...wd......wd...WORD格式可編輯版...wd...2018年廣東省茂名市高考數學一模試卷〔文科〕一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，有且只有一項為哪一項符合題目要求的.1．〔5分〕〔2018?茂名一模〕假設集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，則A∩B=〔〕A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1}2．〔5分〕〔2018?茂名一模〕復數z滿足zi=2+i，i是虛數單位，則|z|=〔〕A． B． C．2 D．3．〔5分〕〔2018?茂名一模〕在1，2，3，6這組數據中隨機取出三個數，則數字2是這三個不同數字的平均數的概率是〔〕A． B． C． D．4．〔5分〕〔2018?茂名一模〕變量x，y滿足約束條件則z=3x+y的最小值為〔〕A．11 B．12 C．8 D．35．〔5分〕〔2018?茂名一模〕設等差數列{an}的前n項和為Sn，假設a2+a8=10，則S9=〔〕A．20 B．35 C．45 D．906．〔5分〕〔2018?茂名一模〕拋物線y2=8x的準線與x軸交于點D，與雙曲線交于A，B兩點，點F為拋物線的焦點，假設△ADF為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是〔〕A． B． C． D．7．〔5分〕〔2018?茂名一模〕函數f〔x〕=sin〔ωx+?〕〔ω＞0，0＜?＜〕，f〔x1〕=1，f〔x2〕=0，假設|x1﹣x2|min=，且f〔〕=，則f〔x〕的單調遞增區間為〔〕A． B．．C． D．8．〔5分〕〔2018?茂名一模〕函數的局部圖象大致為〔〕A． B． C． D．9．〔5分〕〔2018?茂名一模〕《算法統宗》是明朝程大位所著數學名著，其中有這樣一段表述：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一〞，其意大致為：有一棟七層寶塔，每層懸掛的紅燈數為上一層的兩倍，共有381盞燈，則該塔中間一層有〔〕盞燈．A．24 B．48 C．12 D．6010．〔5分〕〔2018?茂名一模〕執行如以以下列圖的程序框圖，那么輸出S的值是〔〕A．2018 B．﹣1 C． D．211．〔5分〕〔2018?茂名一模〕如圖為一正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有以下四個命題：①AF⊥GC；②BD與GC成異面直線且夾角為60°；③BD∥MN；④BG與平面ABCD所成的角為45°．其中正確的個數是〔〕A．1 B．2 C．3 D．412．〔5分〕〔2018?茂名一模〕定義在R上函數y=f〔x+2〕的圖象關于直線x=﹣2對稱，且函數f〔x+1〕是偶函數．假設當x∈[0，1]時，，則函數g〔x〕=f〔x〕﹣e﹣|x|在區間[﹣2018，2018]上零點的個數為〔〕A．2017 B．2018 C．4034 D．4036二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.13．〔5分〕〔2018?茂名一模〕=〔2，1〕，﹣2=〔1，1〕，則=．14．〔5分〕〔2018?茂名一模〕曲線y=ln〔x+1〕在點〔1，ln2〕處的切線方程為．15．〔5分〕〔2018?茂名一模〕從原點O向圓C：x2+y2﹣12y+27=0作兩條切線，則該圓被兩切點所分的劣弧與優弧之比為．16．〔5分〕〔2018?茂名一模〕如圖，三棱錐的所有頂點都在一個球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，則該球的體積為．三、解答題：本大題共5小題，共70分.其中17至21題為必做題，22、23題為選做題.解答過程應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．〔12分〕〔2018?茂名一模〕△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2c?cosB﹣b=2a．〔Ⅰ〕求角C的大小；〔Ⅱ〕設角A的平分線交BC于D，且AD=，假設b=，求△ABC的面積．18．〔12分〕〔2018?茂名一模〕在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一點．〔Ⅰ〕證明：平面EAB⊥平面PAC；〔Ⅱ〕假設△PAC是正三角形，且E是PC中點，求三棱錐A﹣EBC的體積．19．〔12分〕〔2018?茂名一模〕一只藥用昆蟲的產卵數y與一定范圍內的溫度x有關，現收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數據如表：溫度x/°C212324272932產卵數y/個61120275777經計算得：，，，，，線性回歸模型的殘差平方和，e8.0605≈3167，其中xi，yi分別為觀測數據中的溫度和產卵數，i=1，2，3，4，5，6．〔Ⅰ〕假設用線性回歸模型，求y關于x的回歸方程=x+〔準確到0.1〕；〔Ⅱ〕假設用非線性回歸模型求得y關于x的回歸方程為=0.06e0.2303x，且相關指數R2=0.9522．〔i〕試與〔Ⅰ〕中的回歸模型相比，用R2說明哪種模型的擬合效果更好．〔ii〕用擬合效果好的模型預測溫度為35°C時該種藥用昆蟲的產卵數〔結果取整數〕．附：一組數據〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，…，〔xn，yn〕，其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計為，=﹣；相關指數R2=．20．〔12分〕〔2018?茂名一模〕橢圓C1以直線所過的定點為一個焦點，且短軸長為4．〔Ⅰ〕求橢圓C1的標準方程；〔Ⅱ〕橢圓C2的中心在原點，焦點在y軸上，且長軸和短軸的長分別是橢圓C1的長軸和短軸的長的λ倍〔λ＞1〕，過點C〔﹣1，0〕的直線l與橢圓C2交于A，B兩個不同的點，假設，求△OAB的面積取得最大值時直線l的方程．21．〔12分〕〔2018?茂名一模〕函數〔a∈R〕．〔Ⅰ〕討論g〔x〕的單調性；〔Ⅱ〕假設．證明：當x＞0，且x≠1時，．請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時，請用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑．[選修4-4：坐標系與參數方程]22．〔10分〕〔2018?茂名一模〕在直角坐標系xOy中，直線l經過點P〔﹣2，0〕，其傾斜角為α，在以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸的極坐標系中〔取一樣的長度單位〕，曲線C的極坐標方程為ρ﹣4cosθ=0．〔Ⅰ〕假設直線l與曲線C有公共點，求傾斜角α的取值范圍；〔Ⅱ〕設M〔x，y〕為曲線C上任意一點，求的取值范圍．[選修4-5：不等式選講]23．〔2018?茂名一模〕函數f〔x〕=|x﹣3|﹣|x+5|．〔Ⅰ〕求不等式f〔x〕≥2的解集；〔Ⅱ〕設函數f〔x〕的最大值為M，假設不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范圍．2018年廣東省茂名市高考數學一模試卷〔文科〕參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，有且只有一項為哪一項符合題目要求的.1．〔5分〕〔2018?茂名一模〕假設集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，則A∩B=〔〕A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1}【分析】利用交集定義直接求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}．應選：C．【點評】此題考察交集的求法，考察交集定義、不等式等根基知識，考察運算求解能力，考察函數與方程思想，是根基題．2．〔5分〕〔2018?茂名一模〕復數z滿足zi=2+i，i是虛數單位，則|z|=〔〕A． B． C．2 D．【分析】把等式變形，利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的計算公式計算．【解答】解：由zi=2+i，得，∴|z|=，應選：D．【點評】此題考察復數代數形式的乘除運算，考察復數模的求法，是根基題．3．〔5分〕〔2018?茂名一模〕在1，2，3，6這組數據中隨機取出三個數，則數字2是這三個不同數字的平均數的概率是〔〕A． B． C． D．【分析】在1，2，3，6這組數據中隨機取出三個數，利用列舉法能求出數字2是這三個不同數字的平均數的概率．【解答】解：在1，2，3，6這組數據中隨機取出三個數，根本領件總數有4個，分別為：〔1，2，3〕，〔1，2，6〕，〔1，3，6〕，〔2，3，6〕數字2是這三個不同數字的平均數所包含的根本領件只有〔1，2，3〕，共1個．∴數字2是這三個不同數字的平均數的概率是．應選：A．【點評】此題考察概率的求法，考察古典概型、列舉法等根基知識，考察運算求解能力，考察函數與方程思想，是根基題．4．〔5分〕〔2018?茂名一模〕變量x，y滿足約束條件則z=3x+y的最小值為〔〕A．11 B．12 C．8 D．3【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用綿竹市的幾何意義，通過數形結合即可的得到結論．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得A〔2，2〕，化目標函數z=3x+y為y=﹣3x+z，由圖可知，當直線y=﹣3x+z過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為z=3×2+2=8．應選：C．【點評】此題主要考察線性規劃的應用，利用z的幾何意義，通過數形結合是解決此題的關鍵．5．〔5分〕〔2018?茂名一模〕設等差數列{an}的前n項和為Sn，假設a2+a8=10，則S9=〔〕A．20 B．35 C．45 D．90【分析】由等差數列的性質得，a1+a9=a2+a8=10，S9=．【解答】解：由等差數列的性質得，a1+a9=a2+a8=10，S9=．應選：C．【點評】此題考察了等差數列的通項公式與求和公式及其性質，考察了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6．〔5分〕〔2018?茂名一模〕拋物線y2=8x的準線與x軸交于點D，與雙曲線交于A，B兩點，點F為拋物線的焦點，假設△ADF為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是〔〕A． B． C． D．【分析】由畫出圖形，求得A點坐標，代入雙曲線方程求得m值，得到a值，進一步求得c，則雙曲線離心率可求．【解答】解：拋物線y2=8x的準線方程為x=﹣2，準線與x軸的交點為D〔﹣2，0〕，由△ADF為等腰直角三角形，得|AD|=|DF|=4，故點A的坐標為〔﹣2，4〕，由點A在雙曲線上，可得，解得，即，∴，∴雙曲線的離心率．應選：D．【點評】此題考察拋物線與雙曲線的簡單性質，考察數形結合的解題思想方法，是中檔題．7．〔5分〕〔2018?茂名一模〕函數f〔x〕=sin〔ωx+?〕〔ω＞0，0＜?＜〕，f〔x1〕=1，f〔x2〕=0，假設|x1﹣x2|min=，且f〔〕=，則f〔x〕的單調遞增區間為〔〕A． B．．C． D．【分析】設f〔x〕的周期為T，由f〔x1〕=1，f〔x2〕=0，|x1﹣x2|min=，得，在由〔〕=，求出?的值，結合三角函數的性質求解單調性．【解答】解：設f〔x〕的周期為T，由f〔x1〕=1，f〔x2〕=0，|x1﹣x2|min=，得，由f〔〕=，得sin〔π+?〕=，即cos?=，又0＜?＜，∴?=，f〔x〕=sin〔πx〕．由，得．∴f〔x〕的單調遞增區間為．應選：B．【點評】此題主要考察利用y=Asin〔ωx+φ〕的圖象特征的應用，解析式的求法．屬于根基題．8．〔5分〕〔2018?茂名一模〕函數的局部圖象大致為〔〕A． B． C． D．【分析】可得f〔x〕為奇函數，＜1，排除A、B．當x＞0時，可得，在區間〔1，+∞〕上f〔x〕單調遞增，排除D即可．【解答】解：∵f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，可得f〔x〕為奇函數，排除B，∵＜1，排除A．當x＞0時，，，∴在區間〔1，+∞〕上f〔x〕單調遞增，排除D，應選C．【點評】此題考察了函數的圖象及性質，屬于中檔題．9．〔5分〕〔2018?茂名一模〕《算法統宗》是明朝程大位所著數學名著，其中有這樣一段表述：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一〞，其意大致為：有一棟七層寶塔，每層懸掛的紅燈數為上一層的兩倍，共有381盞燈，則該塔中間一層有〔〕盞燈．A．24 B．48 C．12 D．60【分析】由題意可知從上至下每層燈盞數構成公比為2的等比數列，設首項為a，則，解得a，利用通項公式即可得出．【解答】解：由題意可知從上至下每層燈盞數構成公比為2的等比數列，設首項為a，則，解之得a=3，則該塔中間一層燈盞數有3×23=24．應選：A．【點評】此題考察了等比數列的通項公式與求和公式，考察了推理能力與計算能力，屬于中檔題．10．〔5分〕〔2018?茂名一模〕執行如以以下列圖的程序框圖，那么輸出S的值是〔〕A．2018 B．﹣1 C． D．2【分析】由中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環構造計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：依題意，執行如以以下列圖的程序框圖可知：初始S=2，當k=0時，S0=﹣1，k=1時，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可見Sn的值周期為3．∴當k=2017時，S2017=S1=，k=2018，退出循環．輸出S=．應選：C．【點評】此題考察了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是根基題．11．〔5分〕〔2018?茂名一模〕如圖為一正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有以下四個命題：①AF⊥GC；②BD與GC成異面直線且夾角為60°；③BD∥MN；④BG與平面ABCD所成的角為45°．其中正確的個數是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【分析】將正方體紙盒展開圖復原成正方體，數形結合能求出結果．【解答】解：將正方體紙盒展開圖復原成正方體，在①中，如圖知AF與GC異面垂直，故①正確；在②中，BD與GC成異面直線，連接EB，ED．則BM∥GC，在等邊△BDM中，BD與BM所成的60°角就是異面直線BD與GC所成的角，故②正確；在③中，BD與MN異面垂直，故③錯誤；在④中，GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是BG與平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形．所以BG與平面ABCD所成的角不是為45°，故④錯誤．應選：B．【點評】此題考察命題真假的判斷，考察空間中線線、線面、面面間的位置關系、正方體構造特征等根基知識，考察運算求解能力，考察函數與方程思想，是中檔題．12．〔5分〕〔2018?茂名一模〕定義在R上函數y=f〔x+2〕的圖象關于直線x=﹣2對稱，且函數f〔x+1〕是偶函數．假設當x∈[0，1]時，，則函數g〔x〕=f〔x〕﹣e﹣|x|在區間[﹣2018，2018]上零點的個數為〔〕A．2017 B．2018 C．4034 D．4036【分析】函數g〔x〕=f〔x〕﹣e﹣|x|在區間[﹣2018，2018]上零點的個數?函數的圖象與y=e﹣|x|的圖象交點個數．由y=f〔x+2〕的圖象關于直線x=﹣2對稱，得f〔x〕是周期為2的偶函數，根據當x∈[0，1]時，，作出y=f〔x〕與圖象如以以以下列圖，結合圖象即可．【解答】解：函數g〔x〕=f〔x〕﹣e﹣|x|在區間[﹣2018，2018]上零點的個數?函數的圖象與y=e﹣|x|的圖象交點個數．由y=f〔x+2〕的圖象關于直線x=﹣2對稱，得f〔x〕是偶函數，即f〔﹣x〕=f〔x〕．又∵函數f〔x+1〕是偶函數，∴f〔x+1〕=f〔﹣x+1〕，故f〔x+2〕=f〔﹣x〕=f〔x〕，因此，f〔x〕是周期為2的偶函數．∵當x∈[0，1]時，，作出y=f〔x〕與圖象如以以以下列圖，可知每個周期內有兩個交點，所以函數g〔x〕=f〔x〕﹣e﹣|x|在區間[﹣2018，2018]上零點的個數為2018×2=4036．應選：D．【點評】此題考察了函數的奇偶性、周期性，考察了數形結合思想，屬于中檔題．二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.13．〔5分〕〔2018?茂名一模〕=〔2，1〕，﹣2=〔1，1〕，則=1．【分析】根據題意，設=〔x，y〕，由向量加減法的計算公式可得﹣2=〔2﹣2x，1﹣2y〕=〔1，1〕，解可得x、y的值，即可得=〔，0〕，進而由數量積的計算公式計算可得答案．【解答】解：根據題意，設=〔x，y〕，則﹣2=〔2﹣2x，1﹣2y〕=〔1，1〕，則有2﹣2x=1，1﹣2y=1，解可得x=，y=0，則=〔，0〕，則=2×+1×0=1；故答案為：1【點評】此題考察向量數量積的坐標計算，注意求出的坐標．14．〔5分〕〔2018?茂名一模〕曲線y=ln〔x+1〕在點〔1，ln2〕處的切線方程為x﹣2y﹣1+2ln2=0．【分析】根據題意，對y=ln〔x+1〕求導，分析可得所求切線斜率k的值，由曲線方程計算可得切點的坐標，進而由直線的點斜式方程分析可得答案．【解答】解：根據題意，曲線y=ln〔x+1〕，則有y′=，則由所求切線斜率，又由f〔1〕=ln〔1+1〕=ln2，則曲線在點〔1，ln2〕處的切線方程為，即x﹣2y﹣1+2ln2=0．故答案為：x﹣2y﹣1+2ln2=0【點評】此題考察利用導數計算曲線的切線方程，注意正確計算函數的導數．15．〔5分〕〔2018?茂名一模〕從原點O向圓C：x2+y2﹣12y+27=0作兩條切線，則該圓被兩切點所分的劣弧與優弧之比為．【分析】化圓的方程為標準方程，求出圓心坐標和半徑，畫出圖形，數形結合得答案．【解答】解：把圓的方程化為標準方程為x2+〔y﹣6〕2=9，得到圓心C〔0，6〕，圓的半徑r=3，由圓切線的性質可知，∠CBO=∠CAO=90°，且AC=BC=3，OC=6，則有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60°+60°=120°，∴該圓被兩切點所分的劣弧與優弧之比為．故答案為：．【點評】此題考察圓的標準方程，考察直線與圓位置關系的應用，是中檔題．16．〔5分〕〔2018?茂名一模〕如圖，三棱錐的所有頂點都在一個球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，則該球的體積為．【分析】以△ABC所在平面為球的截面，由正弦定理得截面圓的半徑為1，球心到截面的距離為，從而球的半徑為．由此能求出球的體積．【解答】解：以△ABC所在平面為球的截面，則由正弦定理得截面圓的半徑為，依題意得CD⊥平面ABC，故球心到截面的距離為，則球的半徑為．所以球的體積為．故答案為：．【點評】此題考察球的體積的求法，考察三棱錐、球等根基知識，考察推理論證能力、運算求解能力，考察函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分.其中17至21題為必做題，22、23題為選做題.解答過程應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．〔12分〕〔2018?茂名一模〕△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2c?cosB﹣b=2a．〔Ⅰ〕求角C的大小；〔Ⅱ〕設角A的平分線交BC于D，且AD=，假設b=，求△ABC的面積．【分析】〔Ⅰ〕結合題意，由余弦定理可得，變形可得，有C的范圍，分析可得答案；〔Ⅱ〕根據題意，由正弦定理分析可得sin∠CDA的值，即可得∠CDA的值，由三角形內角和定理可得∠ACD的值，進而分析可得△ABC是等腰三角形，且，由三角形面積公式計算可得答案．【解答】解：〔Ⅰ〕根據題意，假設2c?cosB﹣b=2a，則有，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab，，又在△ABC中，0＜C＜π，∴，即角C的大小為；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，在△ADC中，AC=b=，AD=，由正弦定理得，∵在△ADC中，0＜∠CDA＜π，C為鈍角，∴，故．∵在△ABC中，AD是角A的平分線，∴，∴△ABC是等腰三角形，，故△ABC的面積．【點評】此題考察三角形中的幾何計算，涉及正弦定理、余弦定理的應用，關鍵是求出C的大小．18．〔12分〕〔2018?茂名一模〕在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一點．〔Ⅰ〕證明：平面EAB⊥平面PAC；〔Ⅱ〕假設△PAC是正三角形，且E是PC中點，求三棱錐A﹣EBC的體積．【分析】〔Ⅰ〕推導出AB⊥AC，從而AB⊥平面PAC，由此能證明平面EAB⊥平面PAC．〔Ⅱ〕法一：推導出AB⊥平面PAC，三棱錐A﹣EBC的體積為VA﹣EBC=VB﹣EAC，由此能求出結果．法二：過P作PO⊥AC于點O，推導出PO⊥平面ABC，過E作EF⊥AC于點F，推導出EF⊥平面ABC，三棱錐A﹣EBC的體積為VA﹣EBC=VE﹣ABC，由此能求出結果．【解答】證明：〔Ⅰ〕依題意得四邊形ABCD是底角為60°的等腰梯形，…〔1分〕∴∠BAD=∠ADC=120°..…〔2分〕∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°．…〔3分〕∴∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=120°﹣30°=90°，即AB⊥AC．…〔4分〕∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥平面PAC，…〔5分〕又平面AB?平面EAB，∴平面EAB⊥平面PAC．…〔6分〕解：〔Ⅱ〕解法一：由〔Ⅰ〕及得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴AC=AB?tan60°=，BC=2AB=2，且AB⊥平面PAC，…〔7分〕∴AB是三棱錐B﹣EAC的高，正△PAC的邊長為…〔8分〕∵E是PC的中點，∴S△EAC=S△PAC=．…〔10分〕∴三棱錐A﹣EBC的體積為…〔12分〕〔Ⅱ〕解法二：過P作PO⊥AC于點O，∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABC，過E作EF⊥AC于點F，同理得EF⊥平面ABC，∴EF是三棱錐E﹣ABC的高，且PO∥EF，…〔7分〕又E是PC中點，∴EF是△POC的中位線，故．由〔Ⅰ〕及得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=AB?tan60°=，即正△PAC的邊長為，…〔8分〕∴PO=，故EF=…〔9分〕在Rt△ABC中，S△ABC=．…〔10分〕∴三棱錐A﹣EBC的體積為…〔12分〕【點評】此題考察面面垂直的證明，考察三棱錐的體積的求法，考察推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考察化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．19．〔12分〕〔2018?茂名一模〕一只藥用昆蟲的產卵數y與一定范圍內的溫度x有關，現收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數據如表：溫度x/°C212324272932產卵數y/個61120275777經計算得：，，，，，線性回歸模型的殘差平方和，e8.0605≈3167，其中xi，yi分別為觀測數據中的溫度和產卵數，i=1，2，3，4，5，6．〔Ⅰ〕假設用線性回歸模型，求y關于x的回歸方程=x+〔準確到0.1〕；〔Ⅱ〕假設用非線性回歸模型求得y關于x的回歸方程為=0.06e0.2303x，且相關指數R2=0.9522．〔i〕試與〔Ⅰ〕中的回歸模型相比，用R2說明哪種模型的擬合效果更好．〔ii〕用擬合效果好的模型預測溫度為35°C時該種藥用昆蟲的產卵數〔結果取整數〕．附：一組數據〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，…，〔xn，yn〕，其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計為，=﹣；相關指數R2=．【分析】〔Ⅰ〕求出n的值，計算相關系數，求出回歸方程即可；〔Ⅱ〕〔i〕根據相關指數的大小，即可比照模型擬合效果的優劣；〔ii〕代入求值計算即可．【解答】解：〔Ⅰ〕依題意，n=6，，…．…〔2分〕≈33﹣6.6×26=﹣138.6，…〔3分〕∴y關于x的線性回歸方程為=6.6x﹣138.6…〔4分〕〔Ⅱ〕〔i〕利用所給數據，，得，線性回歸方程=6.6x﹣138.6的相關指數R2=．…〔6分〕∵0.9398＜0.9522，…〔7分〕因此，回歸方程=0.06e0.2303x比線性回歸方程=6.6x﹣138.6擬合效果更好…..…〔8分〕〔ii〕由〔i〕得溫度x=35°C時，=0.06e0.2303×35=0.06×e8.0605…..…..…〔9分〕又∵e8.0605≈3167，…〔10分〕∴≈0.06×3167≈190〔個〕…〔11分〕所以當溫度x=35°C時，該種藥用昆蟲的產卵數估計為190個…〔12分〕【點評】此題考察了線性回歸方程的應用問題，也考察了相關指數的應用問題，是難題．20．〔12分〕〔2018?茂名一模〕橢圓C1以直線所過的定點為一個焦點，且短軸長為4．〔Ⅰ〕求橢圓C1的標準方程；〔Ⅱ〕橢圓C2的中心在原點，焦點在y軸上，且長軸和短軸的長分別是橢圓C1的長軸和短軸的長的λ倍〔λ＞1〕，過點C〔﹣1，0〕的直線l與橢圓C2交于A，B兩個不同的點，假設，求△OAB的面積取得最大值時直線l的方程．【分析】〔Ⅰ〕由直線方程可知直線所過定點為，從而可得橢圓焦點在y軸，且c=，再由得到b=2，結合隱含條件求得a，橢圓C1的方程可求；〔Ⅱ〕依題意，設橢圓C2的方程為，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由可得點C〔﹣1，0〕在橢圓內部，直線l與橢圓必有兩個不同的交點．當直線l垂直于x軸時，〔不是零向量〕，不合條件；故設直線l為y=k〔x+1〕〔A，B，O三點不共線，故k≠0〕，聯立直線方程與橢圓方程，利用根與系數的關系結合求得．則△OAB的面積為S△OAB=S△AOC+S△BOC，化為含有k的代數式，利用根本不等式求最值，并求得△OAB的面積取得最大值時直線l的方程．【解答】解：〔Ⅰ〕所給直線方程變形為，可知直線所過定點為．∴橢圓焦點在y軸，且c=，依題意可知b=2，∴a2=c2+b2=9．則橢圓C1的方程標準為；〔Ⅱ〕依題意，設橢圓C2的方程為，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，∵λ＞1，∴點C〔﹣1，0〕在橢圓內部，直線l與橢圓必有兩個不同的交點．當直線l垂直于x軸時，〔不是零向量〕，不合條件；故設直線l為y=k〔x+1〕〔A，B，O三點不共線，故k≠0〕，由，得．由韋達定理得．∵，而點C〔﹣1，0〕，∴〔﹣1﹣x1，﹣y1〕=2〔x2+1，y2〕，則y1=﹣2y2，即y1+y2=﹣y2，故．∴△OAB的面積為S△OAB=S△AOC+S△BOC====．上式取等號的條件是，即k=±時，△OAB的面積取得最大值．∴直線的方程為或．【點評】此題考察橢圓的簡單性質，考察了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用根本不等式求最值，是中檔題．21．〔12分〕〔2018?茂名一模〕函數〔a∈R〕．〔Ⅰ〕討論g〔x〕的單調性；〔Ⅱ〕假設．證明：當x＞0，且x≠1時，．【分析】〔Ⅰ〕求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；〔Ⅱ〕考慮函數，求出函數的導數，得到h〔x〕的單調區間，從而證明結論．【解答】〔Ⅰ〕解：由得g〔x〕的定義域為〔0，+∞〕，…〔1分〕方程2x2+x﹣a=0的判別式△=1+8a．…〔2分〕①當時，△≤0，g'〔x〕≥0，此時，g〔x〕在〔0，+∞〕上為增函數；…〔3分〕②當時，設方程2x2+x﹣a=0的兩根為，假設，則x1＜x2≤0，此時，g'〔x〕＞0，g〔x〕在〔0，+∞〕上為增函數；…〔4分〕假設a＞0，則x1＜0＜x2，此時，g〔x〕在〔0，x2]上為減函數，在〔x2，+∞〕上為增函數，…..…〔5分〕綜上所述：當a≤0時，g〔x〕的增區間為〔0，+∞〕，無減區間；當a＞0時，g〔x〕的減區間為〔0，x2]，增區間為〔x2，+∞〕．…〔6分〕〔Ⅱ〕證明：由題意知，…〔7分〕∴，…〔8分〕考慮函數，則…〔9分〕所以x≠1時，h'〔x〕＜0，而h〔1〕=0…〔10分〕故x∈〔0，1〕時，，可得，x∈〔1，+∞〕時，，可得，…〔11分〕從而當x＞0，且x≠1時，．…〔12分〕【點評】此題考察了函數的單調性、最值問題，考察導數的應用，不等式的證明以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時，請用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑．[選修4-4：坐標系與參數方程]22．〔1