《測(cè)量學(xué)》主講：付建紅第一頁，共68頁。第三章測(cè)量誤差基本知識(shí)《測(cè)量學(xué)》第二頁，共68頁。主要內(nèi)容觀測(cè)誤差的分類衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)算術(shù)平均值及其觀測(cè)值的中誤差誤差傳播定律加權(quán)平均值及其精度評(píng)定間接平差原理第三頁，共68頁?！?.1觀測(cè)誤差的分類測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因測(cè)量誤差的分類與處理原則偶然誤差的特性第四頁，共68頁。ABS往S返A(chǔ)CBS往S返一、測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因第五頁，共68頁。一、測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因人（觀測(cè)者）儀器外界環(huán)境觀測(cè)條件凡是觀測(cè)條件相同的同類觀測(cè)稱為“等精度觀測(cè)”，觀測(cè)條件不同的同類觀測(cè)則稱為“不等精度觀測(cè)”。第六頁，共68頁。中絲讀書：159115921593第七頁，共68頁。第八頁，共68頁。AB水準(zhǔn)測(cè)量水準(zhǔn)管視準(zhǔn)軸i角第九頁，共68頁。觀測(cè)值實(shí)際值第十頁，共68頁。二、測(cè)量誤差的分類與處理原則系統(tǒng)誤差偶然誤差粗差系統(tǒng)誤差:在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果出現(xiàn)的誤差在符號(hào)和數(shù)值上都相同或者具有一定的規(guī)律性。第十一頁，共68頁。系統(tǒng)誤差具有積累性,可以利用其規(guī)律性對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行改正或者采用一定的測(cè)量方法加以抵消或消弱。010203030.04N第十二頁，共68頁。偶然誤差：在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，在表面上看沒有任何規(guī)律性；但就大量的誤差而言，具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。偶然誤差不可避免，通過多余觀測(cè)，利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論處理，可以求得參數(shù)的最可靠值。8.512345678.48.78.58.68.38.28.60.1-0.20-0.10.20.3-0.1N第十三頁，共68頁。粗差：由于觀測(cè)者的粗心或各種干擾造成的大于限差的誤差。在測(cè)量工作中，一般需要進(jìn)行多余觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)粗差，將其剔除。N第十四頁，共68頁。三、偶然誤差的特性1、真值和真誤差真值：某一個(gè)量的真實(shí)值（X）在相同觀測(cè)條件下，對(duì)此量進(jìn)行n次觀測(cè)，觀測(cè)值：

L1，L2，····，Ln真誤差:真值X與觀測(cè)值Li

之間的差值，用△i表示。

△i

=X-Li第十五頁，共68頁。2、實(shí)例三角形內(nèi)角和真誤差:在相同的觀測(cè)條件下，觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角。Δi=180?(i=1,2,3,........358)第十六頁，共68頁。誤差區(qū)間d△正誤差負(fù)誤差合計(jì)個(gè)數(shù)

k頻率

k/n個(gè)數(shù)

k頻率

k/n個(gè)數(shù)

k頻率

k/n0″～3″3″～6″6″～9″9″～12″12″～15″15″～18″18″～21″21″～24″24″以上合計(jì)誤差分布表4540332317136404641332116135200.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.01100.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.006091816644332611600.2540.2260.1840.1230.0920.0730.0310.01701811770.5050.4953581.00第十七頁，共68頁。頻率直方圖k/ndΔ-21-15-9-3+3+9+15+21-24-18-12-60+6+12+18+24Δ第十八頁，共68頁。3、偶然誤差的特性有限性：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值；集中性：絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。即第十九頁，共68頁。誤差分布曲線：正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)差：方差：概率密度函數(shù):第二十頁，共68頁?！?.2衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)中誤差相對(duì)誤差極限誤差第二十一頁，共68頁。一、中誤差標(biāo)準(zhǔn)差中誤差

是反映一組誤差離散程度的指標(biāo)。第二十二頁，共68頁。-m1+m1-m2+m2m2大精度低觀測(cè)條件誤差分布觀測(cè)值精度曲線形態(tài)（陡峭、平緩）具體的數(shù)值σ

（大小）觀測(cè)精度（低、高）第二十三頁，共68頁。精度(precise)和準(zhǔn)確度(accuracy)InaccurateandpreciseAccurateandimpreciseInaccurateandimpreciseAccurateandprecise第二十四頁，共68頁。舉例【例】同精度下對(duì)某一三角形進(jìn)行了10次觀測(cè)，求得每次觀測(cè)所得的三角形閉合差分別為（單位：″）：-3，-2，+2，+4，-1，0，-4，+3，+2，-3。另一臺(tái)儀器的觀測(cè)結(jié)果（單位：″）為：0，+1，-7，-2，-1，+1，+8，0，+3，-1。第二十五頁，共68頁。二、相對(duì)誤差【例】分別丈量了S1=200m及S2=40m的兩段距離，觀測(cè)值的中誤差均為±2cm，試比較兩者的觀測(cè)成果質(zhì)量。相對(duì)誤差K:中誤差的絕對(duì)值與觀測(cè)值之比，用分子為1表示S1的丈量精度高于S2的丈量精度第二十六頁，共68頁。三、極限誤差第二十七頁，共68頁。三、極限誤差概率密度函數(shù)：第二十八頁，共68頁?！?.3算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差算術(shù)平均值觀測(cè)值的改正值按觀測(cè)值的改正值計(jì)算中誤差第二十九頁，共68頁。一、算術(shù)平均值第三十頁，共68頁。二、觀測(cè)值的改正值三、按觀測(cè)值的改正值計(jì)算中誤差在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某一量進(jìn)行多次觀測(cè)，則觀測(cè)值為同精度觀測(cè)值，其中誤差為：第三十一頁，共68頁。白塞爾公式的推導(dǎo)②左右平方求和：①左右求和：左右平方第三十二頁，共68頁。組號(hào)觀測(cè)值l/m△l/cm改正值v/cmvv/mm1120.0312120.0253119.9834120.0475120.0406119.976(l0=120.000)按觀測(cè)值改正值計(jì)算中誤差+3.1+2.5-1.7+4.7+4.0-2.410.2-1.4-0.8+3.4-3.0-2.3+4.1

0.01.960.6411.569.005.2916.8145.26算術(shù)平均值：相對(duì)誤差：觀測(cè)值中誤差：第三十三頁，共68頁。§3.4誤差傳播定律觀測(cè)值的函數(shù)觀測(cè)值函數(shù)的中誤差誤差傳播定律應(yīng)用實(shí)例第三十四頁，共68頁。問題的提出：在上節(jié)介紹了對(duì)于某一個(gè)量直接進(jìn)行多次觀測(cè)，計(jì)算觀測(cè)值的中誤差。許多未知量是不能直接觀測(cè)得到的。這些未知量是觀測(cè)值的函數(shù)，則如何根據(jù)觀測(cè)值的中誤差而去求觀測(cè)值函數(shù)的中誤差呢？闡述觀測(cè)值中誤差和觀測(cè)值函數(shù)的中誤差之間的關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。第三十五頁，共68頁。一、觀測(cè)值的函數(shù)倍函數(shù):一般函數(shù):和差函數(shù):線性函數(shù):第三十六頁，共68頁。1、和或差的函數(shù)設(shè)有函數(shù)z=x+y，z:觀測(cè)值的函數(shù)，x、y為獨(dú)立觀測(cè)值，已知mx、my，求mz(1)真誤差的關(guān)系式為：Δz＝Δx±Δy

若對(duì)x、y觀測(cè)了n次則：Δzi＝Δxi±Δyi（i=1~n）(2)將上式平方得：(3)求和，并除以n:

由于x,y為獨(dú)立觀測(cè)值，因此n趨近無窮時(shí)，[ΔxΔy]/

n

=0(4)轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式:兩觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測(cè)值中誤差的平方和二、觀測(cè)值函數(shù)的中誤差第三十七頁，共68頁。n個(gè)觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差平方，等于n個(gè)觀測(cè)值中誤差的平方和。n個(gè)同精度觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差，與觀測(cè)值個(gè)數(shù)n的平方根成正比。第三十八頁，共68頁。2、倍函數(shù)設(shè)有函數(shù)z=kx，z:觀測(cè)值的函數(shù)，x為觀測(cè)值，k為常數(shù)，已知mx，求mz(1)真誤差的關(guān)系式為：Δz＝kΔx

若對(duì)x、y觀測(cè)了n次則：Δzi＝kΔxi（i=1~n）(2)將上式平方得：

(3)求和，并除以n:(4)轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式:觀測(cè)值與常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測(cè)值中誤差乘以常數(shù)第三十九頁，共68頁。3、線性函數(shù)設(shè)有函數(shù)z=k1x1+k2x2+···+knxn，z:觀測(cè)值的函數(shù)，x1,x2,···xn為獨(dú)立觀測(cè)值，k1,k2,···kn為常數(shù)。已知mi求mz應(yīng)用倍數(shù)函數(shù)、和差函數(shù)的誤差傳播定律可得第四十頁，共68頁。4、一般函數(shù)（非線性函數(shù)）a×

ΔbΔbp=a×bbaΔab×

Δa觀測(cè)值a、b的中誤差為ma、mb求面積p的中誤差。第四十一頁，共68頁。第四十二頁，共68頁。(1)求偏微分(2)轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式第四十三頁，共68頁。三、誤差傳播定律應(yīng)用實(shí)例例1：用尺子在1:500的地圖上量得兩點(diǎn)間的距離d=10cm，中誤差md＝0.1cm，求其相應(yīng)的實(shí)地距離D及其中誤差mD。第四十四頁，共68頁。例2：對(duì)某量進(jìn)行了n次獨(dú)立同精度觀測(cè)：L1、L2、…、Ln，中誤差均為m,求其算術(shù)平均值的中誤差。觀測(cè)值算術(shù)平均值的中誤差是觀測(cè)值中誤差的第四十五頁，共68頁。例3：測(cè)得某矩形塊地的長(zhǎng)a=10m，寬b＝5m，a、b獨(dú)立，且ma＝±2cm，mb＝±1cm，求該塊地的周長(zhǎng)及中誤差。S＝30m

±4.5cm第四十六頁，共68頁。注意單位統(tǒng)一第四十七頁，共68頁。例5：設(shè)有函數(shù)：Z=X+Y，Y=3X，已知mx，求mz正確解注：由于X和Y不是獨(dú)立觀測(cè)值第四十八頁，共68頁。總結(jié)應(yīng)用誤差傳播定律求觀測(cè)值函數(shù)的中誤差時(shí)，可歸納以下幾步：1、列出函數(shù)式2、對(duì)函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差和觀測(cè)值真誤差的關(guān)系式3、獨(dú)立性的判斷4、寫出函數(shù)的中誤差觀測(cè)值中誤差之間的的關(guān)系式注意單位的統(tǒng)一第四十九頁，共68頁。(5)、對(duì)某一三角形內(nèi)角重復(fù)觀測(cè)了9次，定義其閉合差：△=α＋β＋γ－180°，其結(jié)果如下(單位″)：△1=+3,△2=-5,△3=+6,△4=+1,△5=-3,△6=-4,△7=+3,△8=+7,△9=-8;求三角形閉合差的中誤差m△以及三角形內(nèi)角的測(cè)角中誤差mβ解：第五十頁，共68頁。(6)、對(duì)某個(gè)水平角以等精度觀測(cè)了4個(gè)測(cè)回，觀測(cè)值列于下表。計(jì)算其算術(shù)平均值、一測(cè)回的中誤差和算術(shù)平均值的中誤差。次序觀測(cè)值l△l（″）改正值v（″）1234計(jì)算7026151.75-3.253.75-2.250第五十一頁，共68頁。(7)、對(duì)段距離，用測(cè)儀測(cè)定其水平距離4次，觀測(cè)值列于下表。計(jì)算其算術(shù)平均值、算術(shù)平均值的中誤差及其相對(duì)誤差。次序觀測(cè)值l△l(mm)

改正值v(mm)1234計(jì)算-818820381.517.5-8.5-10.50346.522346.548346.538346.550l0=346.530第五十二頁，共68頁。(8)、在一個(gè)平面三角形中，觀測(cè)其中兩個(gè)水平角α和β，其測(cè)角中誤差均為±20″，計(jì)算第三個(gè)角γ及其中誤差。(9)、量得一圓形地物的直徑為64.780m±5mm,求圓周長(zhǎng)度S及其中誤差ms解：解：第五十三頁，共68頁。(10)、量得矩形場(chǎng)地長(zhǎng)度a=156.34m±0.10m,寬度b=85.27m±0.05m，計(jì)算該矩形場(chǎng)地面積F及其面積中誤差mF(11)、已知三角形三個(gè)內(nèi)角α、β、γ的中誤差為，，定義三角形閉合差為：解：第五十四頁，共68頁。解：第五十五頁，共68頁?！?.5加權(quán)平均值及其精度評(píng)定不等精度觀測(cè)及觀測(cè)值的權(quán)加權(quán)平均值加權(quán)平均值的中誤差單位權(quán)中誤差的計(jì)算第五十六頁，共68頁。在相同條件下對(duì)某段長(zhǎng)度進(jìn)行兩組丈量：甲組：乙組：兩組算術(shù)平均值分別為：L甲，L乙設(shè)每次觀測(cè)值的中誤差為m，求m甲和m乙，并求該長(zhǎng)度的最或是值是多少？第五十七頁，共68頁。第五十八頁，共68頁。1、如何求X的最或是值？3、如何求的中誤差？2、如果已知的中誤差，如何求觀測(cè)值Li的中誤差？對(duì)某個(gè)未知量X,不等精度觀測(cè)：第五十九頁，共68頁。觀測(cè)值的權(quán)式中：C為任意正數(shù)當(dāng)觀測(cè)值Li的權(quán)Pi＝1