7.3球的表面積和體積

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.了解球的截面.2.掌握球的表面積和體積公式.3.會(huì)運(yùn)用

這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的有關(guān)計(jì)算.

課前自主學(xué)習(xí)|

【主干自填】

1.球的表面積公式：S球面=回4成2（夫?yàn)榍虻陌霃剑?

2.球的體積公式：丫球=圓融3（氏為球的半徑）.

【即時(shí)小測(cè)】

1.思考下列問(wèn)題

（1）用一個(gè)平面去截球體，截面的形狀是什么？該截面的幾何量與球的半徑之

間有什么關(guān)系？

提示：可以想象，用一個(gè)平面去截球體，截面是圓面，在球的軸截面圖中，

截面圓與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.

若球的半徑為截面圓的半徑為「，00'=d.

在Rt△。。'C中，2+。'C2即夫2=3+法

（2）球的半徑為凡它的體積公式為,它的表

面積公式,觀(guān)察這兩個(gè)公式，想想它們都有什么特點(diǎn)？

?4c?

提示：V=17lR3S=4TIR2這兩個(gè)公式說(shuō)明球的體積和表面積都由球的半徑

R唯一確定.其中球的體積是半徑R的三次函數(shù)，球的表面積是半徑R的二次函

數(shù)，并且表面積為半徑為R的圓面積的4倍.

2.球的表面積擴(kuò)大2倍，球的體積擴(kuò)大（）

A.2倍B.也倍C.2也倍D.3也倍

提示：C球的表面積擴(kuò)大2倍，半徑擴(kuò)大出倍，從而體積擴(kuò)大（爽）3=2/倍.

3.兩個(gè)球的半徑之比為1：3,那么兩個(gè)球的表面積之比為（）

A.1：9B.1：27C.1：3D.1：1

提示：A設(shè)兩球的半徑為Ri,R2,'：RI：R2=l：3,，兩個(gè)球的表面積之

匕匕為Si：S2=4兀盛：4nRl=Ri:：9.

課堂互動(dòng)探究

＞題型一球的表面積與體積

例1已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、3、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半,

JLAC=BC=6,AB=4,求球面面積與球的體積.

［解］如圖所示，設(shè)球心為。，截面圓圓心。1,球半徑為七

連接。。1,則。。1是球心到截面的距離.

由于OA=OB=OC=R,

則。是△ABC的外心.

設(shè)M是A3的中點(diǎn)，由于AC=3C,則在CM上.

設(shè)OiM=x,易知?jiǎng)t。4段+f,

O1C=CM-OiM=yl62-22-x.

又01A=0C,/.^/22+x2=-^62—22—x

解得x=￥.則0iA=0iB=0iC=^.

在RL^OOiA中，0i0=|,ZOOiA=90°,OA=R.

由勾股定理，得竹）2+［串2=夫2.解得a=乎.

4r-

故S球面=4兀7?2=54兀,V球=1兀尺3=27、/6兀.

類(lèi)題通法

球的表面積和體積的解題方法

計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵是求出球的半徑，這里就要充分利用球的截面

的性質(zhì)進(jìn)行求解.已知條件中的等量關(guān)系，往往是建立方程的依據(jù)，這種解題的

思想值得重視.

［變式訓(xùn)練1］用與球心距離為1的平面去截球，所得截面面積為2兀，則球

的體積為（）

328兀廠(chǎng)廠(chǎng)

B.丁C.隊(duì)/2兀D.4^/371

答案D

解析所得截面圓的半徑為r=色，因此球的半徑指=712+（嫄）2=小,球

4L

的體積為鏟火3=4小71.

題型二

例2軸截面是正三角形的圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為1cm,

求球的體積.

［解］如下圖所示，作出軸截面，。是球心，與邊BC、AC相切于點(diǎn)。、E.

連接AD,OE,「△ABC是正三角形，

CD=^AC.

VCD=1cm,

.,.AC=2cm,AD=yj3cm,

：

'RtAAOE^RtAACD,?.-A7U7^=7A7C;.

1—r1

設(shè)。E=r,則AO=（小一r）cm,二小_.二1,

即球的體積等于4，7Tcm3.

類(lèi)題通法

截面在有關(guān)球計(jì)算中的作用

解決與球有關(guān)的接、切問(wèn)題時(shí)，一般作一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛妫瑢?wèn)題轉(zhuǎn)化為平面

問(wèn)題解決，這類(lèi)截面通常是指圓錐的軸截面、球的大圓、多面體的對(duì)角面等，在

這個(gè)截面中應(yīng)包括每個(gè)幾何體的主要元素，且這個(gè)截面包含體和體之間的主要位

置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

［變式訓(xùn)練2］如圖，半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底

面圓內(nèi)，若正方體棱長(zhǎng)為加，求球的表面積和體積.

解作軸截面如圖所示,

CC=AC=y/i.#=2小,

設(shè)球的半徑為R,

則R2=OC2+CCf2=（V3）2+（V6）2=9,

.'.R=3,

球=4兀7?2=36兀,V球=司兀7?3=36兀.

球的截面問(wèn)題

例3過(guò)球的半徑的中點(diǎn)，作一垂直于這條半徑的截面，截面面積是4871cm2,

求球的表面積.

［解］如圖所示，設(shè)0,為截面圓圓心，則00,±0'A,O'A為截面圓

的半徑，。4為球的半徑R

V487r=7i-AO,2

：.A0'2=48.

在中，=。。，

Rt^OOA0422+AO/2

，相=d>+48,解得R=8.

.*.S?=47i7?2=47iX64=2567i(cm2).

即球的表面積為256兀cm2.

類(lèi)題通法

一般情況下，在球的截面問(wèn)題中，截面圓的半徑、球心到截面的距離、球的

半徑之間的數(shù)量關(guān)系是解決與之有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題的基礎(chǔ)，而球的軸截面（過(guò)球的直

徑的截面）是將球的問(wèn)題（立體問(wèn)題）轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題（平面問(wèn)題）的關(guān)鍵，因此在解

決球的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，我們必須抓住球的軸截面，并充分利用它來(lái)分析、解決問(wèn)題.

［變式訓(xùn)練3］已知球的兩平行截面的面積分別為5兀和8TI,它們位于球心的

同一側(cè)，且距離為1,求這個(gè)球的體積.

解作球的軸截面，如下圖所示，設(shè)以n為半徑的截面面積為5兀，以廢為

半徑的截面面積為8兀，0102=1,球的半徑為R,002=x.

A=R1—x1,

.,.冗人=兀(夫2—/)=8兀.

Vri=7?2—（x+1）2,

???兀/=兀［尺2—（%+l）2］=5兀.

于是兀（尺2一—）一兀［尺2一（%+1）2］=8兀15兀，

即2元+1=3,解得x=L

又兀（7?2—2=8兀，/.7?2—1=8,R2=9,:.R=3.

4

???球的體積V=W?IX33=36兀.

培優(yōu)部落

易錯(cuò)點(diǎn)>考慮問(wèn)題不全面致誤

［典例］一個(gè)球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面,面積分別為49兀cm2和400兀

cm2,求球的表面積.

［錯(cuò)解］如圖所示，設(shè)OD=x,

由題知7VCA2=49TT,CA=7cm.

TIBD2=400TI,.,.BD=20cm.

設(shè)球半徑為凡則有

(CD+DO)2+C42=7?2=OD2+DB2,

即(9+X)2+72=X2+2()2,

.*.%=15,R=25.

?,.S球=4兀7?2=2500兀cm2.

［錯(cuò)因分析］本題錯(cuò)解的原因在于考慮不周，由于球心可能在兩個(gè)截面之間,

也可能在兩個(gè)截面的同一側(cè)，因此解決此題要分類(lèi)討論.

［正解］(1)當(dāng)球心在兩個(gè)截面的同側(cè)時(shí)，解法同錯(cuò)解.

(2)當(dāng)球心在兩個(gè)截面之間時(shí)，如圖所示，設(shè)。。=龍，則0c=9—x,

設(shè)球半徑為R,

可得X2+202=(9-X)2+72=7?2,

此方程無(wú)正數(shù)解，即此種情況不可能.

綜上可知，球的表面積是2500兀cn?.

課堂小結(jié)

1.已知球的半徑求球的表面積與體積的計(jì)算.

2.利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構(gòu)成直角三角形，進(jìn)

行相關(guān)計(jì)算.

3.解決球與其他幾何體的切接問(wèn)題，通常先作截面，將球與幾何體的各量體現(xiàn)

在平面圖形中，再進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.

隨堂鞏固訓(xùn)練

1.若一個(gè)球的體積為44兀，則它的表面積為()

A.12兀B.3兀C.$D.小兀

答案A

解析設(shè)球的半徑為R,則有京4樂(lè)3=4小L兀，解得“小I-，則球的表面積S=

471X(4)2=1271.

2.一個(gè)平面截一球得到直徑為6cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離為4cm,

則球的體積為()

A100兀QC208兀q

A.-~cmB.-~cm

-500兀&416^1371

C.-2-cmD.-----------cm3

答案c

解析由球的性質(zhì)知，球的半徑R=后百=5,所以丫球=與*53=竽

（cm3）.

3.一個(gè)正方體與一個(gè)球的表面積相等，那么它們的體積的比值是（）

A晅B近C恒口處

622,兀

答案A

解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為r,則6/=4兀色即a=焙，所

Wa3yf&ii

4.已知底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為限的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，

則該球的體積為（）

32兀4兀

A.^-B.4nC.2nD.-y

答案D

解析因?yàn)樵撜睦庵耐饨忧虻陌霃绞窃撜睦庵w對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半，所

以半徑r=^\l12+12+（-\/2）2=1,所以丫球=萼乂13=普.

課后課時(shí)精練

時(shí)間：25分鐘

1.用與球心距離為1的平面去截球，所得截面面積為71,則球的體積為（）

A.孝兀B.號(hào)C.隊(duì)②i口.邛2兀

答案D

解析所得截面圓的半徑為r=1,因此球的半徑R=y/12+i2=五球的體

積為%R3=超卓兀

2.若三個(gè)球的表面積之比是1：2：3,則它們的體積之比是（）

A.1：2：3B.1：啦：小

C.1：2^2：3^3D.1：4：7

答案c

解析三個(gè)球的表面積之比是1：2：3,即A：*：內(nèi)=1：2:3.nri'.n

=1：啦：小，/.Vi：V2：V3=l：2^2：3小.

3.平面a截球。的球面所得圓的半徑為1,球心。到平面a的距離為吸，

則此球的體積為（）

A.-\[6nB.44itC.4、后兀D.6小冗

答案B

解析設(shè)球的半徑為已由球的截面性質(zhì)得R=7他y+i2=小,所以球的

4「I-

體積丫=鏟斤=4[3兀.

4.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為。，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，

則該球的表面積為（）

7

A.Ti/B.鏟屋

11

兀。9D.5兀〃9

答案B

解析正三棱柱內(nèi)接于球，則球心在正三棱柱兩底面中心連成中點(diǎn)處，在直

角三角形中可得R=y售｝+律[2=灌,...s=4冰2=4兀x^=$2.

5.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為廠(chǎng)）組成一個(gè)幾何體，該幾何

體三視圖中的正視圖和俯視圖如右圖所示.若該幾何體的表面積為16+20?1,則

「=()

-2-

俯視圖

A.1B.2

C.4D.8

答案B

解析由題中的三視圖可知，該幾何體由一個(gè)半圓柱與一個(gè)半球拼接而成，

其表面積為2rX2r+2兀/+2兀戶(hù)+兀/=4戶(hù)+5兀/=16+20兀，解得r=2.

6.若一個(gè)球和一個(gè)正方體的體積相等，則它們的表面積的大小關(guān)系是（）

A.S球＞5正方體B.5球=5正方體

C.S球＜S正方體D.不能確定

答案C

4

解析設(shè)球的半徑為凡正方體的棱長(zhǎng)為a,由體積相等可得則有

3H（3rr）3/3/----

薪a,所以S球=4兀穴2=4兀,、仔a2=4兀。高手=736兀。2.而s正方體=6次.

因?yàn)橥诵剑?,所以S球＜S正方體.

7.已知正四棱錐。一A3CD的體積為呼，底面邊長(zhǎng)為小，則以。為球心，

0A為半徑的球的表面積為.

答案24兀

解析過(guò)