002與847的最大公約數(shù)。

輾轉(zhuǎn)相除法的豎式格式如下：

在解有關(guān)最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的問題時，常用到以下結(jié)論：

（1）如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積。

例如8和9，它們是互質(zhì)數(shù)，所以（8，9）=1，[8，9]=72。

（2）如果兩個數(shù)中，較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)，較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。

例如18與3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。

（3）兩上數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商是互質(zhì)數(shù)。

例如8和14分別除以它們的最大公約數(shù)2，所得的商分別為4和7，那么4和7是互質(zhì)數(shù)。

（4）兩個數(shù)的最大公約數(shù)與它們的最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

例如12和16，（12，16）=4，[12，16]=48，有4×48=12×16，即（12，16）×[12，16]=12×16。三、例題分析例1：引例。

分析：甲第4天，第8天，第12天，……去看望老師。乙第6天，第12天，第18天，……

去看望老師。丙第9天，第18天，第27天，……去看望老師。下一次三人都在老師家見面的時間是第[4，6，9]=36天。

解：∵[4，6，9]=36

從3月23日起，再過36天應(yīng)是4月28日

∴下一次三人在老師家見面的時間是4月28日。

例2：將長200厘米，寬120厘米，厚40厘米的長方體木料鋸成同樣大小的正方體木塊，而沒有剩余，共有多少種不同的鋸法？當(dāng)正方體的邊長是多少時，鋸成的小木塊的體積最大，共有多少塊？

分析：由題意知，鋸成的小正方體的邊長應(yīng)能整除200，120和40，也就是說，小正方體的邊長是這三個數(shù)的公約數(shù)，得出的不同的公約數(shù)的個數(shù)就代表有多少種不同的鋸法。另外要求鋸成的小木塊的體積最大時的正方體的邊長，只要使小正方體的邊長為最大就行了，即求200、120和40的最大公約數(shù)。最后可求得鋸的塊數(shù)。

（200，120，40）=40，40=2×2×2×5=23×5

40的約數(shù)個數(shù)為（3+1）×（1×1）=8

鋸的塊數(shù)為（200÷40）×（120÷40）×（40÷40）

=5×3×1=15

答：共有8種鋸法，當(dāng)正方體的邊長是40厘米時，鋸成的小木塊的體積最大，共有15塊。

例3：求1300到1400玻璃球數(shù)，使之分別按三個三個數(shù)，四個四個數(shù)，五個五個數(shù)，六個六個數(shù)，最后都差一個，改為七個七個數(shù)時，正好數(shù)完。

分析：這個數(shù)必然是3、4、5、6的公倍數(shù)差1，而又是7的倍數(shù)。3，4，5，6的最小公倍數(shù)是60，因此這個數(shù)可表示為60k-1（K是自然數(shù)）。當(dāng)K=1時，60×1-1=59，被7除余3；當(dāng)K=2時，60×2-1=119，被7整除。符合，三個三個數(shù)，四個四個數(shù)，五個五個數(shù)，六個六個數(shù)，最后都差一個，見七個七個數(shù)，正好數(shù)完。但所求數(shù)要求在1300至1400之間，只要在119基礎(chǔ)上，增加3，4，5，6，7的最小公倍數(shù)的整數(shù)倍就可得到所求的數(shù)。

解：因為（3，4，5，6）=60，因此這個數(shù)可表示為60K-1（K是自然數(shù)），當(dāng)K=2時，60×2－1=119，能被7整除；又（3，4，5，6，7）=420，所以這個數(shù)可表示為119+420m（m是自然數(shù)）。當(dāng)m=3時，119+420×3=1359在1300至1400之間。所以1359即為所求。

例4：兩個數(shù)的最大公約數(shù)是15，最小公約數(shù)是360，且這兩個數(shù)相差75，求這兩個數(shù)。

分析：根據(jù)最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的定義，360÷15=24，24是所求的兩個數(shù)它們各自獨有的不同的約數(shù)的乘積，并且它們的這兩個約數(shù)必然互質(zhì)，即用所求的兩個數(shù)的最大公約數(shù)分別除這兩個數(shù)所得的商的積等于24。且24必是兩個互質(zhì)數(shù)的乘積。很容易得到24=1×24=3×8，1與24，3與8分別互質(zhì)，這樣得到兩組解：

15×1=15，15×24=360；

15×3=45，15×8=120；且

120-45=75，得到了問題的解。

解：因為360÷15=24，24=1×24=3×8

15×1=15，15×24=360；

15×3=45，15×8=120；

且120-45=75

所以這兩個數(shù)分別為45，120。

例5：試用2，3，4，5，6，7六個數(shù)字自成兩個三位數(shù)，使這兩個三位數(shù)與540的最大公約數(shù)盡可能大？

分析：因為540=22×33×5，而2，3，4，5，6，7中只有一個5，因此這六個數(shù)字組成的兩個三位數(shù)中不會有公約數(shù)5，所以這兩個三位數(shù)與540的最大公約數(shù)只可能為22×33=108，再進行試驗，108×2=216，216中1不是已知數(shù)字，108×3=324，還剩5，6，7三個數(shù)字，而108×7=756，于是問題得到解決。

解：因為540=22×33×5，所以2，3，4，5，6，7這六個數(shù)組成的兩位數(shù)與540的最大公約數(shù)只可能為22×33=108，經(jīng)試驗得到108×3=324，108×7=756，所以324，756即為所求。

例6：在800米的環(huán)島上，每隔50米插一面彩旗，后來又增加了一些彩旗，就把彩旗的間隔縮短了，起點的彩旗不動，重新插完后發(fā)現(xiàn)，一共有4根彩旗沒動，問現(xiàn)在的彩旗間隔多少米？

分析：800米環(huán)島每隔50米插一面彩旗，共插800÷50=16根，重新插完后，有4根沒動，而這4根中的任意相鄰的兩根間的距離為50×（16÷4）=200米，重新插完后每相鄰的兩根彩旗間的距離與50的最小公倍數(shù)是200，并且這個距離一定小于50米，把符合這樣條件的數(shù)求出來即為所求。

解：因為800÷50=16根，重新插完后，在這4根不動的彩旗中，任意相鄰的兩根間的距離為50×（16÷4）=200米，重新插后，任意相鄰兩根的距離為a米，則[a，50]=200，且a<50。又因為200=23×52，50=2×52，根據(jù)最小公倍數(shù)的定義,a=23或23×5，即現(xiàn)在的彩旗間隔是8米或40米。

例7：求36963與59570的最大公約數(shù)。

∴（36963，59570）=37

解法2：上面的方法計算量很大。能否簡化運算呢？

通過觀察容易發(fā)現(xiàn)，36963有約數(shù)3×3。而59570沒有質(zhì)數(shù)3。59570有質(zhì)因數(shù)2和5，而36963沒有質(zhì)因數(shù)2和5。所以可以從36963中分解出3×3，從59570中分解出2×5，再求其余部分的最大公約數(shù)。

36963=3×3×4107

59570=2×5×5957

∴（36963，59570）=37

由此可見，求最大公約數(shù)的幾種方法并非是截然分開的。還可把它們結(jié)合起來使用。

求兩分數(shù)分子的最小公倍數(shù)。

[36，99]=396

兩分數(shù)的"最小公倍數(shù)"規(guī)定為化為同分母后，以分子的最小公倍數(shù)作為分子，相同分母作分母的分數(shù)。

由上面這個例子可以看出，最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的概念，如果必要也可以擴展到分數(shù)的范圍。

四、練習(xí)

1、求35，98，112的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。

2、求403，527，713的最小公倍數(shù)。

3、求83613屯121824的最小公約數(shù)。

4、老師將301個筆記本，215支鉛筆和86塊橡皮分給班里的同學(xué)，每個同學(xué)得到的筆記本、鉛筆和橡皮的數(shù)量分別相等，那么每個同學(xué)各拿到多少？

5、兩個合數(shù)的積是5766，它們的最大公約數(shù)是31。那么，這兩個數(shù)是多少？

6、兩個數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是504。如果其中一個數(shù)是42，那么另一個數(shù)是多少？

7、其校全體學(xué)生列隊。不論他們?nèi)藬?shù)相等地分成2隊、3隊、4隊、5隊、6隊、7隊、8隊、9隊，都會多出1人，那么該校至少有多少名學(xué)生？五、習(xí)題參考答案及思路分析1、（35，98，112）=7

35=5×7；98=7×4，112=7×16

[35，98，112]=3920

2、403=13×31，527=17×31，713=23×31

[403、527、713]=13×17×23×31=157573

3、易看出兩數(shù)有公約數(shù)3。

83613=3×