專題12圓的有關性質與計算

【考點1】章徑定理

/

【考點2】如、弦.留心角之間的關系

__________________________/

――X'-【考點3］圓周角定理及其推論

ikiUHI

\【考點4】圓內接四邊形

【考點5】正多邊形和Ml

【考點6】量長和■彩的■枳計算

（含窈整?分iffi計算）

【考點7】與園椎有關的計*

【典例分析】

【考點1】垂徑定理

［例1］（2024?湖北中考真題）如圖,一條馬路的轉彎處是一段圓弧，點。是這段弧所在圓的圓心,

,則這段彎路所在圓的半徑為（）

AB=4Qmf點。是A8的中點，且CD=10m

B

O:1

A.25mB.24mC.30mD.60m

【答案】A

【解析】

【分析】

依據題意，可以推出4人放=20,若設半徑為』?，則在=「10,OB=r,結合勾股定理可推出半徑r的值.

【詳解】

解：?.OCJ_A4,

AD—DB=20，〃，

在R/AAQQ中，。42=。。2+4。2,

設半徑為，?得：r=（r-10）2+202.

解得：/*=25m,

這段彎路的半徑為25/〃

故選:A.

【點睛】

本題主要考查垂徑定理的應用、勾股定理的應用，關鍵在于設出半徑為/?后，用T表示出勿、仍的長度.

【變式1T】（2024?四川中考真題）如圖，AB，〃分別是。。的直徑和弦，OD_LAC于點4連接被

B3且A8=10,AC=8,則切的長為（）

【答案】C

【解析】

【分析】

先依據圓周角定理得NACB=90°,則利用勾股定理計算出BO6,再依據垂徑定理得到

CD=AD=-AC=4,然后利用勾股定理計算BD的長.

2

【詳解】

二四為直徑，

???ZL4CB=90\

工BC=y/AB2-AC2=V102-82=6，

VOD1AC.

：.CD=AD=-AC=4,

2

在RtACT?。中，BD=V42+62=2>/i3-

故選C.

【點睛】

本題考杳了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的

一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，9（）。的圓周角所對的弦是直徑.也考查了垂徑定理.

【變式『2】（2024?四川中考真題）如圖，。。的直徑A4垂直于弦8,垂足是點七’，NCAO=22.5°，

OC=6,則CO的長為（）

A.6x/2B.372C.6D.12

【答案】A

【解析】

【分析】

先依據垂徑定理得到CE=OE,再依據圓周角定理得到NBOC=2NA=45°，可得AOCE為等腰直角三

角形，所以。七=注0。=3夜，從而得到CD的長.

2

【詳解】

???CO_LA3,AB為直徑，

CE-DE，

???NB0C和NA分別為BC所對的圓心角和圓周角，NA=22.5°,

???4BOC=2ZA=2x22.5°=45°，

:.AOCE為等腰直角三角形，

VCC=6,

,CE=—OC=—x6=3>/2.

22

:?CD=2CE=6O

故選A

【點睛】

本題考查了垂徑定理及圓周角定理，在同I園或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對

的圓心角的一半：垂直于弦的直徑，平分這條弦且平分這條弦所對的兩條弧.

【考點2】弧、弦、圓心角之間的關系

【例2】（2024?四川自貢中考真題）如圖，。。中，弦43與CO相交于點E,A5=CO,連接A。、BC.

求證：⑴AO=BC；

②XE=CE.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

【分析】

(1)由AB二CD知AB二CZT即力。+AC=8C+4C，據此可得答案；

(2)由AD=3C知AD-BC,結合/ADE-/CBE,/DAE-/BCE可證軍△CBE,從而得出笞案.

【詳解】

證明(1)VAB=CD,

：'AB=CDfAD+AC=BC+AC,

**-AD=BC^

⑵AD=BC^

AAD=BC,

XVZADE=ZCBE,ZDAE=ZBCE,

AAADE^ACBE(ASA),

AAE=CE.

【點睛】

本題主要考查圓心角、弧、弦的關系，圓心角、弧、弦三者的關系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角

相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等.

【變式2-1］（2024?黑龍江中考真題）如圖，在。0中，m①，AD_LOC于D.求證：AB=2AD.

AB=2AC

【解析】

【分析】

延長AD交。。于E,可得靠二標、AB=AE,可得出結論.

【詳解】

V0CXAD,

?*-AE=2AC*AE=2AD,

7AB=2AC,

?**AE=AB?

/.AB=AE,

.'.AB=2AD.

【點睛】

本題主要考查垂徑定理及弧、弦、圓心角之間的關系，敏捷做協助線是解本題的關鍵.

【變式2-2］（2024?江蘇中考真題）如圖，€）0的弦AB、CD的延長線相交于點P,且AB=CD,求證PA=

PC.

【答案】見解析.

【解析】

【分析】

連接AC,由圓心角、弧、弦的關系得出A3=CO,進而得出AO=C5,依據等弧所對的圓周角相等得出

ZC=ZA,依據等角對等邊證得結論.

【詳解】

解：如圖，連接AC.

,：AB=CD,

?*-AB=CD.

：?AB+BD=CD+DB，即AO=函

???ZC=ZA.

???PA=PC.

【點睛】

本題考查了圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，等腰三角形的判定等，嫻熟駕馭性質定理是解題的關鍵.

【考點3】圓周角定理及其推論

【例3】（2024?陜西中考真題）如圖，AB是。。的直徑，EF,EB是。0的弦，且EF=EB,EF與AB交于點C,

連接0F,若NA0F=40°,則NF的度數是（）

E

A.20°B.35°C.40°D.55°

【答案】B

【解析】

【分析】

連接FB,由鄰補角定義可得NF0B=140°,由圓周角定理求得NFEB=70°,依據等腰三角形的性質分別求出

NCFB、NEFB的度數，繼而依據/EF0=NEBF-N0FB即可求得答案.

【詳解】

連接FB,

AZFEB=-ZF0B=70°,

2

VF0=B0,

AZ0FB=Z0BF=(180°-ZFOB)4-2=20°,

VEF=EB,

AZEFB=ZEBF=(180°-ZFEB)4-2=550,

AZEF0=ZEBF-Z0FB=55°-20°=35°,

故選B.

【點睛】

本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質等學問，正確添加協助線，嫻熟駕馭和敏捷運用相關學問是解

題的關鍵.

【變式3-1］（2024?北京中考真題）已知銳角NA0B如圖，（1）在射線0A上取一點C,以點。為圓心，0C

長為半徑作PQ,交射線0B于點D,連接CD；

（2）分別以點C,D為圓心，CD長為半徑作弧，交PQ于點M,N；

（3）連接0M,MN.

依據以上作圖過程及所作圖形，下列結論中錯誤的是（）

A.ZC0M=ZC0DB.若0M=MN,貝!|NA0B=20°

C.MN//CDD.MN=3CD

【答案】D

【解析】

【分析】

由作圖知CM=CD=DN,再利用圓周角定理、圓心角定理逐一推斷可得.

【詳解】

解：由作圖知CN仁CD二DN,

/.ZC0M=ZC0D,故A選項正確;

Q

?.*CM=0N=MN,

AAOMN是等邊三角形，

AZM0N=60°,

VCM=CD=DN,

AZMOA=ZAOB=ZBON=iZMON=20°,故B選項正確；

3

VZM0A=ZA0B=ZB0N=20°,

/.Z0CD=Z0CM=80o,

AZMCD=160°,

又/CMN二,NA0N=20°,

2

AZMCD+ZCMN=180<）,

???MN〃CD,故C選項正確;

VMC+CD+DN>MN,且CM二CD二DN,

/.3CD>MN,故D選項錯誤;

故選：D.

【點睛】

本就主要考杳作圖-困難作圖，解題的關鍵是駕馭圓心角定理和圓周角定理等學問點.

【變式3-2］（2024?湖北中考真題）如圖，點A,B,C均在。。上，當NQ8C=4O。時，NA的度數

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用等腰三角形的性質和三角形內角和計算出NBOC的度數,然后依據圓周角定理可得到乙4的度數.

【詳解】

?;OB=OC,

/OCB=NOBC=40。,

??./BOC=180°-40°-40°=100°,

/.ZA=-ZBOC=50°.

2

故選A.

【點睛】

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的

一半.

【考點4】圓內接四邊形

【例4】（2024?貴州中考真題）如圖，四邊形反笫為。。的內接四邊形，ZJ=100°,則/助的度數為

【解析】

【分析】

干脆利用圓內接四邊形的性質，盯可.解答

【詳解】

???四邊形/I打力為。。的內接四邊形，

???/〃龍=/4=100°,

故答案為100°

【點睛】

此題考查圓內接四邊形的性質，難度不大

【變式4-1］（2024?甘肅中考真題）如圖，四邊形A3CO內接于OO,若NA=40。，則NC=（）

D

C

A.1IOQC.135。D.140。

【答案】D

【解析】

【分析】

干脆利用圓內接四邊形的對角互補計算NC的度數.

【詳解】

丁四邊形ABCD內接于。0,ZA=40°,

工4=180°—40°=140°,

故選1）.

【點睛】

此題考查圓內接四邊形的性質，解題關鍵在于利用圓內接四邊形的對角互補

【變式4-2］（2024?四川中考真題）如圖，正五邊形內接于。。，夕為。石上的一點（點P不與

點D重合），則NCPQ的度數為（)

A.30°B.36°C.60°D.72°

【答案】B

【解析】

【分析】

依據圓周角的性質即可求解.

【詳解】

連接CO、DO,正五邊形內心與相鄰兩點的夾角為72°,即NC0D=72°,

同一圓中，同弧或同弦所對應的圓周角為圓心角的一半，

故/CPD-72°x-=36°,

2

故選B.

【點睛】

此題主要考查圓內接多邊形的性質，解題的關鍵是熟知圓周角定理的應用.

【考點5】正多邊形和圓

【例5】(2024-山東中考真題)如圖，五邊形ABCDE是。0的內接正五邊形，AF是。0的直徑，則NBDF

的度數是。.

【答案】54

【解析】

【分析】

連接A1),依據圓周角定理得到NM)F=90°,依據五邊形的內角和得到NABC=/C=108。，求得NABD=72。，

由圓周角定理得到NF=/ABD=72°,求得/FAD=18°,于是得到結論.

【詳解】

連接AD,

E

???AF是。。的直徑，

AZADF=90°,

???五邊形ABCDE是。0的內接正五邊形，

AZABC=ZC=108°,

AZABD=72°,

???NF=NABD=72°,

AZFAD=186，

.,.ZCDF=ZDAF=18°,

/.ZBDF=360+18°=54°,

故答案為54.

【點睛】

本題考查正多邊形與圓，圓周角定理等學問，解題的關鍵敏捷運用所學學問解決問題.

【變式5-1](2024?山東中考真題)若正六邊形的內切圓半徑為2,則其外接圓半徑為

【答案】迪

3

【解析】

【分析】

依據題意畫出草圖，可得0G=2,ZQ4B=60°,因此利用三角函數便可計算的外接圓半徑()A.

解：如圖，連接。4、OB,作于G；

則06=2,

???六邊形ABCDEF正六邊形,

???是等邊三角形，

???/OA8=60。，

…OG24后

??sin60°昱3，

T

???正六邊形的內切圓半徑為2,則其外接圓半徑為拽?.

3

故答案為生目.

3

【點睛】

本題主要考查多邊形的內接圓和外接圓，關鍵在于依據題意畫出草圖，再依據三角函數求解，這是多邊形

問題的解題思路.

【變式5-2］（2024?陜西中考真題）若正六邊形的邊長為3,則其較長的一條對角線長為—.

【答案】6.

【解析】

【分析】

依據正六邊形的半徑就是其外接圓半徑，則最長的對角線就是外接圓的直徑，據此進行求解即可.

【詳解】

360°

正六邊形的中心角為——=60°,

6

???△A0B是等邊三角形，

??.CB=AB=3,

AEE=20B=6,

即正六邊形最長的對角線為6,

故答案為：6.

【點睛】

本題考查了正多邊形與圓，正確把握正六邊形的中心角、半徑與正六邊形的最長對角線的關系是解題的關

鍵.

【考點6】弧長和扇形的面積計算（含陰影部分面積計算）

【例6】（2024?廣西中考真題）如圖，A48C是。。的內接三角形，48為0。直徑，A/3=6,AO平

分/84C,交BC于氤E,交。。于點。，連接BD.

（1）求證：ZBAD=ZCBD；

（2）若Z4EB=125。，求8Q的長（結果保留不）.

7

【答案】（1）見解析；（2）80的氏=》乃.

6

【解析】

【分析】

（1）依據角平分線的定義和圓周角定理即可得到結論；

（2）連接。D,依據平角定義得到NAEC=55。，依據圓周角定理得到NACf=35。，得到

ZBOD=2ZBAD=70°，依據弧長公式即可得到結論.

【詳解】

（1）證明：???AO平分N84C,

???4cAD=/CBD，

???4BAD=4CBD；

（2）解：連接OD,

???Z4EB=125°,

???ZAEC=55°,

???A3為。。直徑，

???ZACE=90。，

???ZC4E=35°,

???ZZMB=ZC4E=35°,

???/BOD=2/BAD=70。,

.,,70?4x37

??BD的lx長=-------二:萬.

au1806

【點睛】

本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，弧長的計算，正確的識別圖形是解題的關鍵.

【變式6-1］（2024?湖北中考真題）如圖，等邊三角形ABC的邊長為2,以A為圓心，1為半徑作圓分別

交AB,AC邊于。，E,再以點。為圓心，CO長為半徑作圓交8c邊于尸，連接E,F,那么圖中

陰影部分的面積為.

【解析】

【分析】

過A作AAf_L3C于用，EN1BC于N,依據等邊三角形的性質得到AM=且3c=立x2=6，

22

求得EN='AM=且，依據三角形的面積和扇形的面積公式即可得到結論.

22

【詳解】

過A作AMLBC于M，EN工BC于N,

???等邊三角形ABC的邊長為2,ABAC=/B=ZACB=60°.

/.AM=BC=--x2=>/3，

22

??AO=AE=],

z.AD=BD,AE=CE,

:.EN=、AM=蟲,

22

..?圖中陰影部分的面積=S.8c-S扇形八0￡-SACEF一（S甌口一S扇形小尸）

130?4x3、

------X—X—x2xx/3

222360；

,TV33

=---1--------，

1224

故答案為：￡十立一2.

1224

【點睛】

本題考杳了扇形的面積的計算，等邊三角形的性質，正確的作出協助線是解題的關鍵.

【變式6-2］（2024?四川中考真題）如圖，在AAOC中，OA=3cm,OC=\cm,將AAOC繞點0順時針

旋轉90后得到ABO3,則AC邊在旋轉過程中所掃過的圖形的面積為（)cm2?

D

O

萬1719

A.—B.2兀C.71D.—71

288

【答案】B

【解析】

【分斤】

依據旋轉的性質可以得到陰影部分的面枳=扇形OAB的面積-扇形OCD的面積，利用扇形的面積公式即可

求解.

【詳解】

解：???A4OCgMOD

???陰影部分的面枳=扇形OAB的面積-扇形OCD的面積=型二21一絲絲匚=2%

360360

故選:B.

【點睛】

考查了旋轉的性質以及扇形的面積公式，正確理解：陰影部分的面積=扇形0AB的面積-扇形0CD的面積

是解題關鍵.

【考點7】與圓錐有關的計算

【例7】（2024?湖南中考真題）如圖，在等腰AABC中，ZBAC=120°,AD是NR4C的角平分線，且

AD=6t以點A為圓心，AD長為半徑畫弧EF,交AB于點E,交AC于點F,

（1）求由弧EF及線段FC、CB、BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積；

（2）將陰影部分剪掉，余下扇形AEF,將扇形AEF圍成一個圓錐的側面，AE與AF正好重合，圓錐側面無

重疊，求這個圓錐的高h.

【答案】（1）3673-12^-；（2）h=472.

【解析】

【分析】

（1）利用等腰三角形的性質得到AD_LBC,BD=CD，則可計算出BD=6后，然后利用扇形的面積

公式，利用由弧EF及線段FC、CB、BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積=SABC一$扇形EAF進行計算；（2）

設圓錐的底面圓的半徑為r,利用圓錐的側面綻開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形

120-TT-6

的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2仃=--------,解得r=2,然后利用勾股定理計算這個圓錐的

180

高h.

【詳解】

???在等腰上ABC中，/BAC=120。，

???ZB=30。，

；AD是/BAC的角平分線，

???AD_LBC，BD=CD，

，BD=GAD=6百，

???BC=2BD=12百，

???由弧EF及線段FC、CB、BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積

=SABC-S磁形EAF=；X6X12X/J-12：26=366-12九

2360

（2）設圓錐的底面圓的半徑為r,

120,7T16

依據題意得2圻二--------，解得r=2,

180

這個圓錐的高h=762-22=4G.

【點睛】

本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面綻開圖為?扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑

等于圓錐的母線長.也考查了等腰三角形的性質和扇形的面積公式.

【變式7-1］（2024?廣西中考真題）已知圓錐的底面半徑是1,高是后，則該圓錐的側面綻開圖的圓心

角是度.

【答案】90

【解析】

【分析】

先依據勾股定理求出圓錐的母線為4,進而求得綻開圖的弧長，然后依據弧長公式即可求解.

【詳解】

解：設圓錐的母線為a,依據勾股定理得，a=4,

設圓錐的側面綻開圖的圓心角度數為相，

IlX4

依據題意得24x1=-^,解得〃=90,

即圓錐的側面綻開圖的圓心角度數為900.

故答案為90.

【點睛】

本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面綻開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑

等于圓錐的母線長.

【變式7-2］（2024?遼寧中考真題）圓錐側面綻開圖的圓心角的度數為216',母線長為5,該圓錐的底面

半徑為.

【答案】3

【解析】

【分析】

設該圓錐的底面半徑為r,利用圓錐的側面綻開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的

216?45

半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2仃=---------,然后解關于r的方程即可.

18（）

【詳解】

216,,5

設該圓錐的底面半徑為八依據題意得2/〃=-,解得〃=3.故答案為3.

180

【點睛】

本題考查圓錐的計算，解題的關鍵是知道圓錐的側面綻開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周

長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.

【變式7-3］（2024?西藏中考真題）如圖，從一張腰長為90cm,頂角為120°的等腰三角形鐵皮中剪

出一個最大的扇形OCO,用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐的側面（不計損耗〉，則該圓錐的底面半徑為

C.10cmD.20cm

【答案】A

【解析】

【分析】

依據等腰三角形的性質得到。石的長，再利用弧長公式計算出弧CO的長，設圓錐的底面圓半徑為人依據

圓錐的側面綻開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長可得到r.

【詳解】

過。作OEJLAB于E，

???OA=OB=90an,ZAOB=\20°，

ZA=ZB=3()，

二.OE=—OA=45cm,

2

...弧C力的長=1^薩=30〃，

設圓錐的底面圓的半徑為八則24，=30%，解得，=15.

故選：A.

【點睛】

本題考杳了圓錐的計算：圓錐的側面綻開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑

等于圓錐的母線長.

【達標訓練】

一、單選題

1.（2024?山東中考真題）如圖，AA5C是。。的內接三角形，ZA=119°,過點C的圓的切線交8。于

點P,則NP的度數為（）

B

A.32°B.31°C.29°D.61°

【答案】A

【解析】

【分析】

依據題意連接OC,ACOP為直角三角形，再依據BC的優弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，可計算的

NCOP的度，再依據直角三角形可得NP的度數.

【詳解】

依據題意連接0C.因為NA-119。

所以可得BC所對的大圓心角為Z.BOC-2x119-238°

因為BD為直徑，所以可得Z.COD=238,-180°=58°

由于ACO尸為直角三角形

所以可得NP=90°—58°=32°

故選A.

【點睛】

本題主要考瓷圓心角的計算，關鍵在于圓心角等于向弧所對圓周角的2倍.

2.（2024?廣西中考真題）如圖，A8,C,。是。。上的點，則圖中與N4相等的角是（）

A.DBB.ZCC./DEBD.ND

【答案】D

【解析】

【分析】

干脆利用圓周角定理進行推斷.

【詳解】

解：〈NA與/力都是所對的圓周角，

，ZD=ZA.

故選：D.

【點睛】

本題考查了圓周先定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的

一半.

3.（2024?吉林中考真題）如圖，在。。中，A8所對的圓周角NACB=5O°,若尸為AB上一點，乙4OQ=55",

則/PO/3的度數為（）

A.30°B.45°C.55°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

依據圓心角與圓周角關系定理求出NA0B的度數，進而由角的和差求得結果.

【詳解】

解：VZACB=50°,

/.ZAOB=2ZACB=100°,

VZAOP=55°,

/.ZPOB=45°,

故選:B.

【點睛】

本題是圓的?個計算題，主要考查了在同園或等圓中，同弧或等弧所對的圓心角等于它所對的圓周角的2

信倍.

4.（2024?山東中考真題）如圖，8C是半圓。的直徑，D,E是上兩點，連接8。，CE并延長交

于點A,連接。"，OEf假如NA=7O。，那么/DO石的度數為（）

A.35°B.38°C.40°D.42°

【答案】C

【解析】

【分析】

連接CD,由圓周角定理得出NBDC=90°,求出NACD=90°-NA=20°,再由圓周角定理得出/D0E=2N

ACD=40°即可，

【詳解】

連接CD,如圖所示：

??,EC是半圓0的直徑，

AZBDC=90°,

AZADC=90°,

AZACD=900-ZA=20°,

AZD0E=2ZACD=40°,

故選C.

【點睹】

本題考查了圓周角定理、直角三角形的性質；嫻熟駕馭圓周角定理是解題的關鍵.

5.(2024?貴州中考真題)如圖，半徑為3的0A經過原點。和點C(0,2),B是y軸左側。A優弧上一點,

貝ijtanZOBC為()

A1D0/TR6n2及

A.—B.2J2C.D?-----

3”43

【答案】C

【解析】

試題分析：連結CD,可得CD為直徑，在RtZ\OCD中，CD=6,0C=2,依據勾股定理求得0D=4Jg

所以tan/CDO=在，由圓周角定理得，NOBC=NCDO,則tan/OBC=無，故答案選C.

考點：圓周角定理；銳角三角函數的定義.

6.(2024?甘肅中考真題)如圖，AB是。0的直徑，點C、D是圓上兩點，且NA0C=126°,則NCDB=()

A.54°B.64°C.27°D.37°

【答案】C

【解析】

【分析】

由NA0C=126°,可求得NBOC的度數，然后由圓周角定理，求得NCDB的度數.

【詳解】

解：VZA0C=126°,

/.ZB0C=1800-ZAOC=54°,

VZCDB=-ZB0C=27d

2

故選：C.

【點睛】

此題考查了圓周角定理.留意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等「這條弧所對的圓心

角的一半.

7.（2024?貴州中考真題）如圖，已知圓心角NA0B=110°,則圓周角NACB=（）

A.55°B.110°C.120°D.125°

【答案】D

【解析】

分析：依據圓周角定理進行求解.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

詳解：依據圓周角定理，得

ZACB=-（360°-ZAOB）=-X25O0=125°.

22

故選D.

點睛：此題考查了圓周角定理.

留意：必需是一條弧所對的圓周角和圓心角之間才有一半的關系.

8.（2024?浙江中考真題）如圖，取兩根等寬的紙條折直穿插，拉緊，可得邊長為2的正六邊形.則原來的

紙帶寬為（）

A.1B.>/2C.6D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

結合題意標上字母，作BGJLAC,依據題意可得：AA5c是邊長為2的等邊三角形，等邊三角形的高為

原來的紙帶寬度，在RtABGA中，依據勾股定理即可求得答案.

【詳解】

如圖，作BG_LAC,

依題可得：AA5C是邊長為2的等邊三角形，

在RtA5GA中，

VAB=2,AG=1,

???BG=6，

即原來的紙寬為JJ.

故答案為：C.

【點睛】

本題考杳正多邊形和圓：把一個圓分成n（n是大于2的自然數）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這

個圓的內接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓.嫻熟駕馭正六邊形的性質.

9.（2024?浙江中考真題）如圖，已知正五邊形4BCOE內接于。。，連結則/48D的度數是（）

A.60°B.70°C.72°D.144°

【答案】C

【解析】

【分析】

依據多邊形內角和定理、正五邊形的性質求出NABC、CD=CB,依據等腰三角形的性質求出NCBD,計算即可.

【詳解】

???五邊形ABCDE為正五邊形

???/ABC=ZC=1(5-2)xl80°=108°

,:CD=CB

???/LCBD=g(180°-108°)=36。

???ZABD=ZABC-/CBD=72°

故選:C.

【點睛】

本題考查的是正多邊形和圓、多邊形的內角和定理，駕馭正多邊形和圓的關系、多邊形內角和等于（「2）

X180°是解題的關鍵.

10.（2024?寧夏中考真題）如圖，正六邊形ABCOEF的邊長為2,分別以點為圓心，以Aa。C為

半徑作扇形扇形。CE.則圖中陰影部分的面積是（)

BC

oO

A.6\f3--7rB.6>/3—7tC.\2y/3--7TD.i2yf3--7F

3333

【答案】B

【解析】

【分析】

依據題意和圖形可知陰影部分的面積是正六邊形的面積減去兩個扇形的面積，從而可以解答小題.

【詳解】

解：???止六邊形48。。￡戶的邊長為2,

???正六邊形48。。￡尸的面積是：2X（2sn160）

x6=6x2x—=6x/3?ZFAB=ZEDC=\20，

24o

???圖中陰影部分的面積是：6x/3-12（）X；rx2~x2=6x/3-—

3603

故選：B.

【點睛】

本題考查正多邊形和圓、扇形面積的計算，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答.

11.（2024?江蘇中考真題）如圖，正六邊形的邊長為2,分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半圓，與

正六邊形的外接圓圍成的6個月牙形的面積之和（陰影部分面積）是（）

A.6G—乃B.60-2兀C.66+/D.6G+2)

【答案】A

【解析】

【分析】

圖中陰影部分面積等于6個小半圓的面積和-（大圓的面積-正六邊形的面積）即可得到結果.

【詳解】

解：6個月牙形的面積之和=3乃-2?乃-6xgx2xjj）=6jj-乃

故選A.

【點睛】

本題考查了正多邊形與圓，圓的面積的計算，正六邊形的面積的計算，正確的識別圖形是解題的關鍵.

12.（2024?山東中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABC。中，以點8為圓心，A3為半徑畫弧，交

則圖中陰影部分的面積是（結果保留"）（）

B.16—24C.8—2萬D.8—71

2

【答案】C

【解析】

【分析】

依據5陰=5△1劭-S扇形物￡計算即可.

【詳解】

]45?4?4?

§陰=5必”。一5扇形刖后=-x4x4——=8-2萬，

2JOU

故選：C.

【點睛】

本題考查扇形的面積的計算，正方形的性質等學問，解題的關鍵是學會用分割

法求陰影部分面積.

13.（2024?浙江中考真題）若扇形的圓心角為90°,半徑為6,則該扇形的弧長為（）

3

A.-71B.2乃C.3乃D.67r

2

【答案】C

【解析】

【分析】

依據弧長公式計算即可.

【詳解】

9（）乃X6

解：該扇形的弧長=--------=3/

180

故選C.

【點睛】

本題考查了弧長的計算：弧長公式：/=—（弧長為1,圓心角度數為n,圓的半徑為R）.

180

14.（2024?湖南中考真題）一個扇形的半徑為6,圓心角為120°,則該扇形的面積是（）

A.2冗B.4兀C.12nD.24式

【答案】C

【解析】

【分析】

依據扇形的面積公式S=”上計算即可.

360

【詳解】

S二圓衛父二12人

故選C.

【點睛】

本題考查的是扇形面枳的計算，駕馭扇形的面積公式s=竺上是解題的關鍵.

360

15.（2024?浙江中考真題）如圖，AA3C內接于圓。，ZB=65°,NC=70。，若8C=20，則弧

的長為（）

【答案】A

【解析】

【分析】

連接OB,0C.首先證明△0BC是等腰直角三角形，求出0B即可解決問題.

【詳解】

連接OB,0C.

a

VZA=1800-ZABC-ZACB=180°-65°-70°=45°,

/.ZB0C=90°,

???=20,

/.CB=OC=2,

90x〃x2

:.BC的長為

180

故選A.

【點睛】

本題考查圓周角定理，弧長公式，等腰直角三角形的性質的等學問，解題的關鍵是嫻熟駕馭基本學問

16.（2024?山東中考真題）如圖，點A、B,C,D在。0上，AB=AC,ZA=40°,BD/7AC,若。0的半徑

為2.則圖中陰影部分的面積是（）

_27：r-n4萬

AB.--73CD.--V2

-T-4J-T-4

【答案】B

【解析】

【分析】

連接BC、OD、0B,先證aBOD是等邊三角形,再依據陰影部分的面積是S.場形計算可得.

【詳解】

如圖所示，連接BC、0D、0B,

.\ZACB=70°,

VBD/7AC,

/.ZABD=ZA=40°,

.*.ZACD=ZABD=40°,

AZBCD=30°,

貝ljNB0D=2NBCD=60°,

又OD=OB,

???△BOD是等邊三角形，

則圖中陰影部分的面積是S整形g-S△哪

_60/"^3

---------------XZ2

3604

故選B.

【點睛】

本題主要考查扇形面積的計算，解題的關鍵是駕馭等腰三角形和等邊三角形的判定與性質、圓周角定理、

扇形的面積公式等學問點.

二、填空題

17.（2024?廣西中考真題）《九章算術》作為古代中國乃至東部的第一部自成體系的數學專著，與古希臘

的《幾何原本》并稱現代數學的兩大源泉.在《九章算術》中記載有一問題“今有圓材埋在壁中，不知大

小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”小輝同學依據原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，

已知：鋸口深為1寸，鋸道A8=l尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為寸.

【答案】26.

【解析】

【分析】

設00的半徑為人在必A4QO中，AD=5,OD=r-i,OA=r,則有/=5?+“-1）2,解方程即可.

【詳解】

設。。的半徑為，二

在Rt/SADO中，AD=5,OD=r-\,OA=r,

則有產=52+（〃—I）2,

解得，=13,

???。。的直徑為26、1,

故答案為26.

【點睛】

本題考杳垂徑定理、勾股定理等學問，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考常考題型.

18.（2024?江蘇中考真題）如圖，點A、B、。在。。上，BC=6,/胡△=30°,則。。的半徑為.

【答案】6

【解析】

【分析】

依據一條弧所對的圓周角等于它所對?的圓心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形求解.

【詳解】

解：連接0B,0C

VZB0C=2ZBAC=60°,又0B=0C,

???△B0C是等邊三角形

/.0B=BC=6,

故答案為6.

【點睛】

本題綜合運用圓