一、函數、極限、連續三、多元函數微分學二、導數與微分微分學四、微分學應用第一頁，共25頁。一、函數、極限、連續1.一元函數顯函數定義域：使表達式有意義的實數全體或由實際意義確定。隱函數參數方程所表示的函數第二頁，共25頁。函數的特性有界性,單調性,奇偶性,周期性

復合函數(構造新函數的重要方法)初等函數由基本初等函數經有限次四則運算與有限次復合而成且能用一個式子表示的函數.基本初等函數:常數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數第三頁，共25頁。2極限

極限定義的等價形式

(以為例)極限運算法則第四頁，共25頁。無窮小無窮小的性質;無窮小的比較;常用等價無窮小:

兩個重要極限～～～～～～～～～等價無窮小代換第五頁，共25頁。存在(或為)定理(洛必達法則)說明:

定理中換為之一,條件2)作相應的修改,定理仍然成立.洛必達法則第六頁，共25頁。3.連續與間斷函數連續的定義函數間斷點第一類（左右極限存在）第二類（左右極限至少有一個不存在）可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點重要結論：初等函數在定義區間內連續第七頁，共25頁。例1.

設函數在x=0連續,則

a=

,b=

.提示:第八頁，共25頁。二、導數和微分導數定義:當時,為右導數當時,為左導數

微分

:

關系

:可導可微導數幾何意義:切線斜率1.有關概念第九頁，共25頁。2.導數和微分的求法正確使用導數及微分公式和法則（要求記?。。└唠A導數的求法(逐次求一階導數）第十頁，共25頁。例2.求函數的導數解：例3.求函數在x處的微分解：第十一頁，共25頁。三、多元函數微分法1.多元顯函數求偏導和高階偏導2.復合函數求偏導注意正確使用求導符號3.隱函數求偏導將其余變量固定，對該變量求導。第十二頁，共25頁。4.全微分5.重要關系:函數可導函數可微偏導數連續函數連續第十三頁，共25頁。例4.

已知解:為正常數），求第十四頁，共25頁。解：設則例5.設第十五頁，共25頁。四、導數與微分的應用1.導數的幾何意義例6.求曲線上切線平行于x軸的點。解：由解得得代入所求點為：第十六頁，共25頁。函數單調性的判定及極值求法若定理1.

設函數則在I

內單調遞增(遞減).在開區間I

內可導,2.函數的性態:注意:1)函數的極值是函數的局部性質.2)對常見函數,極值可能出現在導數為

0

或不存在的點.第十七頁，共25頁。極值第一判別法且在空心鄰域內有導數,(1)“左正右負”,(2)“左負右正”,第十八頁，共25頁。極值第二判別法二階導數,且則在點取極大值;則在點取極小值.第十九頁，共25頁。例7.

求函數的極值.解:

1)求導數2)求駐點令得駐點3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.第二十頁，共25頁。定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內則在I

內圖形是凹的;(2)在

I內則在

I

內圖形是凸的.設函數在區間I上有二階導數凹弧凸弧的分界點為拐點第二十一頁，共25頁。例8.

求曲線的凹凸區間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得對應3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)

及均為拐點.凹凹凸第二十二頁，共25頁。的連續性及導函數例9.填空題(1)設函數其導數圖形如圖所示,單調減區間為

;極小值點為

;極大值點為

.提示:的正負作f(x)的示意圖.單調增區間為

;第二十三頁，共25頁。說明:

使偏導數都為0的點稱為駐點

.極值必要條件函數偏導數,

但駐點不一定是極值點.且在該點取得極值,則有存在多元函數極值與最值問題極值的必要條件與充分條件第二十四頁，共25頁。時,具有極值

極值充分條件的某鄰域內具